Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

IX. Физические и механические приложения дифференциального исчисления

Обучающая задача. Внешняя периодическая сила совершает ра- боту по перемещению материальной точки, равную A = −1,5cos(2πt ) (Дж).

Найти мгновенную мощность, развиваемую этой силой в момент времени t = 0,125 c.

Решение. Мгновенная мощность равна производной от работы по

времени, т.е. P = dA . dt

Ответ: 3,933 Вт.

Обучающая задача. Найти силу тока в проводнике, если заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, изменяется по закону q = At + e−kt (Кл).

Решение. Силой тока называется скалярная величина, численно равная заряду, переносимому носителями заряда через рассматриваемую поверхность (например, через поперечное сечение проводника) в единицу

времени: I = dq . dt

Ответ: I = A - k × e−kt .

Обучающая задача. Сила тока в проводнике изменяется по закону

I = I0e−5t2 (А). Найти скорость изменения тока в проводнике.

Решение. Скорость изменения любой физической величины равна производной от этой величины по времени. В задаче требуется найти ско-

рость изменения величины тока dI . dt

Ответ: dI = -10 I0 ×t × e−5t2 (A/c). dt

Обучающая задача. Поток вектора индукции магнитного поля, пронизывающего плоский замкнутый проводящий контур, изменяется по

закону Ф = 2 ×10−3 cos10pt (Вб). Найти электродвижущую силу индукции
B
εi в контуре в момент времени t = 0,15 c.
Решение.	Согласно закону электромагнитной индукции электро-

движущая сила индукции εi в контуре равна скорости изменения потока

311

вектора индукции ФB , пронизывающего этот контур, взятой с обратным

знаком: ei = - dФВ . dt

Ответ: -6, 28 ×10−3 B .

Обучающая задача. В магнитном поле, индукция которого В = 0,3 Тл и направление вектора индукции совпадает с направлением оси Z, вдоль оси Y расположен проводящий стержень длиной l таким образом, что се- редина стержня совпадает с началом координат. В момент времени t = 0 стержень начинает перемещаться с ускорением а = 2м/c2 вдоль оси X, ос- таваясь параллельным оси Y. Найти разность потенциалов, возникающую между концами движущегося проводящего стержня к концу четвертой се- кунды с момента начала движения.

Решение. При пересечении потока магнитной индукции отрезком проводника на концах проводника возникает разность потенциалов, кото- рая прямо пропорциональна скорости пересечения магнитного потока про-

водником при его движении, т.е. выполняется закон j = - dФВ . dt

В данном случае проводник при своем движении пересекает пло-

щадь S = lx = l	at2	, т.е. пересекает магнитный поток	Ф = Bl	at 2	.

2			В	2

Ответ: - 1,2 В.

Обучающая задача. Кольцо радиусом R из проволоки равномер- но заряжено и несет заряд q. Определить, на каком расстоянии r от цен- тра кольца напряженность электрического поля на оси кольца будет мак- симальной.

Решение. Напряженность поля, создаваемого равномерно заря- женным кольцом в точках на его оси, определяется формулой

				E =	qr		,
				E =	3		,
					4pe0e(R2 + r2 )
					4pe0e(R2 + r2 )	2
где e0 = 8,85	×10−12	Ф/м; e = 1 (для вакуума).
Ответ:	при	r =	R	.
Ответ:	при	r =		.
		2

Следующие задачи решаются студентами у доски.

1. Определить, при каком внешнем сопротивлении R сила тока в электрической цепи максимальна. Найти максимальную силу тока.

312

Указание. Сила тока в замкнутой электрической цепи изменяется

	I =	ε		где ε – электродвижущая сила источника тока;
по закону Ома			,
по закону Ома		R + r	,
r – его внутреннее сопротивление; R –							сопротивление внешней цепи.
Ответ: I = Imax = ε				при R = 0.
		r
2. Однородный тонкий стержень длиной l и массой m расположен
относительно вертикальной оси ZZ′ , проходящей								через	его
центр, таким образом, что ось стержня образует с осью									ZZ′
центр, таким образом, что ось стержня образует с осью									ZZ′	Z
угол ϕ. Определить, при каком значении угла φ момент инер-											φ
ции стержня относительно оси ZZ′ максимален.											φ
ции стержня относительно оси ZZ′ максимален.
Указание.	Момент			инерции			однородного	тонкого		l
стержня длиной	l и массой m относительно оси, проходящей									Z ′
через его центр масс и составляющий угол ϕ с осью стержня,										Z ′
через его центр масс и составляющий угол ϕ с осью стержня,
				JZ , Z ′ =	1	ml 2 sin2 ϕ .
				JZ , Z ′ =		ml 2 sin2 ϕ .
				12
Ответ:	при ϕ = π .
	2
3. В жестком контуре, индуктивность которого L = 0,01 Гн, сила то-
ка изменяется по закону				I = 0,2cos50πt (А). Получить закон изменения

электродвижущей силы самоиндукции в этом контуре, определить макси- мальное значение электродвижущей силы самоиндукции.

Указание. Явление возникновения электродвижущей силы индук- ции за счет изменения собственного магнитного потока, создаваемого то- ком в контуре, называется самоиндукцией. Электродвижущая сила само- индукции в жестком контуре при отсутствии ферромагнетиков равна про- изведению индуктивности контура L и скорости изменения тока в конту-

ре, взятому с обратным знаком: ε = −L dI . dt

Ответ: ε = 0,1πsin 50πt .

4. Выполнить седьмое задание из внеаудиторной контрольной рабо- ты (преподаватель консультирует каждого студента).

Домашнее задание

1. Изучить тему «Дифференциалы высших порядков. Формула Тей- лора, ее приложение к приближенным вычислениям».

313

2. Уравнение движения точки дано в виде x = sin	π t	. Найти мо-
	6

менты времени, в которые достигаются максимальная скорость и макси- мальное ускорение.

Указание. Скоростью материальной точки называется вектор, рав- ный производной по времени от радиус-вектора, проведенного от начала координат в точку пространства, в которой в данный момент времени на-

ходится движущаяся материальная точка: v = dr . dt

Ускорением называется вектор, равный производной от вектора ско-

рости материальной точки по времени, a = dv . dt

Проекции вектора скорости на оси координат находятся как произ-

водные от координат по времени: v

;

Проекции вектора ускорения на оси координат:

Ответ: v = vmax

a = amax

;

dvy

; a

при t = 0, 6, 12, 18, … c;

при t = 3, 9, 15, …

с.

3. В центре квадратной комнаты площадью 25м2 висит лампа. Счи- тая лампу точечным источником света, найти на какой высоте от пола должна находиться лампа, чтобы освещенность пола в углах комнаты была наибольшей.

Указание. Освещенность

находится по формуле

E =

cos α ,

где I – сила света источника; r –

расстояние от источника до площадки, на

которой определяется освещенность;

α – угол падения лучей.

Сторона квадратного пола

b, половина диагонали пола

а и высота

h лампы над полом связаны соотношением a = r sin α =

= h tg α , поэто-

му можно записать: E =

cos α sin2 α .

α, при котором ос-

Для решения задачи удобнее сначала найти угол

вещенность в углах комнаты будет максимальной, а затем, используя со-

отношение	h =	a	=	b		, определить h.
		tg α			tg α
				2

Ответ: 2,5 м.

314

4. Две световые волны одинаковой частоты с колебаниями светово- го вектора одного направления

E1 = A1 cos (ωt − kx + a1 ) и E2 = A2 cos(ωt − kx + a2 )

складываются в одной точке пространства. Получить выражения для раз-

ности фаз δ = a1 − a2 , определяющие условия интерференционных макси-

мумов и минимумов интенсивности света.

Указание. Интерференцией света называется явление перераспре- деления интенсивности света при сложении когерентных волн в части про- странства, в результате чего наблюдается устойчивая картина с выражен- ными максимумами интенсивности в одних точках пространства и мини- мумами – в других. Когерентными называются волны, разность фаз коле- баний которых в точке встречи остается постоянной, т.е.

δ = α1 − α2 = const .

При сложении колебаний одинаковой частоты и одного направления

амплитуда результирующего колебания A =

+ A2

+ 2 A A cos(α − α

)

Колебательное движение материальной точки относительно точки О

вдоль оси Х может быть представлено в

виде вектора амплитуды А, построенного

в полярных координатах таким образом,

что его длина численно равна амплитуде

ω0t

гармонических колебаний, а начальный

φ0

угол ϕ0 в момент времени t = 0 равняется

начальной фазе гармонических колебаний,

т.е. x0 = Acos ϕ0 .

При вращении вектора амплитуды с частотой ω =

2π

его проекция

на ось Х изменяется со временем по закону x = Acos(ω0t + ϕ0 ), т.е. опи-

сывает гармонические колебания материальной точки относительно точки О, происходящие вдоль оси Х.

Ответ: условие максимумов: δ = ±2kπ , условие минимумов:

δ = ± (2k + 1)π , где k = 0, 1, 2, …

315

Uб ( x0 )

X. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора, ее приложение к приближенным вычислениям

1.	Дифференциалы высших порядков

	d 2 y = d (dy) ,	d 3 y = d (d 2 y),…,				d n y = d (d n−1 y)

Если х –	независимая переменная, то			Если х –		зависимая переменная, т.е.
				x = x (t )	, то d		2 y ¹ y¢¢		dx2	(неинвариант-
d 2 y = y¢¢dx2 , d 3 y = y¢¢¢dx3 , …,								xx
d 2 y = y¢¢dx2 , d 3 y = y¢¢¢dx3 , …,				ность формы d 2 y )
				ность формы d 2 y )
	d n y = y(n)dxn			2		′	dx		′	′	2
				d y = d yx			dx	= d (yx		)×dx + yxd x =
(т.к. dx = x – произвольное число,			не-			u	v
зависящее от х!)						= yxx¢¢dx2 + yx¢d 2 x

Преподаватель выполняет со всей аудиторией.

Упражнение. Какое из следующих выражений является диффе-

ренциалом второго порядка функции y = 2x3 + x :

а) (6x2 + 1)dx2 ;	в)	12x dx2 ;
б) 12x dx ;	г)	12x d 2 x .
б) 12x dx ;
Упражнение.	Чему равны дифференциалы:
а) d 2 y ;	б) d 3 y
функции y = e− x при	x = 0 , x = 0,1?
	0

2. Формула Тейлора. Формула Тейлора в произвольной точке

Формула Тейлора позволяет приближенно представить (аппрокси-

мировать) произвольную функцию y ( x) в виде одной из самых простых

функций – многочлена и оценить возникающую при этом погрешность. Поэтому формула Тейлора является одной из важнейших формул матема- тического анализа, которая применяется и как тонкий инструмент теорети- ческих исследований, и как средство решения многих практических задач. Обозначим – окрестность точки x0 .

316

Если y ( x) имеет y(n+1) в Uб ( x0 ) , то для "x ÎUб ( x0 ) верна формула Тейлора

y ( x) = y ( x0 ) + y¢( x0 ) ( x - x0 ) + y¢¢( x0 ) ×( x - x0 )2 + ... + y(n) ( x0 ) ×( x - x0 )n + Rn ( x)

1! 2! n!

Pn(x)

( x) = a

+ a ×( x - x

) + a ×( x - x )2

+ ... + a

×( x - x )n – многочлен Тейлора,

y(k ) ( x

)

где

ak =

k !

Rn ( x) –

остаточный член.

y ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) –

формула Тейлора порядка n в точке x0.

y(k ) ( x ) = P(k ) ( x ),

k = 0,1, 2, 3,..., n

Остаточный член R(n) ( x)

формулы Тейлора

R ( x)

y(n+1)

(c)

× ( x - x )n+1 ,

(n +1)!

где c Î ( x0 , x)

– в форме Лагранжа

Rn ( x) = 0 (( x - x0 )n )

–

форме

Пеано

Упражнение. Функция y ( x) разложена по формуле Тейлора:

y ( x) = 1 − 2( x + 1) + 3( x + 1)2 − 7( x + 1)5 + R5 ( x) .

Чему равен порядок этой формулы Тейлора? В окрестности какой точки x0 записано это разложение? Чему равно y ( x0 ) ?

Обучающая задача. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для

функции y ( x) =		1		в окрестности точки x	= 2 с остаточным членом:
функции y ( x) =				в окрестности точки x	= 2 с остаточным членом:
		x		0
		x
10. в форме Лагранжа,					20. в форме Пеано.
Решение: Другими словами, надо представить функцию						y ( x) =	1
Решение: Другими словами, надо представить функцию						y ( x) =	x
в виде многочлена 3-й степени относительно ( x − 2):							x
в виде многочлена 3-й степени относительно ( x − 2):
	1		= a0 + a1 ( x − 2) + a2 ( x − 2)2		+ a3 ( x − 2)3 + R3 ( x)	(*)
			= a0 + a1 ( x − 2) + a2 ( x − 2)2		+ a3 ( x − 2)3 + R3 ( x)	(*)
	x
				Pn ( x)

317

Коэффициенты a0 , a1 ,																						a2 ,					a3 многочлена Тейлора вычисляем по
формуле a				=			y(n)					(2)			:
			n
									n!


y (2) =	1		=			1	, y′(2) = −										1					= −		1			,		y′′(2) =				2				=						1	,	y′′′(2) = −			6				= −	3	.
	1					1											1							1									2										1					6					3
																	x2																x3															x4
	x	x=2		2															x=2		4																x=2						4							x=2 8
	x	x=2		2															x=2		4																x=2						4							x=2 8
a = y (2) =								1		,		a =				y¢(2)				= -			1			,			a =		y¢¢(2)							=		1	,			a	=	y¢¢¢(2)	= -				1	.
a = y (2) =										,		a =								= -						,			a =									=			,			a	=		= -					.
0							2					1			1!						4								2	2!				8									3		3!				16
							2								1!						4									2!				8											3!				16
Подставляя их в формулу (*), получим
									1		=			1	−	1		( x − 2) +							1			( x − 2)2 −								1			( x − 2)3 + R ( x) .
											=				−			( x − 2) +										( x − 2)2 −											( x − 2)3 + R ( x) .
									x			2 4													8									16											3
									x			2 4													8									16
Вычислим теперь остаточный член R3 ( x) :
10. В форме Лагранжа:
R ( x) =					y(4) (c)								( x + 2)4 =									y(4)				( x) =				24		=			24							( x + 2)4 = ( x + 2)4 ,
					y(4) (c)																									24					24

3							4!																							x5					c5 × 4!													c5
							4!																							x5					c5 × 4!													c5

где c Î(2, x);

20. в форме Пеано:

R3 ( x) = 0(( x − 2)3 ).

Преподаватель выполняет со всей аудиторией

Упражнение. Не дифференцируя y ( x) , найдите производные y′(−1) , y′′(−1) , y′′′(−1) функции

y ( x) = 1 − 2( x + 1) + 3( x + 1)2 − 7( x + 1)5 + R5 ( x) .

Упражнение. Пусть P4 ( x) – многочлен Тейлора в точке x0 = 0 функции y ( x) = e2 x . Не составляя его, найдите P4 (0) , P4′ (0), P4′′ (0) .

Упражнение. Какое из следующих выражений является формулой


остаточного члена R		( x) функции y ( x) =		x4	в точке x = 1:
остаточного члена R		( x) функции y ( x) =			в точке x = 1:
	2		4			0
			4
а)	в форме Лагранжа,		б) в форме Пеано:
1)	0(( x + 1)2 );		3)			0(( x −1)3 );
2)	0(( x −1)2 );		4)			c ( x −1)3 ;

318

	3c2	3		6) 6c ( x −1)3 .
5)		( x −1)	;
5)		( x −1)	;
2

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Разложите функцию y ( x) по формуле Тейлора заданного порядка n

в окрестности точки x0 с остаточным членом в форме Лагранжа:

1) y =			x − 3				,									x0 = 4 ,		n = 2 .
Ответ:			1 + ( x − 4) − ( x − 4)2									+ R		( x) ;
							2		8			2
							2		8
2) y = ln ( x + 3) ,																x0 = −2 ,		n = 3 .
Ответ:			( x + 2) − ( x + 2)2							+ ( x + 2)3						+ R	( x) ;
								2				3				3
								2				3
3) y =	1			,												x = −1,		n = 3 .
3) y =				,												x = −1,		n = 3 .
		x3														0
		x3
Ответ:			−1 − 3( x + 1) − 6( x + 1)2 −10( x + 1)3 + R3 ( x) ;
4) y =	1				,											x = 8 ,		n = 2 .
4) y =					,											x = 8 ,		n = 2 .
		3 x														0
		3 x
Ответ:				1		− ( x − 8) + ( x − 8)2						+ R			( x) ;
Ответ:						− ( x − 8) + ( x − 8)2						+ R			( x) ;
		2					48	576				2
		2					48	576
5) y = cos2 x ,																x = π ,		n = 3 .
																0	4
																	4
								2			π 3
				1				2	x −
Ответ:				1		−	x −	π +			4		+ R ( x) ;
Ответ:						−	x −	π +					+ R ( x) ;
		2								3						3
		2						4		3
6) y = ex2 + x ,																x = −1,		n = 2 .
																0

Ответ: 1 − ( x + 1) + ( x + 1)2 + R2 ( x) ; 2

319

7) y =	x	,	x = 2 ,	n = 3 .

	x -1		0

Ответ: 2 - ( x - 2) + ( x - 2)2 - ( x - 2)3 + R				( x);
			3
8) y =		,	x0 = −1, n = 2 .
	x + 2

Ответ:		1 + ( x +1) - ( x +1)2												+ R			( x) ;
							2					8				2
							2					8
9) y = sin2 x ,																		x		= π	,
																	0			4
																				4
														-	p 3
			1				x - p			-			2 x	-
Ответ:			1	+											4			+ R		( x) ;
Ответ:				+														+ R		( x) ;
		2							4					3			3
		2							4					3
10) y = tg x ,																		x0 = 0 ,
Ответ:		x +				x3		+ R ( x) ;
Ответ:		x +						+ R ( x) ;
					3				3
					3
11) y =		4x				,												x		= −1,
11) y =						,												x		= −1,
	4x + 3																0
	4x + 3
Ответ:		4 +12( x +1) + 48( x +1)2 + R ( x);
																	2
12) y = ln (4x2 - 3) ,																		x0 = 1,
Ответ:		8( x -1) - 28( x -1)2 + R															( x) ;
																2

13) y =		5 − x2 ,																x		= 2 ,
																	0
Ответ: 1 - 2( x - 2) -											9	( x - 2)2				+ R ( x) ;
Ответ: 1 - 2( x - 2) -																+ R ( x) ;
												2					2
												2
14) y = ctg x ,																		x		= π	,
																	0			2
																				2
															p	2
					x - p						0 × x -				2				( x).
Ответ:		0 -								+					2			+ R
Ответ:		0 -								+								+ R
								2				2					2
								2				2
15) y = ln (1 - 4x + 4x2 ),																		x0 = 1,

Ответ: 4( x -1) - 2( x -1)2 + R2 ( x)

n = 3 .

n = 2 .

n = 3 .

n = 2 .

320

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб105умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб105умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб93умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб98умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб98умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб106умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб87умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб97умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб144умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf