Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>

Уровень II

Разложите функцию y ( x) по формуле Тейлора (n – произвольный

порядок) в окрестности точки x0 с остаточным членом в форме Лагранжа:

y = cos 2x ,

;

9) y = 23x+4 ,

x0 = −1;

10)

y =

= −1;

y =

x0 = −1;

x +

3x +

11)

y = x ,

= 4 ;

y = ln (3x − 5),

x0 = 2 ;

y = sin x + π ,

= π ;

y = cos3x ,

;

12)

y = 2− x+3 ,

y = e3x−2 ,

= 4 ;

13)

= 1;

= π ;

y = sin 2x ,

14)

y = cos

x +

= π ;

y = e4 x+3 ,

x = −1;

= π .

15)

y = sin2 x ,

y = ln (6x − 5) , x0 = 1;

Уровень III

Разложите функцию

y ( x)

по формуле Тейлора (n –

произвольный

порядок) в окрестности точки x0 с остаточным членом в форме Лагранжа:

y =	3x		,	x0 = 0 .
	x + 2	− x2

Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности некоторой точки позволяет довольно точно построить ее график в окрестности этой точки.

Обучающая задача. (Повышенный уровень. Изучается самостоя- тельно). Пользуясь разложением по формуле Тейлора следующих функций:

10. y ( x) = 2 − 3( x − 5) − 7( x − 5)3 + 0(( x − 5)3 ), 20. y ( x) = 1 + 6( x − 5)4 + 0(( x − 5)4 ),

построить их графики в окрестности точки x0 = 5.

Решение: Нас будет интересовать, как расположен график функции в окрестности точки x0 = 5: над касательной или под касательной.

321

На этот вопрос можно будет

ответить, оценив

знак

разности

y ( x) − yкас. :

если y ( x) − yкас.

> 0 ,

то график функции расположен выше

касательной,

если y ( x) − yкас.

< 0 –

то ниже.

Уравнение касательной в точке x0 имеет вид

y − y = y′( x

)( x − x

) .

Но тогда первые два слагаемые в формуле Тейлора

y ( x) = y ( x ) +

y′( x0 )

( x − x ) +

y′′( x0 )

( x − x )2 +…+

y(n) ( x0 )

( x − x

)n + R ( x)

есть yкас. . Этим фактом мы будем пользоваться при исследовании функции.

10. Функция

y ( x) = 2 −	y′( x0 )	( x − x	) +	y′′( x0 )	( x − x	)2 +…+	y(n) ( x0 )	( x − x	)n + R	( x)
y ( x) = 2 −		( x − x	) +		( x − x	)2 +…+		( x − x	)n + R	( x)
	1!	0		2!	0		n!	0	n

разложена по формуле Тейлора 3-го порядка в окрестности x0 = 5. Отсюда

следует, что y (	5) = 2 и y = 2 − 3( x − 5) –	уравнение касательной к графику
функции в точке x0 = 5. Тогда
	y ( x) = yкас. − 7( x − 5)3 + 0(( x − 5)3 ).
Отбросив	0(( x − 5)3 ), получим приближенное равенство при х
близких к x0 =	5 :
y ( x) = yкас. − 7( x − 5)3		y ( x) − yкас. ≈ −7( x − 5)3 .
Оценим знак разности y ( x) − yкас. :

если	x > 5 ,	то		−7( x − 5)3
если	x < 5 ,	то		−7( x − 5)3
y
2					M0
2					x
0

			5

< 0	и	y ( x) − yкас.	< 0 ,
> 0	и	y ( x) − yкас.	> 0 .
	Таким образом, если x > 5 , то график
функции		y ( x) расположен под касательной,

если x < 5 , то – над касательной. В дальнейшем такую точку M 0 ( x0 , y0 ), в которой график пе-

реходит с одной стороны касательной на дру- гую, будем называть точкой перегиба графика.

322

Следовательно, точка M 0 (5, 2) – точка перегиба графика функции

y ( x) .

20. Из разложения y ( x) = 1 + 6( x − 5)4 + 0(( x − 5)4 ) по формуле Тей-

лора следует, что y (5) = 1 и y = 1 – уравнение касательной к графику функ-

ции в точке x0 = 5. Тогда

y ( x) = yкас. + 6( x − 5)4 + 0(( x − 5)4 )	y ( x) − yкас. = 6( x − 5)4 + 0(( x − 5)4 )
y ( x) − y		≈ 6	( x − 5)4 .
кас.

Так как 6( x - 5)4 ³ 0 при всех х, то график функции расположен над горизонтальной касательной y = 1 как слева, так и справа от точки x0 = 5.

Следовательно, в точке			x0 = 5 функция имеет локальный минимум.
Упражнение. Среди указанных графиков выберите тот, который
правильно отражает поведение функции y ( x)					в окрестности точки x0 = −1,
если:
а) y(x) = 3 + 4(x + 1)5 + 0(x + 1)5;
б) y(x) = 3 + 2(x + 1) – 5( x + 1)5 + 0(x + 1)5.
1)	y		2)	y		3)	y
1)	y		2)			3)
	3			3
							3
–1	0	x		–1 0	x		–1 0	x

4)	y	5)	y
	3		3

–1 0

323

Обучающая задача (повышенный уровень). Построить

функции y ( x)	= x5 − 2x4 + 2x −1 в окрестности точки x = 1.
	0
Решение:		= −1, y′′(1) = (20x3 − 24x2 )
y (1) = 0 , y′(1) = (5x4 − 8x3 + 2)
y (1) = 0 , y′(1) = (5x4 − 8x3 + 2)
		x=1
		x=1

график

= −4 .

x=1

	Тогда
			y ( x) = 0 + (−1)( x −1) + −4 ( x −1)2 + 0			(( x −1)2 )
					2!
			y ( x)	= −( x − 1) − 2( x − 1)2 + 0(( x − 1)2 ).

				yкас.
	Оценим знак разности y ( x) − yкас. :
				y ( x) − yкас. = −2( x − 1)2				+ 0(( x − 1)2 )
y					y ( x) − y		≈ −2	( x − 1)2 ,
					кас.
1				отсюда следует, что y ( x) − yкас. < 0					при всех х из
1			M0 (1; 0)	окрестности точки x0 = 1.
			M0 (1; 0)	окрестности точки x0 = 1.
0		1	x	Следовательно, график функции находится
0		1		под касательной как слева, так и справа от точки


				x0 = 1.
				Уровень I
	Построить график функции				y = y ( x) в окрестности точки x0 :
1)			y = x3 + 3x2 + 2 ,		x = −1;
					0
2)			y = −x3 + 3x2 + 4 ,		x = −1;
					0
3)			y = −x3 − 4x2 −14 ,		x = 2 ;
					0
4)			y = x4 − 6x3 + 5 ,		x = 1;
					0
5)			y = x4 − 6x2 + 7 ,		x = −1;
					0
6)			y = −2x3 + 18x + 37 ,		x = 3;
					0
7)			y = −x5 + 2x3 + 1,		x = 0 ;
					0
8)			y = x12 −12x + 14 ,		x = 1;
					0
9)			y = −3x5 − 4x3 + 2 ,		x = 0 ;
					0

324

10)	y = x12 −12x + 14 ,	x	= 1;
		0
11)	y = −3x5 + 2x4 − 2 ,	x	= 0 ;
		0
12)	y = −3x3 − 9x −11,	x	= −1;
		0
13)	y = x4 − 24x2 + 80 ,	x	= 2 ;
		0
14)	y = −x10 + 45x2 − 43,	x	= −1;
		0
15)	y = x6 − 5x5 + 1,	x	= 0 .
		0

	Уровень II
Построить график функции y = y ( x)			в окрестности точки x0 :
1)	y = 4x − x2 − 2cos( x − 2) ,	x		= 2 ;
		0
2)	y = 6ex−2 − x3 + 3x2 − 6x ,	x = 2 ;
		0
3)	y = 2ln ( x + 1) − 2x + x2 + 1,	x		= 0 ;
		0
4)	y = 2x − x2 − 2cos ( x −1) ,	x		= 1;
		0
5)	y = cos2 ( x + 1) + x2 + 2x ,	x		= −1;
		0
6)	y = 2 ln x + x2 − 4x + 3 ,	x = 1;
		0
7)	y = 1 − 2x − x2 − 2cos( x + 1) ,	x		= −1;
		0
8)	y = x2 + 6x + 8 − 2ex+2 ,	x = −2 ;
		0
9)	y = 4x + x2 − 2ex+1,	x = −1;
		0
10)	y = ( x + 1)sin ( x + 1) − 2x − x2 ,	x		= −1;
		0
11)	y = 6ex−1 − 3x − x3 ,	x		= 1;
		0
12)	y = 2x + x2 − ( x + 1) ln (2 + x) ,	x		= −1;
		0
13)	y = sin2 ( x + 1) − 2x − x2 ,	x		= −1;
		0
14)	y = x2 + 4x + cos2 ( x + 2) ,	x		= −2 ;
		0
15)	y = sin2 ( x − 2) − x2 + 4x − 4 ,	x		= 2 .
		0
	Уровень III
Построить график функции y = y ( x)			в окрестности точки x0 .
	x y = y x ,		x = 1;
				0

325

3. Формула Маклорена

Частный, простейший вид формулы Тейлора при x0 = 0 принято на- зывать формулой Маклорена. Она дает разложение функции по степеням х. Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора неприме- нима, так как при x0 = 0 эти функции или их производные не существуют

(например ln x , x , ctg x ).

Формула Маклорена

y ( x) = y (0) + y¢(0)× x +

y¢¢(0)

x2 + ... +

y(n) (0)

xn + R

( x) ,

e( x) = 1+ x +

+ ... +

+ 0 (xn )

(n!)

ln (1+ x) = x -

-... + (-1)n−1

+ 0

(xn )

R ( x) =	y(n+1) (c)	× хn+1 ,
	(n +1)!
n

где c Î(0; x)

Rn ( x) = 0(xn )

где x → 0

(1+ x)m =1+ mx +

m (m -1)

x2 +... +

m (m -1)(m - 2)(m - n +1)

xn + 0 (xn )

sin x = x −

− ... + (−1)n−1

x2n−1

+ 0 (x2n−1 )

(2n −1)!

cos x = 1−

+ ... + (−1)n−1

x2n−2

+ 0 (x2n−2 )

(2n − 2)!

0(xn )

Обучающая задача.

Разложить по формуле Маклорена до

функции:

10. y = xe2 x ;

20. y =

+ 4

Решение:

10. Разложим функцию y = xe2 x

по формуле Маклорена двумя спо-

собами: 1) непосредственно вычислив y(n) (0)

используя

извест-

ное разложение функции y = ex .

1 способ:

Для вычисления

y(n) (0)

воспользуемся формулой

Лейбница:

y(n) ( x) = (xe2 x )(n) = Cn0 (e2 x )(n) × x + Cn1 (e2 x )(n−1) × x¢ =

326

= (e2 x )(n) × x + n(e2 x )(n−1) = 2n × e2 x × x + n × 2n−1 × e2 x .

Тогда y(n) (0) = n × 2n−1 y (0) = 0 ,

y′(0) =1, y′′(0) = 2 × 2 = 4 , …

Записываем формулу Маклорена:

x e2 x = x +

x2 +

3 × 22

x3 + ... +

n × 2n−1

xn + 0(xn ).

2 способ:

Если нам удастся получить разложение функции y = e2 x

по степеням х, то, умножая его на

х,

получим разложение функции

y = x e2 x по степеням

х, т.е. формулу Маклорена для функции

y = x e2 x .

Разложить функцию e2 x

по формуле Маклорена очень просто.

Для этого

надо в формуле Маклорена для функции et

вместо t подставить 2х:

et =1 +

+ ... +

t n

+ 0

(tn )

e2 x =1 +

+ (2x)2

+ ... + (2x)n + 0

(xn ),

e2 x =1 +

x2 + ... +

xn + 0(xn )

xe2 x = x +

x2 +

x3 + ... +

2n−1

xn +

xn+1 + 0

(xn+1 ).

(n -1)!

По условию

нам

надо

получить

разложение

функции

y = x e2 x

до 0(xn ).

Заметим, что

xn+1 + 0

(xn+1 ) = 0(xn ). Тогда получим искомое раз-

ложение:

2n−1

xe2 x = x +

x2 +

x3 + ... +

xn + 0(xn ).

(n -1)!

20. Разложить функцию

y =

по формуле Маклорена первым

x2 + 4

способом, т.е. вычислив y(n) (0) , сложно (убедитесь в этом). Поэтому надо опять воспользоваться одним из известных разложений, т.е. разложением

327

функции

y =

по

степеням

t. Для

этого преобразуем функцию

+ t

y =

, выделив в знаменателе 1:

x2 + 4

=1 - t + t2 - t3 + ... + (-1)n−1 ×t n−1 + 0(t n−1 )

1 + t

x2 + 4

t =

4 1

x2 n−1

+ (-1)

n−1

+ 0(x2n ) =

1 -

- ...

x +

x2 - ... +

(-1)n−1 ×

x2n−2

+ 0(x2n−2 ) .

4n+1

Заметим, что выделить 1 в знаменателе можно было бы и так:

1 + (x2 + 3)

x2 + 4

а дальше вместо

подставить (x2 + 3). Но тогда мы получили бы не фор-

мулу Маклорена, а разложение функции у по степеням (x2 + 3).

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Разложите функцию у по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:

1) y = x . x4 -1

Ответ: -x + x5 - x9 + ... + (-1)n × x4n−3 + 0(x4n−3 );

2) y = x2 ln (1 - x2 ).

328

Ответ: -x4 -

+ ... + (-1)n ×

x2n+2

+ 0

(x2n+2 ) ;

y = e2−3x .

Ответ: e2 - 3e2 × x +

3e × x2

- ... + (-1)n−1 ×

3n × e2 × xn

+ 0

(xn );

y = x2 cos

Ответ: x2 -

42 × x4

44 × x6

+ ... + (-1)n−1 ×

42n−2 × x2n

+ 0(x2n );

32 × 2! 34 × 4!

32n−2 ×(3n - 2)!

y = ln (5 - 4x) .

Ответ: ln 5 -

42 × x2

43 × x3

- ... -

4n × xn

+ 0(xn );

53 ×3

5n × n

y =

1 - 2x2

Ответ: x6 - 2x8 + 22 × x10 - ... + (-1)n−1 × 2n−1 × x2n+4 + 0(2n + 4) ;

y = x2e−2 x2 .

Ответ: x2 - 2x4 +

22 × x6

23 × x8

+ ... + (-1)n−1 ×

2n−1 × x2n−2

+ 0(x2n−2 );

(n -1)!

y =

9 + x2

Ответ:

+ ... +

x2n−1

+ 0(x2n−1 );

y = x3 sin

Ответ:

+ ... + (-1)n−1 ×

x2n+2

+ 0(x2n+2 );

22n−1 (2n -1)!

23 ×3! 25 ×5!

329

10)

y = ln (2 + 3x) .

Ответ: ln 2 +

32 × x2

33 × x3

- ... + (-1)n−1 ×

3n × xn

+ 0(xn );

2n × n

23 ×3

11)

y =

2 - 3x2

Ответ:

3x2

32 × x4

33 × x6

+ ... + (-1)n−1 ×

3n−1 × x2n−2

+ 0(x2n−2 );

2n−1

12)

y = e3x−1 .

Ответ:

32 × x2

33 × x3

+ ... +

3n × xn

+ 0(xn );

e × 2!

e ×3!

13)

y = x2 sin 3x .

Ответ: 3x3 -

33 × x3

35 × x5

- ... + (-1)n−1 ×

32n−1 × x2n−1

+ 0

(xn );

(2n -1)!

14)

y = ln (3 - 4x) ;

Ответ: ln 3 -

42 × x2

43 × x3

- ... -

4n × xn

+ 0(xn );

3n × n

y =

15)

4 - 3x

Ответ: 2 -

x -

32 × x2

- ... -

3n × xn

+ 0(xn ).

22n−1 × n!

Уровень II

Разложите функцию у

по формуле Тейлора в окрестности точки x0 :

1)y = ln (6x - x2 - 7), x0 = 3;

2)	y =			1			, x0	= 1;
2)	y =	x2		- 2x		+ 5	, x0	= 1;
		x2		- 2x		+ 5
	y =				,		x0 = 2 ;
3)	y =		x + 2		,		x0 = 2 ;
4)	y = e2 x− x2 ,						x	= 1;
						0
5)	y = x sin x ,						x0	= π ;

6)	y = ln (3x + 5) ,						x0 = −1;
	y =				,		x0 = 3;
7)			2x - 2
8)		2(x2 +4 x)				,	x	= −2 ;
	y = e
							0
9)	y =	x −1		,			x = −2 ;

		3 + x					0

10)	y = ( x +1)ex ,						x	= 1;
							0

330

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб127умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб126умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб113умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб118умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб119умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб127умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб107умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб117умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб165умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf