Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

		1	tg x
15) lim		x		Ответ: {e}.
15) lim	e		+ 1 .	Ответ: {e}.
x→+0

Уровень III

Вычислить пределы:

1)	lim x	xx	−1	.
	x→+0
2)	lim	xln x			.
2)	lim				.
	x→+∞ (ln x)x
						1
	(1 + x) x
	(1 + x) x						x
				1
3)	lim					.
	x→0		e

Ответ: {∞};

− 1

Ответ: e 2 .

Домашнее задание

1.Изучить тему «Условия возрастания и убывания функций. Доста- точные условия локального экстремума. Нахождение наибольших и наи- меньших значений функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба».

2.Вычислите пределы:


10. lim	x − tg x		.

x→0		x2
20. lim		ln (1 − cos x)		.

x→+0		ln tg x

30. lim arctg x − arcsin x . x→0 tg x − sin x

40. lim (1 − x)ctg π x .

x→1

50. lim		1	−	1	.

x→0	x			ex −1

Ответ: {0}.

Ответ: {2}.

Ответ: {∞}.

− 1

Ответ: π .

Ответ: .

3. Выполнить задание № 8 из внеаудиторной контрольной работы.

291

VII Условия возрастания и убывания функций. Достаточные условия локального экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Функция y ( x) называется возрас-

тающей (убывающей)	на (a; b) ,
если x1 < x2	y ( x1 ) < y ( x2 )

( y ( x1 ) > y ( x2 ) ) для x1, x2 (a; b)

Достаточное условие возрастания

(убывания):
если	y′( x) > 0	( y′( x) < 0 )	для
x (a; b) , то y ( x)		возрастает (убыва-
ет) на (a; b)

Преподаватель работает с аудиторией с помощью следующих упражнений:

Упражнение. На рисунках изображены графики функций. Для ка- ждой из них укажите интервалы, где:

а) y′( x) > 0 ;

б) y′( x) < 0 .

1) y

y =

− 3x

3) y

y = 3

y y = x3

y =

0 1 2

3 x

Упражнение.

Укажите критические точки функций, изображен-

ных на предыдущих рисунках, где:

а)

y′( x) = 0 ;

б)

y′( x) не существует;

в)

y′( x) бесконечна.

y = y′( x)

–2

–1 0


Упражнение.		На	рисунке
изображен график		производной y′
непрерывной функции. Укажите
а)	промежутки возрастания;
б)	промежутки убывания;

в) критические точки функции y.

292

Обучающая задача. C помощью производной первого порядка построить графики функций. Исследование функции будем проводить по следующей упрощенной схеме:

1.Найти область определения функции D(y).

2.Вычислить y′ , найти экстремумы, интервалы возрастания и убы-

вания функции.

10. y = 3x − x3 .

Решение:

1.Функция определена при всех действительных x, т.е. D(y) = R.

2.y¢ = 3 - 3x2 = 3(1 - x)(1 + x) ,

y′ = 0 при x1 = −1, x2 = 1, т.е. x1 ,	x2 – критические точки функции.
Они разбивают D(y) на три интервала (–	¥; – 1), (– 1; 1), (1; +			¥).
Определим знак y′ на каждом из		–			–
этих интервалов (методом интервалов).	y′		+
		– 1			x
Отсюда видно, что функция убыва-				1

ет на интервалах (– ¥; – 1) и (1; + ¥),
возрастает на интервале (1; 1).Так как y′	меняет знак в окрестности критиче-

ских точек, то эти точки являются точками локального экстремума, причем

ymin (−1) = −2 ,

ymax (1) = 2

(–

¥; – 1)

– 1

(– 1; 1)

(1; + ¥)

y¢

min

max

– 2

Для более точного построения графика находим его точки пересече-

ния с осями координат:

y = 0

x (3 - x2 ) = 0 x1 = 0 , x2,3 = ±

x = 0

y = 0 .

Таким образом, точки (0; 0), (-3; 0) , (3; 0) являются точками пе-

ресечения графика с осями координат.

293

Учитывая полученные результаты, строим график функции.

						−	3		–1	0	1			3		x
												–2
20. y = 3						.
20. y = 3		(x2 - 4)2				.
Решение:
1.	D(y) = R.
				2	¢			2			1			4x					4			x
2.	y¢ = (x2		- 4)3 =					2	(x2 - 4)−		3 × 2x =			4x				=	4	×		x	.
2.	y¢ = (x2		- 4)3 =						(x2 - 4)−		3 × 2x =							=		×			.
							3				3		3	x	2	- 4	3				3	( x - 2)( x + 2)
													3		2						3

x1 = 0 ,

y′

–

x2 = +2 ,

-2

x3 = −2 –

критические точки.

ymin (-2) = 0 ,

ymax (0) = 3

ymin (2) = 0 .

(– ¥; –2)

– 2

(– 2; 0)

(0; 2)

(2; +¥)

y′

–

min

max

min

3 16

–2

294

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания первого и второго уровней).

Уровень I

C помощью производной первого порядка постройте график функ-

ции y = y ( x) .


1)	y = 3x2 − 2 − x3 ;					9)	y = x4 − 2x3 + x2 ;
2)	y = 16x3 + 12x2 − 5 ;					10)	y = 2 − 3x2 − x3 ;
3)	y = −			1	(x4 − 8x2 + 16);	11)	y = 2x3 + 9x2 + 12x ;

	16					12)	y = x3 − 6x2 + 8x ;
4)	y = 2x3 − 3x2 − 4 ;
5)	y =	1	(12x − x3 ) ;			13)	y = x4 − 2x2 + 1;

		8				14)	y =	1	x3 + 3x2		)	− 5 ;
6)	y = 6x − 8x3 ;
							4 (
7)	y = x4 − 4x3 + 4x2 ;						y =	27	(	x3 + x2	)	− 5

8)	y = 2 −12x2 − 8x3 ;					15)	4

Уровень II

C помощью производной первого порядка постройте график функ-

ции y = y ( x) .

1) y = 3

y = 6 3

− 4x + 8;

4x ( x −1)

;

( x − 2)2

y = 3

(

x − 2

)

;

10)

y = 3

( x − 2x − 3)2 ;

y = 1 − 3 x2 + 2x ;

11)

y = − 3 x4 − 4x2 + 4 ;

y = 2x − 3 3 x2 ;

12)

y = 3

( x −1)(x2 − 2x − 2) ;

y = 1 − 3 x2 + 4x + 3 ;

y = 3 3

− 2x + 6 ;

y = 3

x4 − 6x2 + 9 ;

( x − 3)2

13)

y = 3

(

x + 4

)

− 8x −16 ;

y = 3 (x2 − 2x − 3)

14)

;

15)

y = 6x + 6 − 9 3

(

x + 1 2 .

y = 4x + 8 − 6 3 ( x + 2)2 ;

)

295

Обучающая задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x4 − 2x2 + 5 на отрезке [– 2; 0].

Решение: Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на от- резке [– 2; 0] функции достигается или в критических точках этой функ-

ции, или в граничных точках – 2	и 0 этого отрезка.
Найдем критические точки:
y′ = 0 4x3 − 4x = 0	x1 = 0 , x2 = −1, x3 = 1.

В интервал (– 2; 0) попадает только точка x2 = −1. Вычислим значе-

ние функции в точке x2 = −1		и на концах интервала, т.е. в точках x = 0 и
x = −2 :
y (−1) = 4 ,	y (0) = 5 ,	y (−2) = 13 .

Наибольшее из этих значений 13 является наибольшим на отрезке [–2; 0], а наименьшее 4 – наименьшим на этом отрезке.

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

y = 4 − x −

[1; 4].

Ответ: yнаим. = y (1) = −1;

yнаиб. = y (2) = 1 ;

y = x3

− 3x − 8 ,

[– 2; 0].

Ответ: yнаим.

= y (−2) = −10 ;

yнаиб. = y (−1) = −6 ;

y = x3

− 6x + 9 ,

[– 1; 2].

Ответ:

yнаим. = y (

) = 9 − 4

;

= y (−1) = 14 ;

yнаиб.

y = x − 2

[0; 5].

Ответ: yнаим. = y (1) = −1;

yнаиб. = y (5) = 5 − 2

;

y = x3

− 3x − 7 ,

[0; 2].

Ответ: yнаим.

= y (1) = −9 ;

yнаиб.

= y (2) = −5 ;

y = x3 −

x2 + 6x ,

[– 1; 2].

