Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Домашнее задание

1.Изучить тему «Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций. Производные высших порядков».

2.Найдите производные функций:

y = arctg

Ответ: -

;

2 x × sh2 x ×(1 + sh2

x )

y = 5sin

+ arcsin 3x − 5 ( x − 2)( x + 2) +

ln tg x

5sin

x × ln 5

Ответ:

×sin 2x +

;

5 × 5

ln2 tg x

tg x

cos2 x

1 - 9x2

(x2 - 4)4

	1
3) y = arctg			.
3) y = arctg			.
sh		x

4)y = (tg x)ln tg x .

5)y = 4(1 + 3x2 )3 .

6)y = cos2 sin x .

Ответ: -

;

× sh2

×(1 + sh2

)

Ответ: (tg x)

ln tg x

2ln tg x

;

cos x ×sin x

Ответ:

;

(1 + 3x2 )

Ответ:

sin 2sin

× cos

3. Выполнить первую часть из внеаудиторной контрольной работы.

III. Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций. Производные высших порядков

1. Производная функции, заданной неявно

Если функция y ( x) задана неявно уравнением F ( x, y ) = 0 , то для

вычисления ее производной надо продифференцировать это уравнение по x, считая y функцией от x, и решить полученное уравнение относительно y′( x) . Для вычисления y′( x) можно использовать также формулу

y¢x = - Fx¢′ .

251

Обучающая задача.	Найти производную	dy	в точке М0(–2; 1)

		dx
функции у(х), заданной неявно уравнениями:
10. x3 + x2 y + y2 = 0 ;	20. y ln y = x + 3 .

Решение. 10.

Первый способ: дифференцируем уравнение по x, считая y функцией от x: 3x2 + (x2 )¢ × y + x2 × y¢ + 2 y × y¢ = 0 3x2 + 2xy + y¢(x2 ) + 2 y × y¢ = 0 ,

y¢ = -

3x2 + 2xy

, y¢(M 0 )

= y¢(-2; 1) = -

3(-2)2 + 2(-2) ×1

= -

x2 + 2 y

(-2)2 + 2 ×1

Второй способ:

F¢ = 3x2

+ 2xy ; F¢ = x2

+ 2 y ;

y¢

= -

3x2 + 2xy

x2 + 2 y

20. Дифференцируем уравнение по x

y¢ × ln y + y ×

× y¢ =1

y′ × ln y + y′ =1

y′(ln y +1) =1,

y¢ =

y¢(M 0 ) =

=1.

ln y +1

ln1 +1

Но у¢ можно было найти по-другому, используя формулу производ- ной обратной функции:

x = y ln y − 3	x¢	= ln y + y ×					1	x′		= ln y + 1
x = y ln y − 3	x¢	= ln y + y ×						x′		= ln y + 1
	y						y		y
							y
	y¢		=	1	=	1			.
	y¢		=		=				.
		x		x¢y		ln y +1
				x¢y		ln y +1

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

			Уровень I
Найти производную		dy	в точке M		( x ; y		) .
Найти производную			в точке M	0	( x ; y	0	) .
		dx		0	0	0
		dx
1) x3 - 2x2 y2 + 5x + y - 5 = 0 ,					M0 (1;1) .
Ответ: -	3x2 - 4xy2 + 5		,		y¢			(1;1) =	1	;
Ответ: -			,		y¢			(1;1) =		;
	1 - 4x2 y						x	3
	1 - 4x2 y							3
		252

2)	x2 + xy3 − y2 − 5 = 0 ,
Ответ: −				2x + y3	,
Ответ: −			3xy2 − 2 y		,
			3xy2 − 2 y
3)	2 y −1 − xy3 = 0 ,
		y3
Ответ:				,
Ответ:				,
	2
4)	( x + y )3 − 27( x − y ) = 0 ,
		( x + y )2 − 9
Ответ: ( x + y )2 + 9					,
5)	x3 + x2 y + y2 −1 = 0 ,
Ответ: −			3x2 + 2xy		,
Ответ: −				x2 + 2 y	,
				x2 + 2 y
6)	x2 + y2 x2 + ( x + y )2 = 1,
Ответ: −			x + xy2 + ( x + y )			,
Ответ: −				xy2 + ( x + y )		,
7)	x2 ( x + y )2 − ( x − y ) = 0 ,
Ответ: −			2x( x + y)2 + 2x2 ( x + y ) −1
									,
				2x2	( x + y )		+ 1		,
				2x2	( x + y )		+ 1
8)	x3 y2 − (2x + y )2 + 8 = 0 ,
Ответ: −			3x2 y2 − 4(2x + y )
								,
			2x3 y − 2(		2x + y )			,

9) x5 + y5 − 2xy = 0 ,

Ответ: − 5x5 − 2x , 5 y5 − 2 y

10) y4 − 4x4 − 6xy = 0 ,

Ответ: 2 y3 − 3y ,

8x3 + 3x

253

M 0 (1; 2) .

y′x (1;2) = −1,25;

M0 (1;1) .

y′x (1;1) = 0,5 ;

M 0 (2;1) .

y′x (2;1) = 0 ;

M0 (0;1).

y′x (0;1) = 0 ;

M0 (0;1).

y′x (0;1) = −1;

M0 (1; 0).

y′ (1;0) = 1 ;

M0 (1;1) .

y′x (1;1) = −2, 25 ;

M0 (1;1) .

y′x (1;1) = −1;

M 0 (1; 2) .

y′ (1; 2) = − 2 ; x 11

11) (x + y2 )2 + x − y = 4 ,

Ответ: −			2(x + y2 ) + 1				,
Ответ: −			4 y (x + y2 ) − 1				,
12)	(x3 + y3 )2 − 2 y = 2 ,
Ответ: −			3x2 (x3 + y3 )					,


			3y2	(x3 + y3 ) − 2
13)	(x2 + y2 )2 − 12 y = 1,
Ответ:			x (x2 + y2 )			,
Ответ:		y (x2 + y2 ) − 3				,
14)	x4 + y4 − xy = 1,
Ответ: −			4x3	− y
					,
			4 y3		,
			4 y3	− x
15)	x4 + y3 − xy = 1,
Ответ: −			4x3	− y
					,
			3y2		,
			3y2	− x

Уровень II

M0 (1;1) .

y′ (1;1) = − 5 ;

M 0 (1;1) .

y′x (1;1) = 1,5 ;

M 0 (1; 2) .

y′ (1;2) = − 5 ;

M 0 (1;1) .

y′x (1;1) = −1;

M 0 (1;1) .

y′x (1;1) = −1,5 .

Найти производную

в точке M

( x ; y

) .

1) e y + xy = e ,

M 0 (0;1).

′

Ответ: −

;

yx (0;1) = −

e y

+ x

2) y2 = x + ln

M 0 (1;1) .

Ответ:

y ( x − 1)

y′x (1;1) = 0 ;

x (2 y − 1)

254

3)	ye y = ex+1 ,
Ответ: -		ex+1			,
		e y ( y +1)
			yx
4)	y = 2x + ln			,

			2

y (2x +1)

Ответ: ( ) , x y -1

5) tg y = xy − y ,

y × cos2 y Ответ: 1 - x × cos2 y + cos2 y ,

6)xe y = x2 + y - 2 ,

-2x - e y

Ответ: 1 - x × e y ,

7) ln x + e−

−

- x2

e × x - y × e

Ответ:

−


8) ex− y +				= 2 ,
		xy
	2				× ex− y + y
Ответ:			xy					,
	x - 2						× ex− y
						xy

9) xy = arctg x , y

y (1 - x2 - y2 )

Ответ: ( ) , x 1 + x2 + y2

10) tg ( xy) = x - y2 + 4 ,

cos2 ( xy ) - y Ответ: 2 y cos2 ( xy ) + x ,

255

M 0 (0;1) .

y′x (0;1) = -0,5 ;

M 0 (1; 2) .

y′x (1;2) = 6 ;

M0 (2; 0) .

y′x (2;0) = 0 ;

M0 (2; 0) .

y′x (2;0) = 3 ;

M0 (1;1) .

y′x (1;1) = e -1;

M0 (1;1) .

y′x (1;1) = -3 ;

M0 (1;1) .

y¢x (1;1) = - 1 ; 3

M0 (0;1).

y′x (0;1) =1;

11) x2 + y2 + sin xy = 4 ,

2x + y cos( xy)

Ответ: − ( ) , 2 y + x cos xy

12) y + arctg ( x + y) = x + π −1, 4

M0 (2; 0) .

y′x (2;0) = −2 ;

M0 (1; 0).

Ответ:

( x + y )2

( x + y)2 + 1

13) arcsin ( xy ) + x2 = 1,

Ответ: −

y + 2x

1 − x2 y

14) ln ( xy ) + y2 = 1,

Ответ: −

x(1 + 2 y2 )

15) 4

− y2 = −8 ,

Ответ:

xy − x

y′x (1;0) = 0,5 ;

M0 (1; 0).

y′x (1;0) = −2 ;

M0 (1;1) .

y′ (1;1) = − 1 ;

M 0 (1; 4) .

y′ (1;4) = 4 .

Уровень III

Определить под каким углом пересекаются кривые x2 + y2 − 4x = 1, x2 + y2 + 2 y = 9 .

Ответ: в точке (1; 2) ϕ = 45° ;

Производная функции, заданной параметрически

yt′

Если $ y¢(t ) , x¢(t ) ¹ 0 , то y¢

или

xt¢

dx dx

Обучающая задача.

Составить уравнение касательной к окружно-

x = 2cost

3π

сти

в точке,

соответствующей значению параметра t0

= 2sin t

Сделать чертеж.

256

Решение. Уравнение

касательной

кривой

имеет

вид

y − y

= y′( x

)( x − x

) . Найдем координаты точки касания

( x ; y

) и

угловой коэффициент касательной y′( x ) :

3π

x = x (t

) = 2cos

y = y (t

) = 2sin

= 2 -

= -

2 ,

2 .

Производная

′

равная

yt′

есть

yx ,

xt¢

функция

параметра

поэтому

y′

( x

) = y′

) .

3π

В нашем случае

(2sin t )¢

y¢

= -ctg t ,

(2cos t )¢

y¢ =

= -ctg

=1.

Составляем уравнение касательной

y -

=1×(x +

)

y = x + 2

или

2 .

Упражнение. Найти производную	dy	в точке t0 от функции, за-
	dx

данной параметрически. Составить уравнение касательной к кривой в точ- ке, соответствующей значению параметра t0 . Сделать чертеж.

x = sin

;

x = cos 2t

;

y = cos3 t,

y =

4sin 2t,

3 cost

x =

;

x =

sin3 t

y = sin t,

= -

;

x = t - sin t

y =

cos

;

y = (1 - cost ),

257

6)	x = 4		(t - sin t )		t
6)			(1 - cos t ),		t	0
	y = 4		(1 - cos t ),			0

7)	x = sin 3t				t0
7)					t0
	y = cos3t,
8)		x = 2cos 4t
8)			= 4sin 4t,
		y	= 4sin 4t,
9)		x = 2		(t - sin t )
9)			= 2	(1 - cos t ),
		y	= 2	(1 - cos t ),

x = 8cos3 t

y = 8sin3 t,

=π ; 2

=0 ;

t0 = π ; 16

t0 = π ; 4

x = 2cos t

y = 4sin t,

x = 2cos3 t

y = 2sin3 t,

x = 3(t - sin t )

y = 3(1 - cost ),

x = 3sin 2t

y = 3cos 2t,

x = 6cost

y = 2sin t,

t0 = 3π ; 4

t0 = - π ; 4

t0 = π ;

t0 = π ; 6

t0 = π ; 3

3. Понятие производной высшего порядка. Формула Лейбница

y′′ = ( y′)′

d 2 y

dx dx

y′′′ = ( y′′)′

dx dx

…….………………………,

(n)

(n−1) ′

d n y

d n−1 y

(

)

n−1

dx dx

Закон движения точки в R3 :

r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t ) k

Вектор скорости в момент времени t:

ɺ
ɺ	(t ) = x	(t )i	+ y	(t ) j + z	(t ) k
r	(t ) = x	(t )i	+ y	(t ) j + z	(t ) k
	ɺ		ɺ	ɺ
	Вектор ускорения
	в момент времени t:
ɺɺ
ɺɺ	(t ) = x	(t )i	+ y	(t ) j + z	(t ) k
r	(t ) = x	(t )i	+ y	(t ) j + z	(t ) k
	ɺɺ		ɺɺ	ɺɺ

Обучающая задача. Найти n-ную производную от функций: 10. y = e− x .

Решение: Имеем y¢ = (e− x )¢ = e− x ×(-x)¢ = -e− x . Тогда

y¢¢ = (-e− x )¢ = e− x , y¢¢¢ = (e− x )¢ = -e− x , y(4) = (-e− x )¢ = e− x и т.д.

Следовательно y(n) = (-1)n e− x .

20. y =	1	.

	5x + 3

Решение:

Находим y¢ = ((5x + 3)−1 )¢ = -(5x + 3)−2 ×(5x + 3)¢ = -5(5x + 3)−2 .

258

y¢¢ = (-5(5x + 3)−2 )¢ = 2 ×52 (5x + 3)−3 = 2!×52 ×(5x + 3)−3 ,

y¢¢¢ = 2!×(-3) ×53 ×(5x + 3)−4 = -3!×54 ×(5x + 3)−4 , y(4) = -3!×53 ×(-4)(5x + 3)−5 = 4!×54 ×(5x + 3)−5 .

Тогда y(n) = (-1)n × n!×5n (5x + 3)−(n+1) .

Уровень I

Найдите y′′( x0 )

1)	y = e− x2 ,					x	= 0 .
						0	= π .
2)	y = cos2 x ,					x	= π .
						0		2
								2
3)	y = ln2 x ,					x	= e .
						0
	y = sin x2 ,						=						.
4)	y = sin x2 ,					x	=				π		.
						0
5)	y = cos		1	,		x	=		2	.
5)	y = cos			,		x	=			.
			x			0			p
						0
6)	y = tg x ,					x0 = 0 .
7)	y = arcsin 2x ,					x0	= 0 .
8)	y = cos 2x2 ,					x	= 0 .
						0			π
9)	y = cos2 2x ,					x	=		π			.
9)	y = cos2 2x ,					x	=					.
						0		12
								12
	y =				,		= -				3			.
10)		1 - 2x				x					3
10)		1 - 2x				x
						0		2
11)	y = ctg x ,					x	= π .
						0		2
								2
12)	y = ln cos 2x ,					x0	= π .
13)	y = cossec x ,					x	= π .
						0		2
								2
14)	y = sin2 x ,					x	= 0 .
						0	= 0 .
15)	y = sec x ,					x0	= 0 .

Ответ: {-2};

Ответ: {2};

Ответ: {0};

Ответ: {-2};

Ответ: ;

Ответ: {0};

Ответ: {-4};

Ответ: {-0,125};

Ответ: {0};

Ответ: {-4};

Ответ: {1};

Ответ: {0};

Ответ: {1}.

259

Найдите y(10) ( x

)

Уровень II

1) y = e−2 x ,

x0 = 0 ;

9) y =

x = 0 ;

2) y = ln (1 + 2x) ,

x0 = 0 ;

1 − 3x

= π ;

10) y = sin 3x ,

= π ;

y = cos 2x ,

11) y = e−4 x ,

= 0 ;

y =

12) y = ln (1 + 4x),

x0 = 0 ;

1 − 2x

= π ;

13) y = cos 4x ,

y = sin 2x ,

= ;

14) y =

x0 = 0 ;

6) y = e

−3x

x0 = 0 ;

− 4x

7) y = ln (1 + 3x) ,

x0 = 0 ;

15) y = sin 4x ,

;

y = cos3x ,

= π ;

16) y = ln ( x −1) ,

x0 = 2 .

Найдите y(n) ( x).

Уровень III

1) y = ln (x2 + x − 2);

2) y =

1 + x

1 − x

1. (a x )¢ = a x ln a,

(a x )¢¢ = a x ln2 a, …,

(a x )(n) = a x lnn a, (ex )(n) = ex ;

2. (xm )¢ = mxm−1 ,

(xm )¢¢ = m ×(m -1) mxm−2 , …,

(xm )(n) = m (m -1)(m - 2)…(m - n +1) mxm−n ;

(sin x)(n)

= sin x + n × p ;

(cos x)(n)

= cos x + n × p

;

5. (ln x)(n) = (-1)n−1 × (n -1)! .

260

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб127умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб126умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб113умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб118умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб119умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб127умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб107умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб117умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб165умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf