Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

	13) y = arcsin				2x		,	x0 = 0 .		Ответ:	2 dx ;
	13) y = arcsin						,	x0 = 0 .		Ответ:	2 dx ;
				1 + x2		π ,
	14) y = ln sin 2x +					π ,		x	= 0 .	Ответ:	2 dx ;
								0
						4
	15) y = e			,					= π .
	15) y = e		tg x	,				x	= π .	Ответ:	e dx .
								0	4
									4
								Уровень II
	Найти дифференциал dy в точке M0 (1;1) функции, заданной неявно:
1)	x3 + y3 + 5x2 y − 6 y2 −1 = 0 ;								9) x2 − 5xy3 − y2 + x + 4 = 0 ;
2)	x2	+ 2xy3 − 3y2 − 2 y + 2 = 0 ;							10)	2 y3 − xy2 + x2 y − 2 = 0 ;
3)	x3	+ 3x2 y2 − y3 − 3x = 0 ;							11)	5x3 − 4x2 y + y3 − 2 y = 0 ;
4)	x2	− xy4 + 2 y2 − y −1 = 0 ;							12)	y2 − 2x2 − 4xy2 + 5 = 0 ;
5)	y3 − 4xy2 + x2 y + 2 = 0 ;								13)	2x − x3 − 3y3 + xy2 + 1 = 0 ;
6)	x3	− 2xy3 − y2 + 2x = 0 ;							14)	3x2 − 5xy + xy3 + y = 0 ;
7)	y2 − 3xy3 − 4x2 + 6 y = 0 ;								15)	y3 − x3 − x2 y + 3xy2 + 4 = 0 ;
8)	2 y3 − 6x2 y + 3y + x = 0 ;								16)	x4 + y4 − 3x3 y − xy3 + 2x = 0 .

Уровень III

Найти дифференциал dy в точке M0 (4; 2) функции, заданной неявно

	x	−1
xe y2		−1
xe y2		− 2 y = 0 .

3. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

y = dy + 0 ( x) y ≈ dy при x 1


y ( x + x)			≈ y ( x ) + y′( x ) x
	0		0		0
δ =		y − dy		– абсолютная погрешность

e =		Dy - dy		×100% –	относительная погрешность

		Dy

271

Упражнение. Точка движется прямолинейно по закону x (t ) = arctg t . Чему приближенно равен путь DS, пройденный точкой за

промежуток времени от

t1 = 3 до t2 = 4 ?

Обучающая задача.

Найти приращение и дифференциал функции

y = x2 - x

при

x = 10 , если:

10.

x = 0,1;

20.

x = 0,01.

Вычислить абсолютную и относительную погрешности, обусловлен-

ные заменой приращения функции ее дифференциалом.

Решение:

Вычисляем

и dy:

Dy = (( x + Dx)2 - ( x + Dx) - (x2 - x)) = (2x -1)Dx + Dx2 ,

dy = (2x −1) x .

По условию x

= 10 , значит,

Dy =19 × Dx + Dx2 ,

dy = 19 x .

10. При

x = 0,1

y = 1,9 + 0,01 = 1,91,

dy = 1,9 .

d =

1,91 -1,9

= 0,01,

e =

0,01

×100% » 0,5% .

1,91

20. При

x = 0,01

y = 0,19 + 0,0001 = 0,1901,

dy = 0,19 .

d =

0,1901 - 0,19

= 0,0001, e =

0,0001

×100% » 0,05% .

0,19

Замечание.

Очевидно, чем меньше выбрана

x , тем меньше по-

лучаются абсолютная и относительная погрешности.

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень II

Найти y и dy функции y = y ( x) в точке x0 , если приращение ар-

гумента равно x . Определить абсолютную и относительную погрешно- сти, которые получаются при замене приращения функции ее дифферен- циалом.

1) y = x2 - 5x ,	x = 2 ,	x = 0,01;
	0

272

2)	y = x3 + 1,	x	= 2 ,	x = 0,1;
		0
3)	y = x2 + x + 1,	x	= −1,	x = 0,01;
		0
4)	y = 2x2 + 1,	x	= 2 ,	x = 0,01;
		0
5)	y = −x3 + x ,	x	= 1,	x = 0,1;
		0
6)	y = −x2 + 2x −1,	x	= 2 ,	x = 0,01;
		0
7)	y = x2 − 2x + 4 ,	x	= 2 ,	x = 0,01;
		0
8)	y = x2 + 2x −1,	x	= −2 ,	x = 0,01;
		0
9)	y = x2 + 5x −1,	x	= −1,	x = 0,01;
		0
10)	y = x3 + 2x ,	x	= 1,	x = −0,1;
		0
11)	y = −x3 + 5 ,	x	= 2 ,	x = −0,1;
		0
12)	y = 2x3 −1,	x	= −1,	x = 0,1;
		0
13)	y = x2 + 3x −1,	x	= 1,	x = 0,01;
		0
14)	y = x3 + 2x ,	x	= −1,	x = 0,1;
		0
15)	y = x2 − x −1,	x	= 1,	x = −0,1.
		0

Уровень III

1)С какой относительной погрешностью допустимо измерить ради- ус шара, чтобы его объем можно было определить с точностью до 1 %?

2)Показать, что относительная погрешность в 1 % при определении радиуса круга влечет за собой относительную погрешность приблизитель- но 2 % при вычислении площади круга.

3) Период колебания маятника вычисляется по формуле T = 2p l , g

где l – длина маятника, g = 980 м/c. Какое влияние на погрешность при вычислении Т окажет погрешность в 1 % при измерении длины маятника?

Обучающая задача.				Вычислить приближенно:
	0					0	′
1	0	. 0,98 ;			2	0	′
1		. 0,98 ;			2		. cos 60°6
Решение: Воспользуемся приближенной формулой
			y ( x	+ Dx) » y ( x	) + y′( x ) × Dx			(*)
		0		0			0

273

10. В этом случае функция

y ( x)

равна x и формула (*) запишется

следующим образом

× Dx .

x + Dx

2 x0

Теперь надо удачно выбрать x0

x , т.е. корень

x0 должен точ-

но вычисляться и

x должно быть мало по сравнению с

x0 .

Очевидно,

x0 = 1, x = −0,02 . Тогда

×(-0,02) = 0,99 .

0,98

20. Здесь y ( x) = cos x , x

= 60° = π

, Dx = 6¢ =

, (градусную меру

1800

обязательно переводим в радианную!). Формула (*) запишется так:

cos ( x0 + Dx) » cos ( x0 ) + (-sin x0 ) × Dx .

Тогда

cos 60°6¢ » cos 60° - sin 60° ×

1800

cos 60°6¢ » 0,5 -

1800

Возьмем значения

» 0,8660 , π ≈ 3,1415 с четырьмя десятичными

′

≈ 0,5 − 0,0015 = 0, 4985 .

знаками. Тогда cos 60°6

		Уровень II
Вычислите приближенно:
1)	ln 0,98 ;	4)	sin 29° ;
2)	arctg1,02 ;	5)	tg 47° ;
		6)	ln1,02 ;
3)	3 26,99 ;	6)	ln1,02 ;

274

4 15,98 ;

12) 3 8,03 ;

ctg 44° ;

13) e−0,01 ;

arcsin 0,001;

14) ctg 28° ;

10) e0,02 ;

15) arcctg 0,98 .

11) arctg 0,99 ;

Уровень III

Вычислите приближенно:

′

(2,037)2 − 3

2 − 0,15

ln tg 47°15 ;

;

2 + 0,15

(2,037)2

+ 5

Домашнее задание

1.Изучить тему «Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа».

2.В какой точке M 0 ( x0 , y0 ) кривой касательная к ней параллельна,

перпендикулярна заданной прямой?

y = 2x2 − 3x ,		4x − y + 2 = 0 .
7	7
Ответ:	;	.

4	8

3.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой y = ex + x2 ,
проведенной в точке x0 = 0 .
Ответ: y = x + 1;							y = −x + 1.
4.	Найти дифференциал функции в точке x0 :

							x =	3	.
y =		1 − x2 arcsin x ,						3
y =		1 − x2 arcsin x ,
							0	2
								2
			−2π
			−2π		3
Ответ:						+ 1 dx .
Ответ:			3			+ 1 dx .
			3
5.	Найти			y и dy функции y = y ( x) в точке x0 , если приращение

аргумента равно x . Определить абсолютную и относительную погрешно- сти, которые получаются при замене приращения функции ее дифферен-

циалом, если y = x3 + 3x	2 , x = 1,	x = 0,1.
	0

275

Вычислите приближенно

arcsin 0,03.

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа

Теорема Ролля

Если

Теорема Ролля:

M(c, y(c))

y ( x)

непрерывна на [a; b];

y ( x)

дифференцируема на (a; b);

y (a) = y (b) , то хотя бы одна

точка с (a; b) такая, что y′(c) = 0 .

Обучающая задача. Проверить выполнение условий теоремы Рол- ля на отрезке [–1; 1] для функций:

10. y ( x) = x2 −1;

20.

y ( x) =

x2 −1

Решение:

y ( x) = x2 −1

10.

Очевидно, что функция

непрерывна и дифферен-

цируема

на

отрезке

[–1; 1].

Кроме

того,

y (−1) = y (1) = 0 . Тогда согласно теореме Ролля,

на интервале

(–1; 1) обязательно существует хо-

тя бы одна стационарная точка. Убедимся в этом

–1 0

y′(c) = 2c

с = 0, с (–1; 1).

Итак, с = 0 – стационарная точка функции

y ( x) = x2

−1 на интервале (–1; 1).

Касательная к

графику функции в точке М(0; –1) параллельна оси Ох.

−1

′

20. Имеем,

y (−1) = y (1) = 0 , но производная y′( x) =

= 1 +

нигде в нуль не обращается. И дело здесь в том, что не выполнены первые

два условия теоремы Ролля: функция y ( x) =	x2 −1	разрывна в точке x = 0

	x	0

и тем более не дифференцируема в этой точке.

276

Таким образом, этот пример нас убеждает в том, что равенства на концах отрезка значений функции не достаточно для существования внут- ри отрезка стационарной точки.

Преподаватель у доски выполняет следующие упражнения, ра- ботая со всей аудиторией.

Упражнение. Для каких из следующих функций выполнены ус- ловия теоремы Ролля на отрезке [0; 2]:

y ( x) = x −1;

4) y ( x) =

x - 2x

;

2) y ( x) = ( x −1)2 ;

x +1

3) y ( x) =

x -1

;

5) y ( x) =

x2 - 2x

x -1

Упражнение.

Пусть

y ( x) = x ( x +1)( x + 2)( x + 3).

Не

вычисляя

производной, доказать, что все три корня уравнения

y′( x) = 0

действи-

тельны.

ex−1 + x - 2 = 0 ,

Упражнение.

Доказать, что уравнение

имеющее

корень x = 1, не имеет других действительных корней.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа:

с (a; b)

Если

y ( x) непрерывна на [a; b],

y ( x) дифференцируема на (a; b),

то хотя бы одна точка с (a< с <b)

c b

x 0

c2 b x

такая, что

y (b) − y (a ) = y′(c)(b − a ) .

Обучающая задача. Записать	формулу	Лагранжа для		функции
y ( x) = x3 - 5 на отрезке [– 1; 2] и найти соответствующее значение с.
Решение: Нетрудно видеть, что условия теоремы Лагранжа для
этой функции выполнимы. Тогда			3 - (-6)
y (-2) - y (-1) = 3c2 ×(2 - (-1))	3c2 =		3 - (-6)
y (-2) - y (-1) = 3c2 ×(2 - (-1))	3c2 =
		3
3c2 = 3 c2 =1	c = 1, c = −1.
	1	2

277

Уровень I

Записав формулу Лагранжа для функции y ( x) на отрезке [a; b], най-

дите на интервале (a; b) соответствующее значение с.

1)	y ( x) = x5 − 2x − 3,		[– 1; 0];	9)	y ( x) = −9x3 + 1,	[– 1; 0];
2)	y ( x) = 5x3 + 8 ,		[0; 1];	10)	y ( x) = 11 − 7x3 ,	[– 3; 0];
3)	y ( x) = 4x3 − 9 ,		[– 1; 0];	11)	y ( x) = −7 − 2x3 ,	[0; 3];
4)	y ( x) = 2x3 − 3 ,		[0; 3];	12)	y ( x) = 6 − 5x3 ,	[– 2; 1];
5)	y ( x) = 4x3 − 5 ,		[0; 3];	13)	y ( x) = 6x3 + 7 ,	[– 1; 2];
6)	y ( x) = −3x3 + 5 ,		[– 2; 1];	14)	y ( x) = 0,5x3 + 3,5 ,	[0; 1];
7)	y ( x) = −6x3 + 4 ,		[– 1; 2];	15)	y ( x) = −1,5x3 + 2,5 ,	[– 1; 0].
8)	y ( x) = −7x3 −1,		[0; 1];
			Уровень II
	На кривой y = y ( x)		найдите точку M ( x0 , y0 ) , в которой касательная
параллельна хорде, соединяющей точки А и В.
	1)	y = 5 − 3x3 ,	А(–2; 29),		В(1; 2);
	2)	y = 4x3 − 5 ,	А(0; –5),		В(3; 103);
	3)	y = 2x3 − 3 ,	А(–3; –57),		В(0; –3);
	4)	y = 4x3 − 9 ,	А(–1; –13),		В(0; –9);
	5)	y = 5x3 + 8 ,	А(0; 8),		В(1; 13);
	6)	y = 2x3 −1,	А(0; –1),		В(2; 15);
	7)	y = 2x3 + 7 ,	А(–2; –9),		В(1; 9);
	8)	y = 6 − 5x3 ,	А(–2; 46),		В(1; 1);
	9)	y = 6x3 + 7 ,	А(–1; 1),		В(2; 55);

278

10)	y = 0,5x3 + 3,5 ,	А(0; 3,5),	В(1; 4);
11)	y = -1,5x3 + 2,5,	А(–1; 45),	В(0;	5	);

			2
12)	y = -7x3 -1,	А(0; –1),	В(1; –8);
13)	y =1 - 9x3 ,	А(–1; 10),	В(0; 1);
14)	y = 3 - x3 ,	А(–1; 4),	В(2; –5);
15)	y = 7 - 2x3 ,	А(0; 7),	В(3; –47);

Уровень III

С помощью теоремы Лагранжа доказать неравенства

a − b	£ ln	a	£	a − b	, если 0 < b ≤ a .
a		b
				b

3. Теорема Коши

Теорема Коши:

Если

1.y ( x) и g ( x) непрерывны на [a; b],

2.y ( x) и g ( x) дифференцируемы на (a; b),

3.g¢( x) ¹ 0 на (a; b), то с (a; b) такая, что

y (b) − y (a)

y′(c)

g (b) − g (a)

g′(c)

Домашнее задание

∞

Изучить тему «Правило Лопиталя (неопределенности вида

0 × ¥,

, степенные неопределенности 0∞ ,¥0 ,1∞ )».

Записав формулу Лагранжа для функции y ( x) =

- 2x +1 на

отрезке [0; 3], найдите на интервале (0; 3) соответствующее значение с.

3. На кривой y = 4 − 6x3 найдите точку M ( x0 , y0 ) , в которой каса-

тельная параллельна хорде, соединяющей точки А(–1; 10) и В(2; – 44).

279

4. Выполнить третье – пятое задания из внеаудиторной контроль- ной работы.

VI. Правило Лопиталя (неопределенности вида 0 × ¥, 0 , ∞ , сте-

0 ¥

пенные неопределенности 0∞ ,¥0 ,1∞ )

( x)

и g ( x) дифференцируемы

y ( x)

g ( x) дифференцируемы

в Uɺ( x

) ,

lim y ( x) = lim

g ( x) = 0 .

в Uɺ( x

) ,

lim

y ( x) = lim g ( x) = ¥ .

x→x0

g¢( x) ¹ 0

в Uɺ( x ) , тогда, если

g¢( x) ¹ 0

Uɺ( x

) , тогда если $

y′( x)

y ( x)

y¢( x)

y ( x)

lim

, то

lim

, то $

lim

′( x)

¢( x)

x→x0 g

x→x0 g ( x)

x→x0 g

x→x0 g ( x)

y ( x)

y¢( x)

y ( x)

∞

y¢( x)

lim

∞=

lim

x→x0 g ( x)

x→x0 g¢( x)

x→x0 g ( x)

x→x0 g¢( x)

Преподаватель у доски выполняет со всей аудиторией.

Упражнение. Какие из следующих выражений содержат неопре-

деленности вида

а)

; б)

∞

ln x

lim

;

lim

;

x→+∞ x

x→+0 x

lim

;

lim

ln (1 + x)

x→−∞ x

x→0

Обучающая задача.

Вычислить пределы:

x5 - 2x +1

sin 2x

. lim

;

lim

x→1 2x4

- x -1

→π tg 3x

Решение: В обоих случаях имеем неопределенность вида ,

раскрыть которую можно уже изученными приемами, а именно:

1)разложением числителя и знаменателя дроби на множители;

2)использованием первого замечательного предела и его следствий, предварительно сделав замену α = x − π .

280

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб127умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб126умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб113умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб118умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб119умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб127умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб107умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб117умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб165умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf