14-es / ЭС - Информатика (ИСФ) / умк_Спиридонов_Информатика_ч.1_2013

Корень уравнения геометрически представляет собой абсциссу точки пере- сечения, касания (рис. 6.1) или другой общей точки (рис. 6.2) графика функции у = f(х) и оси OX.

Рис. 6.1. Графики функции y = f(x)

6.2.2. Уточнение корня методом половинного деления

Допустим, что искомый корень уравнения отделен, т.е. найден отре- зок [а, b], на котором имеется один и только один корень уравнения. Лю- бую точку этого отрезка можно принять за приближенное значение корня. Погрешность такого приближения не превосходит длины [а, b]. Следова- тельно, задача отыскания приближенного значения корня с заданной точ- ностью ε сводится к нахождению отрезка [а, b], содержащего только один корень уравнения. Эту задачу обычно называют задачей уточнения корня.

Задача уточнения корня сводится к делению отрезка пополам, с каж- дым шагом выделяя новый кусок отрезка [a, c] или [c, b] до тех пор, пока значение не будет x ≈ 0. Примерная схема алгоритма решения уравнения f(x) = 0 методом половинного деления представлена на рисунке 6.3.

141

Рис. 6.4. Графики, иллюстрирующие метод хорд

6.2.4. Метод касательных

Метод касательных (или метод Ньютона) отличается от метода хорд тем, что здесь рассматривается не секущая, соединяющая концы дуги гра- фика, а касательная к графику. Точка пересечения касательной с осью OX дает приближенное значение корня (рис. 6.5).

В методе касательных (n + 1)-е приближение вычисляется по формуле

143

6.2.5. Метод итераций

Если каким-либо способом получено приближенное значение х0 кор- ня уравнения f(x) = 0, то уточнение корня можно осуществить методом по- следовательных приближений или методом итераций (рис. 6.6). Для этого уравнение f(x) = 0 представляют в виде

х = ϕ(х),

что всегда можно сделать и притом многими способами, например

х = х + сf(х),

где с – произвольная постоянная,

xn = ϕ(xn-1).

Процесс последовательного вычисления чисел xn (n = 1, 2, 3, ...) по этой формуле называется методом последовательных приближений или методом итераций. Процесс итераций сходится, если выполнено условие ϕ′(x) ≤ q < 1на отрезке [а, b], содержащем корень.

а)

б)

Рис. 6.6. Графики, иллюстрирующие условия итерационных процессов: а – сходимости; б – расходимости

144

6.3. Методы решения систем линейных уравнений

Инженеру часто приходится решать алгебраические и трансцендент- ные уравнения, что может представлять собой самостоятельную задачу или являться частью более сложных задач. В обоих случаях практическая ценность метода в значительной мере определяется быстротой и эффек- тивностью полученного решения. Выбор подходящего метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводя- щиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений (рис. 6.7) и в зависимости от пред- лагаемого характера и числа решений.

Рис. 6.7. Классификация уравнений

Одно уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений. Систему уравнений будем называть линейной или нелинейной в зависимости от математической при- роды входящих в нее уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1)точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2)итерационные методы, позволяющие получить решение систе- мы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (ме- тод итерации, метод Зейделя и др.).

145

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных мето- дов являются приближенными. При использовании итерационных мето- дов, сверх того, добавляется погрешность метода. Эффективное примене- ние итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

и столбец неизвестных.

Если матрица А неособенная, т.е. det A ¹ 0, то система имеет единст- венное решение. Методы решения таких систем разбиваются на две груп- пы: точные и приближенные.

6.3.1. Метод Гаусса

Пусть в системе (6.1) коэффициент а11 ¹ 0. Назовем а11 ведущим элементом первой строки. Умножив первое уравнение системы (6.1) на

– а21/а11 и прибавив ко второму, получим новое уравнение, в котором коэффициент при x1 обращается в нуль. Умножив первое уравнение сис-

146

темы на – а31/а11 и прибавив к третьему, получим новое уравнение, в кото- ром коэффициент при x1 обращается в нуль. Аналогично преобразуем ос- тальные уравнения.

Полагая, что в полученной системе коэффициент а¢22 ¹ 0. Умножив второе уравнение новой системы на – а¢32/а¢22 и прибавив к третьему, полу- чим новое уравнение, в котором коэффициент при x2 обращается в нуль. Аналогично преобразовываем остальные уравнения. В конечном итоге по- лучим систему, эквивалентную треугольной матрице:

x1 + a12¢ x2 + ... + a1¢n xn = a1¢n+1

x2 + ... + a2¢ n xn = a2¢ n+1

..........................

xn = a¢nn+1

6.3.2.Метод простой итерации

Пусть задана система линейных уравнений:

нальных коэффициентов для каждого уравнения должны быть больше мо- дулей остальных коэффициентов, не считая свободных членов.

147

6.4. Приближенное вычисление определенных интегралов

6.4.1. Формулы прямоугольников

Формула левых прямоугольников (рис. 6.8, а)

формула правых прямоугольников (рис. 6.8, б)

Абсолютная погрешность метода прямоугольников определяется не- равенством

Рис. 6.8. Метод прямоугольников

6.4.2. Формула трапеций

b

∫ f (x)dx ≈ h( y0 / 2 + y1 + y2 + ... + yn / 2) ,

a

где h = (b – a )/n, yk = f(xk), xk = a + kh, (k = 0, 1, 2, …, n).

Правая часть этой формулы выражает площадь фигуры, состоящей из трапеций, высота каждой из которых равна h (рис. 6.9). Остаточный член приближенной формулы трапеций

148

6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений

6.5.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в эле- ментарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов яв- ляется представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма ко- нечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому реше- нию. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэф- фициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора.

Способ неопределенных коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям и состоит в следующем. Если все коэффициенты уравнения и свободный член разлагаются в ряды по степе- ням, сходящиеся в интервале (а – h, а + h), то искомое решение у = у{х) также представляется степенным рядом сходящимся в том же интервале

y(x) = C0 + C1(x − a) + C2 (x − a)2 + ... + Cn (x − a)n .

Подставляя в уравнение функцию у(х) и ее производные, приравни- вают коэффициенты при одинаковых степенях. Из полученных при этом уравнений и заданных начальных условий находят коэффициенты. Способ, основанный на применении ряда Тейлора – Маклорена, заключается в по- следовательном дифференцировании данного уравнения

в выражения для коэффициентов ряда, являющегося решением уравнения.

6.5.2. Метод Эйлера

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференци- ального уравнения

у' = f(х,у),

удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.

При численном решении этого уравнения задача ставится так: в точ- ках х0, x1, х2, ..., xn найти приближения уk (k = 0, 1, 2, ..., n) для значений точного решения y(хk). Разность хk = хk-1 – хk называется шагом сетки. Во многих случаях величину хk принимают постоянной h, тогда

хk = хk – 1 + kh (k = 0, 1, 2, ..., n).

150