Мальханов - Общая Физика

M = r×F, dL/dt = M dL = M dt (∆L = M∆t), то есть направления M и ∆L совпадают. В результате вышло так, что L и ∆L имеют различные направления. Тогда

L′ = L + ∆L

L′ - результирующее направление момента импульса совпадает при этом с новым направлением оси гироскопа, а, таким образом, и с ω′, так как угол отклонения задан актуально маленьким.

Вывод: при попытке повернуть ось гироскопа вокруг оси О′О′ мы получаем приращение ∆L момента импульса перпендикулярное направлению приложенных сил

∆ω O ∆L ω′ω

L′L F1 O′′

M

O′′ F2

O

61

ГЛАВА 3 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 1 Постулаты специальной теории относительности

Ивпервые в статье А. Эйнштейна в 1905 г “К электродинамике движущихся тел”. СТО разработана для инерциальных систембыли изложеныдеи специальной теории относительности (СТО)

отсчета. Сформулируем два постулата, на которых основана специальная теория относительности:

1.Принцип относительности Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета

(это приводит к тому, что эталоны длины одинаковы и отсутствует понятие одновременности событий - и то и другое относительно по отношению к данной инерциальной системе отсчета).

2.Факт предельной скорости распространения взаимодействий Существует предельная скорость распространения взаимодействий -

скорость света в пустоте (вакууме), и она не зависит от инерциальной системы отсчета, то есть одинакова во всех инерциальных системах отсчета

Овтором постулате

i.Существует максимально возможная в природе скорость.

ii.Это скорость света в вакууме с = 299792458,0 ± 1,2 м/с 3 108 м/с (по измерениям независимо длины волны λ и частоты ν в 1972г), ошибка 10- 5 нм, видимый свет λ ≈ 1 мкм = 1000 нм.

iii.Она, эта скорость, одинакова в любой инерциальной системе отсчета.

61

Впервые проблема возникла, когда Максвелл и Лоренц (датский) написали уравнения электродинамики, в которые вошла скорость электромагнитного взаимодействия (скорость света). Она не должна была быть равной бесконечности. В современной экспериментальной физике неизвестна скорость большая, чем скорость света в пустоте - предельная скорость взаимодействий.

Классическая механика основана на преобразованиях Галилея, в которых

v′ = v ± v.

Согласно же новым постулатам получается, что

с′ = с + v = с с′ = с (?).

Это утверждение нетривиально и требует основательного обоснования. Рассмотрим эксперимент Майкельсона - Морли. Схема опыта:

Зеркало С

62

Вокруг установки находится “неподвижный эфир”, а установка движется вместе с Землей со скоростью v Земли. По тем временам поиски неподвижного эфира эквивалентны ныне поискам неподвижной системы отсчета.

Формулировка какого-либо закона, зависящего от скорости, не остается инвариантной по отношению к инерциальным системам координат. Тогда когда a и F , к примеру, - инвариантны, будучи выраженными в другой системе координат (по Галилею). В связи с этим основные законы электродинамики и, в частности, оптики перестают быть инвариантными по отношению к группе Галилеевых преобразований, так как эти законы зависят от скорости распространения света. Люди будучи идеалистами придумали эфир, как носитель света.

Итак, прибор вместе с Землей движется относительно неподвижного эфира. Ход лучей либо , либо || по отношению соответственно к зеркалам С и Е. Если разность фаз - го и || - го лучей в точке интерференции не измениться, то на интерферометре должно получиться усиление света.

К чему приведет расчет, если учитывать неподвижный эфир? Подсчитаем время прохождения через эфир лучей света

перпендикулярных (к зеркалу С) и параллельных (к зеркалу Е) направлению перемещения экспериментальной установки (Земли по отношению к эфиру) со скоростью с туда и обратно.

1. || (к зеркалу Е)

t1- время туда, t2 - время обратно v Земли ≡ v

63

сt1 = l + vt1 t1 = l/(c-v), ct2 = l - vt2 t2 = l/ (c+ v)

t1 + t2 = [l(c+ v) +l(c - v)]/(c2 - v2) = 2lc/(c2 - v2) = (2l/c)/(1 - v2/c2)

2. (к зеркалу С)

Можно было бы рассудить проще. t3 - время туда и обратно считать одинаковым, тогда

2t3 = 2l/c .

Если же учесть движение в эфире, то получим треугольник для хода лучей света до зеркала С и обратно

ct3

l

vt3

(ct3)2 = l2 + (vt3)2 t32(c2 - v2) = l2

t3 = l / (c2 - v2)1/2, 2t3 = (2l/c) / (1 - v2/c2).

То есть, времена t1 + t2 и 2t3 различаются, следовательно лучи не обязательно должны приходить в фазе в точку интерференции и давать усиление. Эксперименты при всех вариациях давали только усиление света. Следовательно, не было обнаружено преимущественной системы отсчета - неподвижного эфира, например, и следовательно соблюдается принцип относительности для скорости света - в разных инерциальных системах отсчета она одинакова и

с′ = с + v = с.

Назовем другие эксперименты, выполненные с той же целью.

64

1. Кеннеди, Торндайк 1932г.

На интерферометре Майкельсона проводились непрерывные измерения в течение полугода тогда, когда Земля переходила в диаметрально противоположную точку своей орбиты.

2. Бонч-бруевич, Молчанов 1956г.

Скорость света от левого и правого краев Солнца (V отн. = 2,3·2 = 4,6 км/с). Обе скорости совпали с точностью до 20%

3. Саде. Опыт на γ – квантах. Описан в статье Phys. Rev. Letters, 10, 271, 1963г

Движущийся изотоп С12 со скоростью 0,5с и неподвижный О16 излучают на наблюдателя. В обоих случаях скорость света с точностью до 10% оказалась одинаковой.

§ 2 Преобразования Лоренца (1904г)

Излагается по сборнику статей А. Эйнштейна "Физика и реальность". ““О специальной и общей теории относительности”, общедоступное изложение, приложение 1, простой вывод преобразований Лоренца”.

65

x′ + ct′ = µ (x + ct)

Получили систему двух уравнений, выражающих штрихованные (искомые) координаты через не штрихованные координаты, которые даны по условию

x′ - ct′ = λ(x - ct)

x′ + ct = µ(x + ct).

Здесь предполагаем, что преобразования линейны, то есть коэффициенты λ и µ не являются какими-либо сложными функциями координат и времени (время можно считать одной из координат - четвертой для 3-х мерного пространства), так как пространство и время однородны, Решим систему относительно штрихованных координат. Для этого сложим и вычтем уравнения друг из друга. Вспомним, что наша цель - определить неизвестные коэффициенты как параметры, которые в дальнейшем позволят нам записать формулы преобразований координат.

Сложим ( + )

2x′ = λ(x - ct) + µ(x + ct) 2x′ = λx - λct + µx + µct 2x′ = x(λ + µ) – ct(λ - µ)

(λ +µ)/2 = a, (λ -µ)/2 =b

x′ = ax – bct.

Вычтем ( - )

- 2ct′ = λ(x - ct) - µ(x +ct ) -2ct′ = λx - λct - µx - µct 2ct′ = ct(λ + µ) - x(λ - µ)

С этого момента для определения параметров а и b используем следующие начальные и граничные условия:

67

1.Из ( 2 ) t′ = 0, act -bx = 0 t = bx/ac

2.Из ( 1 ) x′ = 0, ax – b ct = 0 x =bct/a = vt, здесь v= bс/a - скорость движения системы координат К′ относительно К

3.Из ( 1 ) t = 0, x′ = ax, x =x′/a

Рассмотрим уравнение (1), имеем:

x′ = ax – b ct = (используем начальное условие 1.) = ax – bc bx/ac =

(используем дважды начальное условие 2.)

=ax – v bx/c = ax – v (bx/c)(ca/ac) = ax – v (bc/a)(a/c2)x =

=ax - v2ax/c2 = ax(1 - v2/c2).

Получена связь штрихованной и не штрихованной координаты. В качестве второго уравнения берем начальное условие 3.

x′ = ax (1 - v2/c2)

x′ = ax

Получили систему, решение которой зависит от параметра а. Согласно принципа относительности, единица длины в обеих системах независима и равна, к примеру, 1 м, то есть с равным основанием

x′ = 1м и x = 1м x = x′ x = ax′

(подставим полученное выражение в первое уравнение системы), имеем

x′ = a2x′ (1 - v2/c2).

Отсюда и найдем коэффициент а, удовлетворяющий условию равноправия систем отсчета

68

a = 1/ (1 - v2/c2)1/2.

Чтобы найти b, вновь обратимся к граничному условию 2. v = bc/a b = v a/c

b = (v/c)/(1 - v2/c2)1/2 .

Подставим выражения, полученные для а и b в систему уравнений (1) , (2). Имеем

x′ = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2

t′ = (t - xv/c2)/(1 - v2/c2)1/2.

Получили преобразования Лоренца для координаты и времени.

Обратимся вновь к преобразованиям Галилея. Образуем интервал вида

s2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2

Теперь образуем такой же интервал в штрихованной системе координат. Учтем при этом преобразования по Галилею

x′ = x - vt, t′ = t, y′ = y, z′ = z s′2 = (x2 - vt - x1 + vt)2 + (y2 - y1)2 + (z2 -z1)2 - c2(t2 -t1)2 = s2

То есть преобразования Галилея инвариантны при условии равенства времен. Проверим преобразования Лоренца. Опустим y и z координаты, так как они

не преобразуются при замене координат

(x2′ - x1′)2 - c2(t2′ - t1′)2 = [(x2 - vt2 -x1 +vt1)2 - c2(t2 -x2v/c2 - t1 + + x1v/c2)2]/(1 - v2/c2) =

= [(x2 - x1)2 - 2(x2 - x1)(v t2 - vt1) + (vt2 - vt1)2 - c2(t2 - t1)2 + 2(t2 - t1)(x2v - x1v) 1/c2)(x2v

- x1v)2]/(1- v2/c2) = [(x2 - x1)2(1 - v2/c2) - (t2 - t1)2(c2 - v2)]/(1 - v2/c2) = (x2 - x1)2 - c2(t2 –

-t1)2.

69