14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды имеют вид

Параметр t можно менять от – ∞ до +∞. Ближайшая к началу коорди- нат и лежащая правее него точка пересечения циклоиды с осью Ox отвечает значению t = 2π, т.к. она получается после одного полного оборота катя- щейся окружности. Для этого значения параметра будем иметь x = 2πR.

Кроме того, из (2.4.5) следует, что наивысшая точка циклоиды, соот- ветствующая t = π, имеет координаты (πR; 2R). Очевидно, для циклоиды выразить y как элементарную функцию x нельзя, выразить же x через

yможно ( t = arccos 1 − y ), но полученная при этом формула будет очень

R

громоздка. Параметрические уравнения циклоиды значительно проще.

Эвольвента окружности

Рассмотрим еще одну интересную кривую, которая имеет применение в теории зубчатых зацеплений.

Определение 2.4.6. Эвольвента окружности есть линия, описы-

ваемая точкой нити, которая, оставаясь туго натянутой, разматывается с этой окружности.

Предположим, что нить нерастяжима и предварительно была намо- тана на окружность. Найдем параметрические уравнения эвольвенты ок- ружности.

Поместим начало координат в центр окружности и проведем ось Ox через ту точку окружности, где находится точка, описывающая эвольвенту

M – точку, описывающую эвольвенту. Радиус окружности мы обозначим че- рез R, а угол оси Ox и луча OB через t.

Так как нить нерастяжима, то ее

отрезок BM равен дуге AB окружности. Значит, BM = Rt. С другой сто- роны, так как нить остается туго натянутой, то она сходит с окружности по

91

касательной. Поэтому отрезок BM перпендикулярен радиусу OB. Поэто- му ÐAOB = ÐMBD = t как углы, стороны которых взаимно перпендику- лярны. Тогда из DBMC будем иметь

CM = Rt sin t, CB = Rt cost.

Эти равенства позволяют легко получить координаты x и y точки M:

x = OE = OD + DE = OD + CM = R cos t + Rt sin t,

y = EM = DC = DB - CB = R sin t - Rt cost.

Таким образом, параметрические уравнения эвольвенты имеют вид

x = R(cos t + t sin t),

y = R(sin t − t cost), 0 ≤ t < +∞.

Очевидно, что эвольвента окружности представляет собою

2

Полярная система координат

В некоторых задачах техники и естествознания, например, при ис- следовании вращательных движений, удобно использовать довольно экзо- тическую систему координат на плоскости, которую называют полярной.

Она очень важна для инженерных расчетов и исследований, по- скольку значительно упрощает изучение ряда вопросов: при исследовани- ях вращательных движений, описании определенных ситуаций на фазовой плоскости системой дифференциальных уравнений, в геодезических изме- рениях и расчетах и т.п.

Определение 2.4.7. Основными элементами полярной системы координат являются:

−точка 0 (полюс);

−исходящий из нее луч [OP) (полярная ось);

−масштабный отрезок e;

−направление отсчета углов.

92

Положение точки M в поляр-

дем считать, что j > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и j < 0 – в противном случае. Величины (r; j) называют полярными коор- динатами точки М: r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. Обычно считают, что 0 £ j £ 2p или – p £ j £ p.

Мы будем рассматривать, так называемую, обобщенную полярную систему координат, в которой r может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

Замечание 2.4.2. Точку М по ее полярным координатам r и j в обобщенной системе координат строят следующим образом: по заданному полярному углу j строят луч, проходящий через полюс под углом j к по- лярной оси, причем положительное направле-

(т.е. на луче под углом j + p) – если r < 0.

Установим связь между полярными и декартовыми координатами одной и той же точки. Для этого совместим полюс 0 полярной системы с началом координат декартовой, а полярная ось [OP) пусть совпадает с по- ложительным направлением оси Ox как на рисунке.

Тогда из прямоугольного треугольника OMN следует

Так выражаются полярные координаты через декартовые.

x = rcos j,

= r j

y sin .

Так выражаются прямоугольные координаты через полярные.

93

Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид F(ρ,ϕ) =0 или ρ = f (ϕ). Оно может быть получено либо непосредственно из геометриче- ских свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравне- нии этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах.

Замечание 2.4.3. В полярной сис- теме координат уравнение окружности с

4

(уравнение y = x указано относительно декартовой системы координат, совмещенной с полярной указанным выше способом).

Выделим некоторые кривые, которые получили широкое распро- странение в технике и естествознании при исследовании и использовании вращательных движений.

Спираль Архимеда

Определение 2.4.8. Спиралью Архимеда называется линия, опи- сываемая точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равно- мерно вращается вокруг своего начала.

Выведем уравнение спирали Архимеда. Для этого надо, прежде все- го, выбрать определенную систему координат. Возьмем за полюс начало луча, по которому движется точка М, а за положительное направление по- лярной оси – начальное положение этого луча.

Обозначим, соответственно, через ω и v скорость вращения луча и скорость движения точки М вдоль по лучу. Поскольку оба движения рав- номерны, то ω – угол, на который поворачивается луч за единицу времени,

94

а v – расстояние, которое за единицу времени точка М, описывающая спи- раль, проходит вдоль по лучу.

Положение точки М будем определять ее полярными координатами ρ и ϕ. В начальный момент ρ = 0, ϕ = 0. В момент же времени t > 0, ϕ = ωt, ρ = vt.

Таким образом, при движении точки по спирали Архимеда ее полярный радиус-вектор изменяется прямо пропор- ционально аргументу.

Гиперболическая спираль

Определение 2.4.9. Гиперболическая спираль есть такая линия,

что полярные координаты точки, движущейся по ней, изменяются обратно пропорционально друг другу.

Из определения следует, что уравнение гиперболической спирали имеет вид

ρ = ϕk .

Очевидно, что с безграничным увеличением аргумента ϕ точки М радиус-вектор ρ этой точки будет приближаться неограниченно к нулю.

Лемниската

Определение 2.4.10. Лемнискатой называется линия, представ- ляющая собой геометрическое место точек, произведение расстояний ко- торых от двух данных точек-фокусов – есть величина постоянная и равная квадрату половины междуфокусного расстояния.

95

В соответствии с определением можно вывести уравнение лемниска- ты в декартовой системе координат

(x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ).

Таким образом, это кривая четвертого порядка. Поскольку уравнение ее содержит x и y только в четных степенях, соответствующая кривая симметрична относительно обеих осей. Значит, для установления формы лемнискаты достаточно выяснить форму той ее части, которая лежит в

96

В полярных координатах

ρ = 2r(1 – cos ϕ).

Замечание 2.4.5. Уравнение ρ = 2r(1 + cosϕ) также определяет кардиоиду в полярной системе координат с полюсом в той же точке. Оче- видно, в этом случае кардиоида является улиткой Паскаля.

Улитка Паскаля и кардиоида находят применение в кулачковых ме- ханизмах. Например, по улитке Паскаля очерчена одна из составных час-

Кривые, заданные в полярной системе координат, чаще всего, строят по точкам. Более детальное изучение формы этих кривых может быть вы- полнено с привлечением методов дифференциального исчисления.

от ϕ = 0 до ϕ = 2π через промежуток α = π , вычислим соответствующие

8

значения ρ и найденные значения поместим в табл 2.1.

Рассуждая аналогично и далее, получим изображение заданной кривой как на рисунке в 1-м способе.

Далее, найдем уравнение четырехлепестковой розы в прямоугольной системе координат, у которой начало помещено в полюс полярной систе- мы координат, а ось абсцисс направлена вдоль полярной оси.

Так как cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ , исходное уравнение ρ = a cos 2ϕ пе-

репишем в виде ρ = a (cos2 ϕ − sin2 ϕ). Подставляя сюда формулы перехода

98

Отсюда

x2 + y2 (x2 + y2 ) = a (x2 - y2 ) .

Возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получим окон- чательно

В противном случае функцию называют неограниченной. Определение 2.5.2. Функция f(x) называется возрастающей (не-

убывающей) на отрезке [a, b], если для "x1Î[a, b] и x2Î[a, b] при x1< x2 выполняется неравенство

Определение 2.5.4. Невозрастающие, неубывающие, а также воз- растающие и убывающие функции называется монотонными. Возрас- тающие и убывающие функции называются строго монотонными.

99