14-es / ЭС - Информатика (ИСФ) / умк_Спиридонов_Информатика_ч.1_2013

Задаем область поиска максимума внутри блока Given:

Given 0 ≤ x ≤ 5 0 ≤ y ≤ 5.

Находим максимум функции в заданной области:

Вслучае функции одной переменной задаем функцию g(x) := x4 − x2

иначальное приближение x := 1.

8.10. Аппроксимация функций

Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахожде- ние такой функции g(x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций f(x) и g(x) могут быть раз- личные. В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), она называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, т.е. замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппроксимации яв- ляется интерполяция (в широком смысле).

211

Пусть задан дискретный набор точек xi (i = 0,1,..., n) , называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции yi в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(xi) = yi.

В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который на-

зывают интерполяционным полиномом.

Втом случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

Втех случаях, когда между различными узлами полиномы различны,

говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле сло-

ва), а также определить значение функции f(x) даже за пределами заданно- го интервала (провести экстраполяцию). Следует иметь в виду, что точ- ность экстраполяции обычно очень невелика.

8.10.1. Локальная интерполяция. Линейная интерполяция

При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняют функцией linterp, опи- санной ниже.

Функция linterp(vx,vy,x) – использует векторы данных VX и VY, что- бы возвратить линейно интерполируемое значение y, соответствующее третьему аргументу х. Аргументы VX и VY должны быть векторами одина- ковой длины. Вектор VX должен содержать вещественные значения, рас- положенные в порядке возрастания.

Эта функция соединяет точки данных отрезками, создавая таким об- разом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного х есть орди- ната y соответствующей точки ломаной. Для значений х, расположенных перед первой точкой в VX, Mathcad продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точки данных. Для значений х, расположен- ных за последней точкой в VX, Mathcad продолжает ломаную прямой ли- нией, проходящей через последние две точки данных.

Для получения наилучших результатов значение х должно находить- ся между самым большим и самым маленьким значениями в векторе VX.

Пример 1. Функция задана таблично. Найти значения этой функции приуказанных значения аргумента x (рис. 8.10): x = 0,512; x = 0,535.

212

Рис. 8.10

8.10.2. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой не- прерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда ку- бических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных точек. Кубические полиномы потом состыковываются друг с другом, чтобы обра- зовать одну кривую.

Для того чтобы провести кубический сплайн через набор точек, нужно: − создать векторы VX и VY, содержащие координаты х и у, через ко- торые нужно провести кубический сплайн. Элементы VX должны быть

расположены в порядке возрастания;

213

−вычислить вектор VS: = cspline(VX, VY); вектор VS содержит вто- рые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках;

−чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке,

скажем Х0, вычислить interp(VS, VX, VY, X0), где VS, VX, VY – векторы,

описанные ранее.

Можно сделать то же самое, вычисляя interp(cspline (VX, VY), VX, VY, X0).

Пример 1. Функция задана таблично. Найти значения этой функции приуказанных значения аргумента x (рис. 8.11): x = 0,512; x = 0,535.

Рис. 8.11

В дополнение к cspline в MathCAD имеются две другие кубические сплайн-функции: pspline(VX, VY), lspline(VX, VY). Все эти сплайн-функции возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который называ- ется VS. Он используется в функции interp. Аргументы VX и VY должны

214

быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в VX должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

Функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

Функция генерирует кривую сплайна, которая может быть кубиче- ским полиномом в граничных точках.

Функция interp(VS, VX, VY, X0) – возвращает интерполируемое зна- чение у, соответствующее аргументу х. Вектор VS вычисляется на основе векторов данных VX, VY одной из функций lspline, pspline или cspline.

Интерполируемое значение для конкретного х есть ордината у соот- ветствующей точки сплайна.

8.10.3. Глобальная интерполяция

При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди узлов {xi, yi} нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не будет превышать n. Запишем систе- му уравнений для определения коэффициентов полинома:

Определим матрицу коэффициентов системы уравнений

i := 0..n -1 j := 0..n -1 a( j,i) := (x j )i .

Решим систему уравнений матричным методом c := a–1 y. Определим интерполяционный полином L(z) := ∑ci zi .

i

Представим результаты на графике (рис. 8.12).

Вычислим значения интерполяционного полинома в заданных точ- ках и сравним их с точными значениями:

0.50.594 0.479

2.333 0.72 0.723

4.574 1.036 0.99

215

0

1.134

Коэффициенты интерполяционного полинома следующие: c = 0.177

0.127

0.022 .

Внимание! Из-за накопления вычислительной погрешности (ошибок ок- ругления) при большом числе узлов (n > 10) возможно резкое ухудшение ре- зультатов интерполяции. Кроме того, для целого ряда функций глобальная ин- терполяция полиномом вообще не дает удовлетворительного результата. Рассмотрим в качестве примера две таких функции. Для этих функций точность интерполяции с ростом числа узлов не увеличивается, а уменьшается.

Представим результаты на графике (рис. 8.13) z := – 1, –0.99..1.

216

Убедитесь самостоятельно, что при увеличении числа узлов интерпо- ляции, результаты интерполирования вблизи концов интервала ухудшаются.

8.10.4. Метод наименьших квадратов

Наиболее распространенным методом аппроксимации эксперимен- тальных данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида и относит- ся к группе глобальных методов. Простейшим вариантом метода наи- меньших квадратов является аппроксимация прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов носит также название линейной регрессии.

Критерием близости в методе наименьших квадратов является тре- бование минимальности суммы квадратов отклонений от аппроксими- рующей функции до экспериментальных точек:

n

Φ = ∑( yi − f (xi ))2 → min .

i=1

8.10.5.Аппроксимация линейной функцией

Применим метод наименьших квадратов для аппроксимации экспе- риментальных данных.

Читаем данные из файлов datax и datay:

x := READPRN(datax) y := READPRN(datay).

Имя файла следует заключать в кавычки и записывать его по прави-

лам MS DOS, например, READPRN("c:\mylib\datax.prn").

Определяем количество прочитанных данных (число эксперимен-

тальных точек): n := last(x) i := 0… n.

Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой ли- нией). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept – точку пересечения графика с вертикальной осью:

A := intercept (x, y), B := slope (x, y).

Определяем аппроксимирующую функцию: f1(z) := A + B. Коэффициенты линейной регрессии – A = – 3.539, B = 1.81.

Mathcad 2000 предлагает для этих же целей использовать функцию

218

8.10.6. Аппроксимация полиномами

Теперь попытаемся подобрать полиномы второй и третьей степени, в качестве аппроксимирующей функции. Для этих целей служат встроенные функции regress и interp. Очевидно, что если в качестве аппроксимирую- щей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы.

Вводим степени полиномов: k2 := 2, k3 := 3.

Функция regress является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp. Вектор vs содержит, в том числе,

и коэффициенты полинома: vs2 := regress (x,y,k2), vs3 := regress (x,y,k3) .

Функция interp возвращает значение полинома в точке z. Определив новые функции f2, f3, получаем возможность находить значение полинома в любой заданной точке:

f2(z) := interp (vs2,x,y,z) f3(z) := interp (vs3,x,y,z) coeffs2 := submatrix (vs2,3,length(vs2) – 1,0,0) coeffs3 := submatrix (vs3,3,length(vs3) – 1,0,0).

219

Коэффициенты:

(coeffs2)T = (0.701 – 0.76 0.257),

(coeffs3)T = (– 0.122 0.253 2.377·10 –3 0.017),

Стандартные отклонения почти не отличают друг от друга, коэффи- циент при четвертой степени z невелик, поэтому дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и достаточно ограничиться только второй степенью.

К сожалению функция regress имеется далеко не во всех версиях Mathcad. Однако, провести полиномиальную регрессию можно и без ис- пользования этой функции. Для этого нужно определить коэффициенты нормальной системы и решить полученную систему уравнений, например, матричным методом.

Теперь попытаемся аппроксимировать экспериментальные данные полиномами степени m и m1, не прибегая к помощи встроенной функции

220