Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3634 35 36 > Следующая >>>

11)

y = x ln ( x −1) ,

x0 = 2 ;

y =

= −1;

14)

x + 10

12)

y = x cos x ,

x0 = π ;

15)

y = xex−1 ,

= 2 ;

y =

x0 =1;

y = sin (x2 + 4x),

= −2 .

13)

16)

2x + 3

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод

выделения главной части)

y ( x)

Пусть требуется вычислить предел lim

, где y (0) = 0 ,

g (0) = 0 ,

x→0 g ( x)

т.е. раскрыть неопределенность вида

. Разложим функции

и g по

формуле Маклорена, ограничившись первыми отличными от нуля членами разложения:

y ( x) = axn + 0(xn ),	a ¹ 0
g ( x) = bxm + 0(xm ),	b ¹ 0 .

Иначе говоря, с помощью формулы Маклорена с остаточным членом в форме Пеано выделим главные части axn и bxm функций y и g при x ® 0 . Тогда

lim

x→0

Замечание. При

y ( x)	= lim	axn + 0	(xn )	.
g ( x)
	x→0 bxm + 0(xm )

y ( x)

вычислении предела lim ( ) , где x→0 g x

y ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 , x0 ¹ 0 , следует свести задачу к предыдущей с помощью

замены t = x - x . Случай x → ∞ сводится к случаю t ® 0 заменой			t =	1	.
			t =		.
0				x
				x
Замечание. Неопределенности других видов ∞ , 0, ∞, ∞ − ∞			мож-
		∞
но привести к неопределенности вида	0	путем алгебраических преобра-
но привести к неопределенности вида	0	путем алгебраических преобра-
	0

зований.

331

Обучающие задачи.

−

( x−1)2

10. lim

cos( x -1) - e

( x

-1)4

x→1

Решение:

cos( x -1) - e

− ( x−1)2

x -1

= t x = t +1

−

cost - e

lim

= lim

x→1

( x -1)4

x ®1 t ®1

x→1

Теперь можно воспользоваться формулой Маклорена для функции

cos t и eu :

cos t =1 -

- ... + (-1)n

t 2n

+ 0(t 2n +1 ),

(2n)!

(*)

eu =1 +

+ ... +

+ 0(un ).

Подставляя в последнее разложение

вместо u, получим

− t2

- ... + (-1)

=1 -

+ 0(t 2n ).

e 2

(**)

22 × 2!

2n × n!

Выясним, сколько членов в разложениях (*) и (**) нам нужно взять, чтобы в числителе дроби получить первый отличный от нуля член. Первые два члена в этих разложениях совпадают, поэтому при вычитании они со- кратятся, а третьи различаются. Следовательно, достаточно взять n = 2 .

Итак,

−

+ 0

(t5 ) -

+ 0

(t 4 )

0(t5 ) + 0

4 )

× 2!

lim

cost - e

= lim

+ lim

= -

t 4

t →0

→0 t 4

t →0

20. lim x - x2 ln 1

x→∞

Решение:

Сделаем здесь замену t =

. Тогда

ln (1 + t )

t - ln (1 + t )

lim

- x2 ln 1 +

= lim

t 2

x→∞

t →0 t

t →0

332

Теперь можно воспользоваться формулой Маклорена для ln (1 + t ) :

ln (1 + t ) = t −

t 2

− ... + (−1)n−1

+ 0(tn ).

Выясним, сколько членов этого разложения нужно взять, чтобы вы-

делить главную часть функции, стоящей в числителе.

t − ln (1 + t ) = t

− t +

−

+ ... − (−1)n−1

+ 0

(tn ).

Главная часть функции

t − ln (1 + t ) равна

t 2

, а остальные слагае-

мые есть бесконечно малые более высокого порядка, чем

t 2 :

t − ln (1 + t ) =

+ 0(t2 ) ,

т.е. в разложении

ln (1 + t )

достаточно взять

n = 2 .

Окончательно имеем

t − ln (1 + t )

+ 0(t 2 )

0(t2 )

lim

= lim

+ lim

t 2

t →0

2 t →0

Преподаватель у доски выполняет со всей аудиторией.

Упражнение.	Пусть x → 0 . Выделить главную часть вида axn (а
– постоянная) и определить порядок малости относительно			х следующих
функций:
1. x5 − 3x4 − x2 ;	2. sin x − x ;	3.	ex − cos x .

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Вычислите пределы с помощью формулы Тейлора:

	10x9		− 5x8			5
1) lim					.	Ответ:	;
		+ 2x4 )
x→0 ln (1				− 2x4		2

333

e3x3 −1 − 3x3

lim

5x6 − 8x7

x→0

lim

3x6 − 2x9

x→0

sin x3 − x2 +

lim

1 + x2

− 2 − x

3x4 + x6

x→0

lim

3x8 + 3x6

x→0 e2 x3 −1 − 2x3

lim

3x5 + 6x

x→0 x ln (1 + 2x2 )

− 2x3

lim

2x4 + x3

(1 + 3x) − 3x +

x→0 ln

lim

2x −1 − x ln 2

x sin x

x→0

lim

x8 − 2x10

x→0 3 3 1 + x4 − 3 − x4

10) lim

sin 3x3 − 3x3

5x7 + 15x6

x→0

11) lim

2x20 + 2x21

x→0 cos 4x5 −1 + 8x10

(1 + x) − sin x

12) lim

6x3 + 3x2

x→0

13) lim

21x3 + 14x

−1 − ln (1 + x)

x→0 ex

14) lim

sin 2x − ln (1 + 2x)

x→0

6x2 − 3x3

15) lim

x2 + 2x

x→0

3 1 + 3x −1 + ln (1 − x)

Ответ: {0,9};

Ответ: {3};

− 1

Ответ: ;

− 3

Ответ: ;

ln2 2 Ответ: 2 ;

Ответ: {– 9};

Ответ: {0,3};

Ответ: ;

− 1

Ответ: ;

Ответ: {14};

Ответ: ;

− 2

Ответ: .

334

Уровень II

Вычислите пределы с помощью формулы Тейлора:

lim

ln2 (1 + x) - sin2 x

;

1 - e− x2

x→0

lim

x8 × cos

- x8

+ 2x

;

x→∞

- sin ( x -1) - 2cos ( x -1)

;

lim

x→1

arctg ( x -1) - ln x

- 6

);

lim

x6 + x5

x6 - x5

x→∞

ln (1 + x)1+ x

lim

;

x→0

4 × ln

1 + x

- x2

lim x

;

x→∞

- arcsin ( x -1) - 3cos( x -1)

lim

;

ex−1 -1 - ln x

x→1

(

)

lim

x 2

x +1

x -1

- 2

;

x→+∞

ln (1 + x2 ) - x

1 + sin x

lim

;

tg3 x

x→0

10) lim x4 e x2

- cos

;

x→∞

+ 3

- 2 4

11) lim

1 + x

1 - x

;

+ ln (1 +

2x)

x→0

(x2

- x + 2)

- x

4 + x2 +1

12) lim

e x

;

x→∞

13) lim

2x × cos x2 - 2sin x + ln (1 + x3 )

;

arctg x3

x→0

335

− sin ( x −1) − 2cos (1 − x)

;

14) lim

x→1

arctg ( x −1) − ln x

esin x − 1 + x2 − x cos x

15)

lim

;

ln3 (1 − x)

x→0

lim x

− x cos

16)

x2 + 1

x→∞

Уровень III

Вычислите пределы с помощью формулы Тейлора:

	ee		x	−1	−	1
						− x
1. lim					1		;
		1	+ x
x→0 ln					− 2sin x
		1	− x

2. lim n		− x2	.
	(1 + x2 )(2 + x2 )...(n + x2 )
x→∞

5. Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора

y ( x) ≈ y ( x

) +

y′( x0 )

( x − x ) + ... +

y(n) ( x0 )

( x − x

x = x − x0

ex ≈ 1 + x +

+ ... +

y′( x0 )

y(n) ( x0 )

y ( x) ≈ y ( x

) +

x + ... +

ln (1 + x) ≈ x −

− ... + (−1)n−1

δ –

точность вычисления

y(n+1) (c)

− ... + (−1)n−1

x2n−1

( x)

< δ ,

( x) =

xn+1

sin x ≈ x −

2n −1 !

(

(n +1)!

)

cos x ≈ 1 −

+ ... + (−1)n−1

x2n−2

(2n − 2)!

≈ 1− x + x

2 − x3 + ... + (−1)n−1 xn

1+ x

Формула Тейлора дополняет, уточняет приближенное равенство, по- лученное раньше с помощью дифференциалов. Сравните:

y ( x) ≈ y ( x0 ) + y′( x0 )( x − x0 )

	′′				(	n	)
y ( x) ≈ y ( x0 ) + y′( x0 )( x − x0 ) +	y ( x0 )		( x − x0 )2 + ... +	y		n		( x0 )	( x − x0 )n .
	y ( x0 )			y				( x0 )

		2!					n!

336

Обучающая задача.

Выяснить

происхождение

приближенных

формул и оценить их погрешность:

10. e » 2 +

Решение: Нетрудно видеть, что данное приближенное равенство

получено из формулы Маклорена для

при x = 1, n = 5 :

ex »1 +

e »1 +

Оценим сверху погрешность такого вычисления:

(1)

y(6) (c)

×16

< 0,01,

720

так как 0 < c < 1,

то

ec < e1 < 3 .

Итак, из данной формулы мы получили приближенное значение чис-

ла е с точностью до 0,01:

e » 2 +

= 2 +

= 2,717...

120

sin 30°

. sin 31° » sin 30° +

cos30° -

180°

Решение: Здесь, очевидно, была использована формула Тейлора

для sin x при x0 = 30° ,

x = 31° − 30° = 1° ,

n = 2 . В самом деле, формула

Тейлора для sin x при x0 = 30° , n = 2 имеет вид

sin x = sin 30° + (sin x)¢

× Dx + (sin x)¢¢

Dx2

+ R

( x) .

x =30°

Полагая в ней x = 31° ,

Dx =1° =

, вычисляя значения производ-

180°

ных при x = 30° и отбрасывая остаточный член, получим исходное при- ближенное равенство. Оценим его погрешность.

y¢¢¢(c)

cos c

( x)

× (Dx)

(Dx)

где 30° < c < 31° .

337

Отсюда

( x)

cos c

p 3

< 10−6 .

180°

Обучающая задача. Вычислить приближенно с точностью до 0,01: 10. ln1,5 .

Решение: Воспользуемся формулой Тейлора для ln (1 + x), поло-

жив в ней x = 0,5 . Тогда

ln (1 + 0,5) » 0,5 -	0,52	+	0,53	- ... + (-1)n −1 ×	0,5n	.

2		3			n

Выясним, сколько членов в заданном разложении нужно взять, что- бы достичь требуемой точности вычисления (иначе говоря, какое нужно взять n). Подберем n так, чтобы выполнялось равенство Rn (0,5) < 0,01.

Но для данной функции

R (0,5)

y(n +1) (c)

× 0,5n +1

(-1)n −1 × n!

× 0,5n +1

(n + 1)!

(1 + c)n +1 × (n + 1)!

0,5n +1

(1 + c)n +1 × (n + 1)

n + 1

Так как 0 < c < 0,5 (1 + c)n +1 >1

<1.

(1 + c)n +1

Подбором находим, что неравенство

0,5n +1

< 0,01 будет выполнено

n + 1

при n ³ 4 . Итак, достаточно взять 4 первых члена разложения и заданная точность вычисления будет достигнута. При этом получится:

ln1,5 » 0,5 -	0,52	+	0,53	-	0,54	» 0,40 .

2		3		4

20. 330 .

Решение: Чтобы вычислить 330 , преобразуем вначале это выра- жение так, чтобы к нему можно было применить формулу Маклорена:

3 30 = 3 3 + 27 = 3 3 1 + 3 = 3 3 1 + 1 .
27	9

338

Теперь воспользуемся											формулой					Маклорена			для			функции
y = (1 + x)α , положив в ней								a =			1
											3

1			1		1	× -	2		x	2		1			2		1	- n + 1 ×		x	n
(1 + x)		=1 +		x +				×			+ ... +		×	-		×... ×						+ R	( x) .
	3

3					3			2!			3											n
						3									3		3		n!

Тогда при x = 1 получим

	1
	1							1					1			2		1						1							2							1				1					1
	1		3					1					1			2		1						1							2							1				1					1
1 +					=1		+				+			×	-		×			+ ... +						×		-					×... ×						- n +	1 ×			+	Rn
1 +					=1		+	×			+			×	-	3	×	2!× 92		+ ... +						×		-			3		×... ×					3	- n +	1 ×	n!× 9n		+	Rn
	9						3	×	9 3							3		2!× 92							3						3							3			n!× 9n						9
Умножив обе части этого равенства на 3, имеем
				1	1					1					2								2							5						1				1					1
3 1 +							= 3 +					-						+ ... +			-			× -										...			- n + 1					+ 3Rn				.
						3
						3								3 × 2!× 92
				9					9					3 × 2!× 92									3							3				3					n!× 92					9
		Чтобы достичь заданной точности вычисления, модуль отбрасывае-
мого члена должен быть меньше 0,01, т.е.																													3Rn						1			< 0,01, а значит,
																																			1

																																		9
																			Rn			1		<			1					.
																						1					1
																										300
																				9						300

Запишем остаточный член в форме Лагранжа:

																							1				(		)
											y(n +1)						( x) = (1 + x)											n +1		=
			y(n +1) (c)		1 n +1						y(n +1)						( x) = (1 + x)							3						=
1			y(n +1) (c)		1 n +1
Rn		=		×				=																										=
	9	=	(n + 1)!	×		9		=																								1	− n +1	=
	9		(n + 1)!			9																											− n +1
										=		1		×		-		2		× -	5	×... ×				1			- n		(1 + x) 3
										=				×		-				× -	3	×... ×							- n		(1 + x) 3
										3								3			3			3
						1					2						5				1
								×	-				×		-				×	... ×			- n
								×	-				×		-				×	... ×			- n
						=	3				3						3			3					,
						=									2										,
								(1 + c)n +							2		(n + 1)!× 9n +1

															3

где 0 < c < 1 . 9

339

Но тогда

1		<1			1	<	1× 2 × 5 ×... × (3n -1)

			и	Rn							.
(1 + c)n +	2				9			n +1	(n + 1)!× 9	n +1
	3						3

Подбором находим, что уже при n = 1 нужное неравенство выполняется

	1	<	2	=	1	<	1	.
Rn
			× 2!× 92		729		300
	9	321

Итак, 330 » 3 + 1 = 3,11 с точностью до 0,01. 9

Уровень I

Выясните происхождение приближенных формул и оцените их по- грешность:

1)	ln1,5 »				1		-		1		+					1			-	1	.	Ответ:	R			<				1			;
					1				1							1				1										1

	2								23					23 × 3 24 × 4									4				25 ×5
	2								23					23 × 3 24 × 4													25 ×5
	4		»1 +			1		+		1		.														<		1			;
2)		e																				Ответ:	R


	4								32														2				16
	4								32						0,12												16
				»1 - 0,05 -														.								<				1
3)		0,9																				Ответ:	R											;


																8							2				3!×103
																8											3!×103
4)	arctg 0,1 » 0,1 -												0,13				.					Ответ:	R		< (0,1)5									;
													0,13

														3									3							5
														3			π										1			5		p			2
5)	cos59° » cos 60° +																		sin 60° .			Ответ:	R	<					×							;


																							1
																180											2			180
									0, 2					0,22													(0, 2)3
6)	4, 2 » 2 +								0, 2			-		0,22					.			Ответ:	R			<	(0, 2)3							;
6)	4, 2 » 2 +											-							.			Ответ:	R			<								;
									4							64							2						512
									4							64													512
7)	ln 0,98 ≈ −0,02 − 0,0002 .																					Ответ:	R			<	(0, 2)3							;
																											(0, 2)3

																							2							3!
																														3!

340

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3634 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб127умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб126умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб113умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб118умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб119умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб127умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб107умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб117умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб165умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf