Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Обучающая задача.						Исследовать поведение функций в окрестно-
сти точки x0 = 0 :
10. y =			x2	+ cos x .

4
Решение:
y¢ =	x	- sin x				y′(0) = 0 при	x = 0 и	x = 0 – критиче-

2							0	0
							y′ знак в окрестности точки
ская точка функции.					Выяснить, меняет ли

x0 = 0 , непросто. Поэтому исследуем поведение функции в этой точке с помощью второй производной:

y¢¢ =	1	- cos x				y¢¢(0) =	1	-1 = -		1	< 0 .

2						2			2
Так как y′′(0) < 0 , то функция						у в точке x			= 0 имеет локальный
						0
максимум:
		ymax (0) =			02	+ cos 0 =1.

				4
20. y = sin x + sh x − 2x .
Решение:
y′( x) = cos x + ch x - 2				y′(0) =1 +1 - 2 = 0 .
y′′( x) = -sin x + sh x				y′′(0) = -sin 0 + sh 0 = 0 .
Так как y′′(0) = 0 , то вычисляем y(n) (0) до первой производной, от-
личной от нуля:
y′′′( x) = ch x - cos x				y′′′(0) = -1 +1 = 0 ;
y(4) ( x) = sh x + sin x				y(4) (0) = 0 + 0 = 0 ;
y(5) ( x) = ch x + cos x				y(5) (0) =1 +1 = 2 ¹ 0 .
Первая, отличная от нуля производная – нечетного порядка (n = 5).
Следовательно, x0 = 0 – точка перегиба функции.
Преподаватель работает у доски со всей аудиторией.
Упражнение. Пусть			x0 –	критическая точка функции. При выпол-
нении каких из следующих условий функция в точке x0 будет иметь:
а) минимум;			б) максимум;						в) перегиб.

301

	y	′′( x	) = 0,	г) y′′( x0 ) < 0 ;
а)		0
а)	y′′′( x		) > 0;			′′( x0 ) = 0,
		0		y		′′( x0 ) = 0,
		0
б) y′′( x ) > 0 ;					y	′′′( x ) = 0,
		0			y	′′′( x ) = 0,
	y	′′( x	) = 0,			0
	y	′′( x	) = 0,	д) .................,
		0
в)		′′′( x0 ) = 0,				(20) ( x0 ) = 0,
в)	y	′′′( x0 ) = 0,		y		(20) ( x0 ) = 0,
		(4) ( x0 ) < 0;				(21) ( x ) < 0.
	y	(4) ( x0 ) < 0;		y		(21) ( x ) < 0.
						0

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Исследуйте поведение функции у в окрестности точки x0 :

1)	y = sin x − sh x − x2 ,					x	= 0;
						0
2)	y = 2sin ( x + 1) + x2 + 3,					x	= – 1;
						0
3)	y = arctg x + x2 − sh x ,					x	= 0;
						0
4)	y = x + e2− x −1,					x = 2;
						0
5)	y = 3x − x3 + cos( x −1) ,					x	= 1;
						0
6)	y = x − cos x − arctg x ,					x0	= 0;
7)	y = 1 − x2 − ch x + cos x ,					x	= 0;
						0
8)	y = sh x − x2 − x ,					x = 0;
						0
9)	y = e2 x − arctg 2x + 1,					x	= 0;
						0
10)	y = x − 2 − ex+1 ,					x	= – 1;
						0
11)	y = sh ( x −1) −			x2	,	x	= 1;
11)	y = sh ( x −1) −				,	x	= 1;
			2			0
			2
12)	y = ch x + cos x + x2 + 3 ,					x	= 0;
						0
13)	y = arctg x − ex ,					x	= 0;
						0
14)	y = ex +	x3	− x + 4 ,			x	= 0;
14)	y = ex +		− x + 4 ,			x	= 0;
	3					0
	3
15)	y = 2 + e2− x − sh (2 − x) ,					x	= 2;
						0

Ответ: ymax (0) = 0 ; Ответ: ymin (−1) = 4 ; Ответ: ymin (0) = 0 ; Ответ: ymin (2) = 2 ; Ответ: ymax (1) = 3; Ответ: ymin (0) = −1; Ответ: ymax (0) = 2 ; Ответ: ymax (0) = 0 ; Ответ: ymin (0) = 2 ; Ответ: ymax (−1) = −4 ;

Ответ: ymax (1) = −0,5 ;

Ответ: ymin (0) = 5 ; Ответ: ymax (0) = −1;

Ответ: ymin (0) = 5 ;

Ответ: ymin (2) = 3.

302

Уровень III

Исследуйте поведение заданных функций в окрестности точки x0 .

	−	1
	−
1) y ( x) = e x2 , x ¹ 0, x = 0 ;
				x = 0			0

0,
		−	1
		−	x2 , x ¹ 0, x = 0 ;
2) y ( x) = x e			x2 , x ¹ 0, x = 0 ;
				x = 0			0

0,
			1
			1
	x		2 + cos			,	x ¹ 0
	x		2 + cos			,	x ¹ 0
3) y ( x) =					x		, x0	= 0 .
3) y ( x) =					x		, x0	= 0 .
							x = 0
0,							x = 0

Домашнее задание

1.Изучить тему «Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функции».

2.C помощью производной первого порядка постройте графики функций:

1) y = 16x3 − 12x2 − 4 . 2) y = 3 x2 + 4x + 3 .

3. Найдите			наибольшее	и	наименьшее			значения	функции
y = x2 +	16	-16 на заданном отрезке [1; 4].
y = x2 +		-16 на заданном отрезке [1; 4].
	x
Ответ: yнаим. = y (2) = -4 ;				yнаиб. = y (4) = 4 .
4. Найдите			наибольшее	и	наименьшее			значения	функции
y = 2sin x + sin 2x на заданном отрезке						3
					0;		p .
					0;	2	p .
						2
5. Исследуйте поведение				функции			y = e− x+1 + x + 3 в окрестности
точки x0 = 1.
Ответ: ymin (1) = 5 .

6. Выполнить пятое и шестое задания из внеаудиторной контроль- ной работы.

303

VIII. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функции

При изучении теории пределов мы уже проводили исследование функции по упрощенной схеме и строили графики. Важным математиче- ским инструментом для построения графика являются асимптоты. Напо-

минаем, что если хотя бы один из односторонних пределов lim y или

x→ x0+0

lim y равен ∞ , то прямая

x = x0 является вертикальной асимптотой

x→ x0−0

y ( x) = A , то прямая

графика. Если же lim

у = А –

горизонтальная асим-

x→+∞

птота графика при x → +∞ (аналогично при

x → −∞ ). График функции

при x → +∞ или x → −∞ может иметь наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты графика y = f ( x)

при x → ±∞:

y = kx + b , где

k =

lim

(

)

b = lim

(

)

− kx

)

x→±∞

x→±∞ (

Преподаватель у доски выполняет со всей аудиторией.

Упражнение.

Найдите

а) вертикальную,

б)

наклонную

y =

2x2

+ 1

асимптоты графика функции

Полное исследование функции будем проводить по следующей схеме:

1.Найти область определения функции D(y).

2.Найти множество значений функции E(y) (если это возможно).

3.Выделить особенности функции (четность, нечетность, периодич- ность). Если функция четная, исследование проводим для x ³ 0 . Для не- четной функции – также. Если функция периодическая, исследование про- водится на основном периоде.

4.Исследовать поведение функции на концах интервалов из области определения с помощью пределов. Сделать выводы о непрерывности функ- ции, характере точек разрыва, вертикальных и горизонтальных асимптотах.

5.Найти промежутки монотонности, точки экстремума.

6.Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

7.Найти наклонные асимптоты.

8.Определить точки пересечения графика с осями координат, для

этого положить:

x = 0 – точка пересечения с осью ординат, y = 0 – точка пересечения с осью абсцисс.

304

9.Построить график.

10.Если есть необходимость, составить таблицу дополнительных

точек.

Обучающая задача. Исследовать функцию y = x2 − x + 1 и постро- x −1

ить ее график.

Решение.

1.D ( f ) = (−∞;1) (1; + ∞).

2.Так как область определения функции не является симметричным множеством, то функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является также периодической.

3. lim	x2	− x + 1	=	lim	x2	= lim x = ±∞ . Таким образом, функция
		x −1
x→±∞				x→±∞ x		x→±∞

горизонтальных асимптот не имеет.

Изучим поведение функции в окрестности точки x = 1.

lim

− x + 1

= −∞ , lim

− x + 1

= +∞ .

x −1

−0

x −1

x→1−0

x→1+0

Значит,	x = 1 –	точка разрыва функции
асимптота.
4.	Находим критические точки.
x2 − x + 1		′	x2 − 2x
y′ =		=			,	y′ = 0
			( x −1)	2
	x −1

прямая x = 1 – вертикальная

x	2 − 2x = 0 x = 0 ,	x = 2 .
	1	2

Заметим, что точка x = 1, в которой y′					бесконечна, не является критиче-
ской точкой, так как x = 1 не входит в область определения.

	x	(– ∞; 0)	0	(0; 1)	(1; 2)	2	(2; +∞)

	y′	+	0	–	–	0	+

	y		max			min
	y		–1			3
			–1			3

		y'	+	–	–	+
			+	–	–	+
			0	1	-		x
			0	1	2		x
			ymax (0) = −1,		ymin (2) = 3

305

5. Вычисляем y′′ :

′′

− 2x

′

(2x − 2)( x −1)2 − 2( x −1)(x2 − 2x)

( x −1)2

( x −1)4

( x −1)3 .

–	+	Так как	y′′ ¹ 0 , то график не имеет то-
–	+	чек перегиба.	График выпуклый вверх на ин-
		чек перегиба.	График выпуклый вверх на ин-
1	x	тервале ( –	∞; 1), вниз – на интервале

(1; + ∞).

Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b :

k =

lim

− x + 1

lim

x2 − x + 1

= 1,

(

)

− x

x→±∞

x − 1

− x + 1

b =

lim

− x =

lim

= 0 .

x→±∞

x −1

x→±∞ x −1

y = x – наклонная асимптота графика при x → ±∞ .

Если x = 0 , то y = −1. Если

y = 0 , то x2 − x + 1 = 0 x (так

как дискриминант отрицательный). Следовательно, график имеет только одну точку пересечения с осью Оу (0; – 1).

8. Учитывая полученные результаты, строим график функции.

0	1	2	x
			x

–1

306

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, студент у доски выполняет свое задание, по желанию третий уровень выполня- ется для получения оценки «10»).

Уровень I

Исследуйте функцию y = f ( x) и постройте ее график:

y =

3x − 2

;

9) y =

4x2

;

x2 + 3

y =

− 32

;

10)

y =

;

2x −

y =

;

11)

y =

+ 1

;

− 1

y =

;

12)

y =

8( x −1)

;

( x + 1)2

y =

1 − 2x3

;

13)

y =

−8x

;

x2 + 4

y = ( x − 1)2

;

14)

y =

x3 − 4

;

y =

x2 − 4x + 1

15)

y =

;

x − 4

y =

− 3x + 3

;

16)

y =

2x − x

x −1

Уровень II

Исследуйте функцию y = f ( x)

1)y = 3 x2 ( x −1) ;

2)y = 3 x( x −1)2 ;

3)y = 3 x ( x + 6)2 ;

4)y = 3 x2 ( x + 4) ;

5)y = 3( x + 1)(x2 − 4x + 4) ;

ипостройте ее график:

6)y = 3(x2 − 2x + 1)( x − 3) ;

7)y = 3 x2 ( x − 3) ;

8)y = 3(x2 + 2x + 1) x ;

9)y = 3(x2 − 6x + 9)( x + 1) ;

10)y = 3 x3 − 2x2 + x ;

307

y = -3

;

y = 3

x3 − 12x2 + 36x

11)

;

14)

( x - 4)(x2 - 4x + 4)

12)

y = 3

x ( x - 2)2

;

y = 3

15)

(x2 - 4x + 3)2

;

13)

y = 3

( x + 3)(x2 + 6x + 6)

;

16)

y = -3 ( x - 2)2 ( x - 3) .

Уровень III

Исследуйте функцию y = f ( x) и постройте ее график:

2) y =

y = 1 − x +

;

3 x2 -1

Обучающая задача. Исследовать

функцию

y = ( x - 2)e3− x и по-

строить ее график.

Решение.

1.D ( f ) = (-¥; + ¥) .

2.y (-x) = (-x - 2) × e3+ x функция ни четная, ни нечетная.

3.Так как функция у непрерывна при всех x , то ее график не

имеет вертикальных асимптот.

Вычислим

lim

( x - 2)e3− x

= (-¥)(+¥) = -¥ . Значит, на −∞ функция

x→−∞

горизонтальных асимптот не имеет.

Вычислим

lim

( x - 2)e3− x

= (+¥) × 0 =

x→+∞

= lim ( x - 2)

= ( x - 2)¢

lim

= 0 .

x→+∞ (ex−3 )

(ex−3 )¢

x→+∞ ex−3

Значит, на +∞ функция имеет горизонтальную асимптоту

y = 0 .

4. Исследуем функцию на экстремум.

y¢ = e3− x - ( x - 2)e3− x = (3 - x)e3− x , y′ = 0

x = 3 .

y′

–

(–

∞; 3)

(3; +∞)

y¢

max

ymax (3) = 1

308

5. Находим точки перегиба:

y′′ = −e3− x − (3 − x) e3− x = ( x − 4) e3− x , y′′ = 0 x = 4 ; y (4) = 2e−1 .

В точке

график имеет перегиб.

y′′

–

Найдем наклонную асимптоту графика y = kx + b при х→ –

∞.

k =

= lim

x − 2

3− x

−

3− x

+∞

= +∞

lim

x→−∞ x

x→−∞

наклонной асимптоты при

х→ –

∞

график не имеет.

7. x = 0 y = -2e3 ; y = 0

x = 2. График имеет две точки пересе-

чения с осями: А(0; – 2e−3 ),

В(2; 0).

Строим график функции.

Уровень I

Исследуйте функцию y = f ( x) и постройте ее график:

y =

e2( x+2)

y =

ex+3

;

2( x + 2)

x + 3

y = (2x -1) × e2(1− x) ;

y = −( x +1)ex+2 ;

y =

;

y = (2x + 3)e−2( x+1) ;

y = ln

x + 6

−1;

y = (4 − x)ex−3 ;

x + 3

y = 2ln

− 3 ;

10)

y = x2e− x ;

309

11)

y = (3 - x) ex−2 ;

14)

y = -(2x +1)e2(1+ x) ;

y = 2 ×

e1− x

y =

e2− x

12)

;

15)

;

1 - x

2 - x

13)

y = ln

+ 3;

16)

y = ln

-1.

x - 2

x + 5

Уровень II

Исследуйте функцию y = f ( x) и постройте ее график.

y = ln (cos x + sin x) ;

y = ln (-

sin x) ;

y =

;

10)

y = esin x+cos x ;

sin x + cos x

y = ln (-sin x - cos x) ;

11)

y = ln (- 2 cos x) ;

y = −arctg cos x ;

12)

y =

;

(sin x - cos x)2

y = ln (sin x - cos x) ;

13)

y = ecos x−sin x ;

y = e−

sin x ;

14)

y = ln (cos x - sin x) ;

y =

;

15)

y = arctg sin x ;

sin x - cos x

sin x +

cos x

y = 3

;

16)

y = arctg

sin x

Уровень III

Исследуйте функцию y = f ( x) и постройте ее график:

y = e−2 x × sin2 x ;

y = arccos

1 - x2

1 + x2

Домашнее задание

1.Изучить тему «Физические и механические приложения диффе- ренциального исчисления».

2.Построить графики функций своего варианта из внеаудиторной контрольной работы.

310

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб105умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб105умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб93умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб98умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб98умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб106умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб87умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб97умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб144умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf