Мальханов - Общая Физика

§ 5 Космические скорости

Будем говорить о космическом корабле (вместо частицы в центральном поле). Полная энергия равна

E = T + U = (mv2/2) - γ mM/r = ( g = γM/r2) = (mv2/2) - mgr

1. E<0

T + U < 0, T< -U mv2/2 < mgr v2 < 2gr, v = v1 = (2gR)1/2 (r =R - средний радиус Земли)

Ракету нельзя удалить на бесконечность. Движение финитное: окружность, эллипс, падение на центр. Рассмотрим отдельно случай окружности

F веса = F центробежн. mg = mv12/R ( g 10 м/с2, R 6,4 103 км) v1 = (gR)1/2 8 103 м/c = 8км/с

2. E = 0,

T= -U v = v2 = (2gr)1/2 11,2 км/с - парабола

3.E> 0,

T> -U v > (2gr)1/2 – гипербола (гиперболы)

В двух последних случаях движение ин финитное. При E = 0 - минимальная энергия, необходимая для отрыва от Земли. Движение по параболе относительно Земли как притягивающего центра. Ракета становится спутником Солнца. Для Е > 0 ракета уходит от Земли по гиперболе.

4. Отрыв от Солнца

E ≥ 0 по отношению к Солнцу как притягивающему центру. Здесь необходимо учитывать три тела: Солнце, Землю и космический корабль. Можно рассчитать, что отрыв от Солнца (переход на параболическую или гиперболическую орбиты) с неподвижной точки на орбите Земли произойдет при скорости 42,1 км/с. С учетом движения Земли по орбите эта скорость составит:

по движению 42,1 - 29,8 = 12,3 км/с

против движения 42,1 + 29,8 = 71,9 км/с.

81

Все физические явления в гравитационном поле происходят также как и в поле сил инерции. При этом должны совпадать напряженности полей, начальные условия, а системы быть замкнутыми.

E Кул. = F/q по аналогии Eтяг. = F/mтяг. . При этом F = m тяг E тяг.., F = m инерции

a, то есть две последние силы в известном смысле неразличимы, эквивалентны. Запишем иначе.

Сила = тяжелая масса × напряженность поля тяжести

Сила = инертная масса×ускорение.

Инерция - способность тела сохранять покой или равномерное, прямолинейное движение.

Общий принцип относительности.

Все тела отсчета как системы координат (К,К′ и любые другие) эквивалентны в отношение описания в них явлений природы (формулировании общих законов природы) каким бы ни было их состояние движения инерциальным или неинерциальным.

Замечание (в связи с принципом эквивалентности)

Выбором системы отсчета с заданным ускорением можно любое гравитационное поле заменить полем инерции. Виды относительности, имеющиеся у нас к настоящему моменту

О тяготении Тела, движущиеся под действием поля силы тяжести, испытывают ускорение,

не зависящее ни от материала, ни от физического состояния самих этих тел.

Эксперименты, выполненные в связи с проверкой ОТО

Угол, описываемый прямой, соединяющий планету и Солнце на несколько секунд отличается от 360° - орбита искривлена.

2. Искривление траектории световых лучей под действием гравитационных полей При фотографировании затмения Солнца зарегистрировано смещение положения звезд на фотоснимках 29 мая 1919 года Эддингтоном и Кроммелином

83

3.Смещение к красному концу спектральных линий, приходящих от звезд большой массы (отличать от эффекта Доплера). При этом длина волны излучения меньше ожидаемой.

84

ГЛАВА 5 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)

Вступление

удем называть колебаниями, вообще говоря, любые повторяющиеся Бпроцессы.

Когда мы говорим о колебаниях, то подразумеваем колебательную систему (более или менее простую или сложную).

Примеры колебательных систем:

струны музыкальных инструментов (сами музыкальные инструменты (горло Шаляпина)), части механизмов и машин, газы (воздух),

волны и суда (предметы) на воде все виды электромагнитного излучения, мембраны акустических систем, земная кора при землетрясениях, планеты солнечной системы,

белые карлики в процессе их рождения и смерти, ядра атомов по отношению к захватам.

Движение относительно положения равновесия в колебательной системе поддерживается упругими внутренними или другими силами. Все виды колебаний мы будем сводить к гармоническим колебаниям.

Виды колебаний по отношению к характеру внешнего воздействия:

85

1. Свободные колебания Однократное внешнее воздействие, после чего система освобождается и

остается предоставленной самой себе. Внутренние силы (упругие или другие) заставляют колебаться систему, пока энергия первого толчка не растрачивается на работу по преодолению сил сопротивления.

2. Вынужденные колебания Периодическое внешнее воздействие таково, что колебания системы не

прекращаются в течение всего времени этого воздействия. Энергия, передаваемая системе за один период должна равняться работе против сил сопротивления в системе.

3. Автоколебания Такие вынужденные колебания, при которых система сама регулирует

подачу в себя энергии (все механические часы с пружинами и гирями, мультивибраторы …).

4. Параметрические колебания Такие вынужденные колебания, при которых за счет внешнего воздействия

происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (размеров, массы, коэффициента упругости ...).

§1 Малые колебания

Пусть потенциальная энергия колебательной системы, U , зависит от одной переменной х (линейная задача), и пусть у системы есть положение устойчивого равновесия при х = 0.

Система - колеблющаяся материальная точка.

U (x) = U(0) + U′(0)x + U′′(0)x2 + ....

i)U(0) =0 - это условие мы накладываем сами для удобства, как это делается обычно.

ii)U′(0) = - F(0) = 0 - так как сила в точке равновесия равна нулю

iii)Обозначим U′′(0) = k U (x) ≈ kx2/2 - в более привычных обозначениях, если не рассматривать члены ряда более высокого порядка малости

F(x) = - dU/dx = - d(rx2/2)/dx = -kx

F(x) служит внутренней силой, возвращающей систему в положение равновесие. Для колебаний необходимо внешнее однократное воздействие. Тогда по второму закону Ньютона

F = ma = m d2x/dt2

U

E

T

цепочка

атомов

Уравнение малых колебаний запишется в виде

m d2x/dt2 = - kx или

d2x/dt2 + ω02 x = 0, где ω02 = k/m

[ω02] = [k/m] = кг/с2кг, так как [k] = [F/x] = Н/м = кг м/с2м [ω] = c-1 = рад/с. ч - не обязательно имеет смысл длины, это может быть угол или какая-либо другая

физическая величина.

87

§ 2 Свободные гармонические колебания (свободный гармонический осциллятор)

Имеем

d2x/dt2 + ω02x = 0 . (*)

Надо решить это уравнение - найти зависимость x (t). Оно классифицируется как однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения таких уравнений ищутся в виде x = eλt, подставим в (*) для отыскания параметра λ.

d2x/dt2 = λ2 eλt λ2 eλt +ω02 eλt = 0 λ2 = - ω02 λ = ± i ω0 x1,2 = exp( ± iω0t)

В решении уравнения (*) должно быть две константы интегрирования, так как оно второго порядка и общее решение записывается в таком случае как суперпозиция этих констант и двух частных решений х1 и х2 по аналогии с d2x/dt2 = 0 dx/dt = c1 x = c1x + c2, тогда

x = c1x1 + c2x2 = c1 exp ( iω0t ) + c2 exp (-iω0t ).

Воспользуемся формулой Эйлера

exp ( ± iω0t ) = Cos (ω0t) ± i Sin (ω0t)

получим

x= c1[Cos(ω0t) + i Sin(ω0t)] + c2[Cos(ω0t) – i Sin(ω0t)] = c1Cos(ω0t) + ic1Sin(ω0t) + +c2Cos(ω0t) -c2iSin(ω0t) = (c1 + c2)Cos(ω0t) - i(c2 – - c1) Sin(ω0t) = a1Cos(ω0t) –

a2Sin(ω0t).

88

а1 и а2 представим как катеты прямоугольного треугольника, тогда найдется для него и гипотенуза

Выражение

x = Cos(ω0t +α)

есть решение уравнения свободных малых колебаний, здесь

ω0 - собственная частота свободных колебаний системы, а - амплитуда, t - время, α - начальная фаза колебаний, (ω0е + α) - фаза, x - смещение.

Итак, смещение здесь изменяется по закону косинуса, следовательно движение представляет собой свободные гармонические колебания. Замечание к определению периода. Период косинуса - Т = 2π, тогда

α + ω0(t +T) = (ω0t + α) + 2π ω0T =2π T = 2π/ω0 = 1/ν0

Об энергии свободных гармонических колебаний (иначе говоря, свободного гармонического осциллятора).

Вычислим скорость, и ускорение колеблющейся точки в зависимости от времени

v = dx/dt = -aω0 Sin(ω0t + α), w = d2x/dt2 = -aω02Cos(ω0t + α)

заметим, что x и w находятся в противофазе.

T= mv2/2 = ma2ω02Sin2(ω0t + α)/2

U= kx2/2 = ka2Cos2(ω0t +α) =(ω02 = k/m k = mω02) = ma2ω02Cos2(ω0t +α)/2

E= T + U = ma2ω02/2 = cst.

89