= y (−1) = −11, 5 ;

= y (1) = 2, 5 ;

Ответ: yнаим.

yнаиб.

296

7)	y = x5	− 5x4	+ 5x3 + 1,	[– 1; 2].
				Ответ: yнаим.	= y (−1) = −10 ;
8)	y = x4	− 8x2	+ 3 ,	[– 1; 2].
				Ответ: yнаим.	= y (2) = −13 ;
9)	y = x3	− 6x2	+ 9x ,	[0; 2].
				Ответ: yнаим.	= y (0) = 0 ;
10)	y = 2x3 + 3x2 − 12x ,			[– 1; 2].
				Ответ: yнаим. = y (1) = −7 ;
11)	y = x3	− 6x ,		[– 3; 4].

yнаиб. = y (1) = 2 ;

yнаиб. = y (0) = 3 ;

yнаиб. = y (1) = 4 ;

yнаиб. = y (−1) = 13 ;


				Ответ:		yнаим. = y (−3) = −9 ;		yнаиб. = y (4) = 40 ;
12)	y = x − 4			+ 8 ,	[– 1; 7].
12)	y = x − 4		x + 2	+ 8 ,	[– 1; 7].
				Ответ:	yнаим. = y (2) = 2 ;		yнаиб.	= y (−1) = y (7) = 3 ;
13)	y =	4x	,		[– 4; 2].

		4 + x2
				Ответ:		yнаим. = y (−2) = −1;		yнаиб. = y (2) = 1 ;
14)	y = x3 − 3x2 − 9x ,				[– 2; 0].
				Ответ:		yнаим. = y (−2) = −2 ;		yнаиб. = y (−1) = 5 ;
15)	y =	10x	,		[0; 3].
15)	y =	1 + x2	,		[0; 3].
		1 + x2				yнаим. = y (0) = 0 ;		yнаиб. = y (1) = 5 .
				Ответ:		yнаим. = y (0) = 0 ;		yнаиб. = y (1) = 5 .

Уровень II

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:


1)	y = 2x −		1	sin 2x + 3cos x ,
1)	y = 2x −			sin 2x + 3cos x ,
		2
2)	y = 2sin	π			− x		π	,
2)	y = 2sin				− x	+ sin x +		,
		6					6

3) y = 3 cos x + sin x − 1 sin 3x , 3

4) y = 1 cos 2x − 1 cos 4x , 2 4

5) y = sin2 x + 2cos x ,

[0; π];
	π	π
−	2	;		;
	2	2
	π
−	2	; 0	;
	2

[0; π];

π ; 3 π ;2 2

297

6)y = 4sin2 x + cos2 x − 3x ,

7)y = 1 + cos x − 2cos x ,

8)y = 1 (sin 3x + cos3x) , 3

9)y = x − 1 sin 2x − cos x ,

10) y = cos x − cos 2x + cos3x ,

11)y = sin x + sin 2x + sin 3x ,

12)y = 1 − sin x − sin2 π − x ,

4 2

13)y = 1 sin (4π − 6x) + sin 2x , 6

14)y = 1 − sin x − 1 cos 2x ,

15) y = cos 2x + cos3x + cos 4x , 2 3 4

Уровень III

[– π; 0]; [3π; 5π];


π	π
	;		;
6	2
[5π; 7π];
	π	;
0;
	2
	π	;
0;
	2

[– 2 π; -π];

π
	; π		;
2
	π	;
0;		;
	2
	π
−	; 0		.
	2


1)		Найдите наибольшее и наименьшее значения функции					y = xx на
заданном промежутке 0,1 £ x £ +¥ .
2)		Найдите наибольшее			и	наименьшее значения	функции
y =	3 - x	×	x +1	на заданном отрезке		0 £ x £ 4 .

3)		Докажите неравенство			2x arctg x ³ ln (1 + x2 ).

Указание: исследуйте на экстремум функцию y = 2x arctg x − ln (1 + x2 ).

4) Докажите неравенство ln (1 + x) ³ x - x2 , x ³ 0 . 2

Обучающая задача. Найти угловой коэффициент прямой, прохо- дящей через точку М(1; 2) и отсекающей от 1-го координатного угла тре- угольник наименьшей площади.

298

Решение: Пусть					АВ – искомая прямая, ОА = y,			OB = x, k = tg α –
угловой		коэффициент			прямой. Тогда	k = −	y	(т.к.	tg α = − tgβ ,
угловой		коэффициент			прямой. Тогда	k = −	x	(т.к.	tg α = − tgβ ,
							x
tgβ =	OA	=	y	).
tgβ =	OB	=		).
	OB		x
Имеем задачу с двумя неизвестными x						и y. Выразим y			через x, ис-
пользуя тот факт, что точка М лежит на прямой АВ:

из СМВ

tgβ =

y =

x −1

tg α = −

, x −1

> 0 .

x −1

Для нахождения x воспользу-

емся тем, что площадь АОВ наи- меньшая:

A(0; y)

2	M(1; 2)
2
	β	α
	C
0	1	B(x; 0)	x
		B(x; 0)	x

x × 2x

S ( x) =

( x -1)

x -

AOB

2 2

x -

Исследуем функцию S(x) на экстремум:

′

2x ( x −1) − x2

x2 − 2x x ( x − 2)

( x) =

( x −1)2

= ( x −1)2

= ( x −1)2 .

Критическими точками функции являются точки x1 = 0 , x2 = 2 . Но при x1 = 0 задача теряет смысл. При переходе через точку x2 = 2 произ-

водная меняет знак с «–» на «+».

Отметим,	что на промежутке x (1; + ∞) функция имеет единствен-
ный экстремум.	Следовательно, в точке			x2 = 2 S(x) имеет минимум.
Тогда
	tg a = -	2		= -2 .
		2
		x -1	x=2

299

Кривая выпукла вниз (вверх) на (а; b), ес-			Точка M 0 ( x0 , y ( x0 )) , в которой
ли все ее точки лежат выше (ниже) любой			меняется направление выпуклости,
ее касательной на (а; b).
			называется точкой перегиба.

Достаточное условие выпуклости на (а; b)			Достаточное условие существо-
1.	y¢¢( x) > 0 y = y ( x) –	выпукла вниз,
			вания точки перегиба:
2.	y¢¢( x) < 0 y = y ( x) –		1. y¢¢( x0 ) = 0 или y¢¢( x0 )		,
		выпукла вверх		$
			2. y¢¢( x0 ) меняет знак при перехо-
			де через точку x0

Преподаватель у доски решает со всей аудиторией.

Упражнение. Функция задана графически. Укажите интервалы из- менения х, на которых выполнены следующие условия:

а) y′′( x) ³ 0 ;

		(		) <
	y¢		x		0
б)	y¢¢( x) < 0 ;

y ( x) > 0

) y′( x) > 0 .

y′′( x) > 0

	Упражнение. Найдите интервалы выпуклости:
	а)	вниз,
	б)	вверх
графика функции y = x − x5 . Чему равны координаты точки перегиба?

	Достаточное условие суще-					Достаточное условие существования точки
	ствования точки экстремума :					экстремума и точки перегиба с использовани-
	1. y¢( x		) = 0 ,			ем y(n)	:
		0				Пусть y¢( x ) = y¢¢( x ) = ... = y(n−1) ( x ) = 0 ,
	2. y¢¢( x		) ¹ 0 , то x – точка			Пусть y¢( x ) = y¢¢( x ) = ... = y(n−1) ( x ) = 0 ,
		0			0		0	0	0
	экстремума, причем, если					y((x0)) ¹ 0 , тогда если
	y¢¢( x0 ) < 0 , то x0					n
	y¢¢( x0 ) < 0 , то x0			–	точка max,	1. n –	нечетное число, то x0		– абсцисса точки
	y¢¢( x0 ) > 0 , то x0			–	точка min	1. n –	нечетное число, то x0		– абсцисса точки
	y¢¢( x0 ) > 0 , то x0			–	точка min	перегиба,
						перегиба,
						2. n –	четное число, то x0 –		точка экстремума,
						причем, если y(n) ( x		) > 0 , то x – точка min,
						причем, если y(n) ( x		) > 0 , то x – точка min,
						y(n) ( x	0		0
						y(n) ( x	) < 0 , то x –	точка max
						0	0

300

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб105умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб105умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб93умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб98умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб98умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб106умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб87умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб97умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб144умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf