Мальханов - Общая Физика

Таким образом, преобразования Лоренца инвариантны и по отношению ко времени. Пусть x = x1, y = x2, z =x3, -c2t2 = x42. При таком выборе интервал можно записать в виде

∆s2 = ∆x12 + ∆x22 + ∆x32 + ∆x42.

§ 3 Следствия из преобразований Лоренца: длины тел и промежутки времени

о длинах тел

∆x′ = x2′ - x1′ = [(x2 - vt2) - (x1 -vt1)]/(1 - v2/c2)1/2

Для сравнения длин тел совместим моменты времени, чтобы провести наблюдение одновременно, тогда t1 = t2

∆x′ = ∆x/(1 - β2)1/2, β = v/с

Часто пере обозначают ∆x′ = l0, ∆x = l

l = l0(1 - β2)1/2 l < l0

l0 называют собственной длиной, а l - длина по отношению к той системе отсчета, которая принята за неподвижную, и из которой ведется наблюдение за движущейся системой (иначе говоря: как длина видится из неподвижной системы в движущейся). Назовем ее кажущейся длиной. При этом говорят о сокращении длины. Кажущаяся длина меньше собственной, как это следует из формулы.

О промежутках времени

Чтобы проанализировать продолжительность промежутков времени, выразим в явном виде t через t′ и x′

70

x′ = (x - vt)/(1 - β2)1/2, t′ = (t -xv/c2)/(1 - β2)1/2 x = x′(1 -β2)1/2 + vt, t = t′(1 - β2)1/2 + xv/c2

t = t′(1 -β2)1/2 + v/c2(x′(1 - β2)1/2 + vt) t(1 - v2/c2) = (1 - β2)1/2(t′ + vx′/c2)

t = (t′ + vx′/c2)/(1 - β2)1/2

Запишем длину не штрихованного временного интервала и учтем необходимость совместить концы координат, чтобы по ним замечать длительность промежутка времени: следовательно необходимо положить x1′ = x2′

t2 - t1 = [(t2′ + vx2′/c2) - (t1′ + vx1′/c2)]/(1 - β2)1/2 = (t2′ - t1′)/(1 - β2)1/2.

Длительности записываются в виде

∆t = ∆t′/(1 - β2)1/2 .

∆t′ называют собственным временем, а ∆t - время по отношению к неподвижной системе отсчета (то есть как оно “видится” из неподвижной системы отсчета по отношению к движущейся) назовем кажущимся временем. В этом смысле говорят о замедлении времени. Кажущееся время больше собственного согласно формуле.

Поскольку системы координат равноправны, то любая из них может “считать себя” неподвижной (лабораторной системой), а другую - движущейся. Расчет длин и промежутков времени ведется по формулам. Такова суть относительности. Физики, работающие на ускорителях, все свои расчеты производят по указанным здесь формулам. Для них это обычное дело. Так практика подтверждает объективность законов специальной теории относительности.

§ 4 Преобразования скоростей, импульса и энергии

vx′ = dx′/dt′, vy′ = dy′/dt′, vz′ = dz′/dt′

найдем дифференциалы от соответствующих преобразований Лоренца

71

dx′ = (dx - vdt)/(1 -β2)1/2, dy′ = dy, dz′ = dz, dt′ = (dt - vdx/c2)/(1 - β2)1/2

vx′ = (dx - vdt)/(dt - vdx/c2)

vy′ = [vy(1 - β2)1/2]/(1 - vvx/c2) vz′ = [vz(1 - β2)1/2]/(1 - vvx/c2).

y и z - компоненты скорости преобразуются нетривиальным путем из-за преобразований времени. В отношении преобразований времени, физик-теоретик из Германии Вольфганг Паули заметил, что “В высшей степени поразительной чертой преобразований Лоренца является то, что и временная переменная также преобразуется к новому значению”. Релятивистские ( от англ.- relative) значения для импульса и энергии выпишем без вычисления

p = m0v/(1 -β2)1/2 = mrv, E = m0c2/(1 - β2)1/2.

Исключим скорость и найдем связь между энергией и импульсом

p2(1 - β2) = (m0v)2 , E2(1 - β2) = (m0c2)2 1 - β2 = (m0c2)2/E2

p2(m0c2)2/E2 = m0c2(1 - (1- v2/c2)) p2c2/E2 = 1 - (m0c2)2/E2

p2c2 = E2 - m02c4 E2 = p2c2 + m02c4 .

Кинетическую энергию выразим как разность между полной релятивистской энергией и энергией покоя частицы

T = mrc2 - m0c2.

72

ГЛАВА 4 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

§ 1 Законы Кеплера

на основе многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (15461601) немецкий ученый Кеплер сформулировал 3 закона.

1.(1609) Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2.(1609) Радиус-вектор планеты за равные времена описывает равные площади.

3.(1618) Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Ti2/Tk2 = ri3/rk3

r3/T2 = cst = K - постоянная Кеплера

73

F 1 / r2

Эти силы центральные, то есть направлены вдоль линий, соединяющих материальные точки (или, точнее, центры масс тел) и (или) силовые центры

F21 = (-α/r2) (r/r)

Перечислим законы, в которых силы подчиняются закону обратных квадратов.

1.Закон Кулона: |α| = q1q2/4πε0

2.Закон всемирного тяготения: α = γm1m2 Вычислим потенциальную энергию

-U = ∫ Fdr = - ∫ (αdr/r2)(r/r) = -α ∫dr/r2 = α/r +C, (r→∞, U max = 0 C = 0)

U = - α/r

Замечание.

74

p = mv = mrω = mr (dϕ/dt), (ϕ (v) r и p)

Таким образом, сохранение момента импульса означает постоянство секторальной скорости и радиус-вектор, проводимый из центра в точки траектории, за равные времена описывает равные площади, что приводит нас ко второму закону Кеплера.

§ 4 Кеплерова задача: каковы траектории тел в поле тяготения ?

Под траекторией подразумеваем зависимость координат друг от друга r = r (x,y,z,t) x ~ y ~ z, в случае полярных координат на плоскости r ~ ϕ.

Поставим задачу: найти возможные траектории в поле тяготения (поле притягивающего центра) тяготеющей массы (планеты, частицы). Имеем законы сохранения энергии и момента импульса. Запишем полную энергию системы

E= T поступат. + Т вращат. + U потенциальн. = (m)(dr/dt)2 /2+ (mr2)(dϕ/dt)2 /2+ U =

=(L = mr2dϕ/dt dϕ/dt = L/mr2) = (m)(dr/dt)2 /2+ (L2/2mr2) + U.

Здесь Е и L – числа в том смысле, что они константы (в поле центральных сил) как сохраняющиеся величины. Тогда

(m)(dr/dt)2 /2= E - U - L2/2mr2 dr/dt = [2(E -U)/m - (L/mr)2]1/2

77

Получим уравнение траектории в полярных координатах. Для этого используем выражение L = mr2dϕ/dt и исключим dt из двух последних выражений

dr = [2(E - U)/m - (L/mr)2]1/2(mr2dϕ/L)

dϕ = (L dr /mr2)/[2(E - U) - (L/mr)2]1/2

ϕ = ∫ (L dr /r2) /[2m(E - U) - (L2/r2)]1/2 + cst

cst выбором начала координат обращается в ноль (cst = 0), U = -α/r и d(1/r) = -dr /r2, тогда

ϕ = - L∫ d(1/r)/[2mE + (2mα/r) - (L2/r2)]1/2 . (*)

Получился интеграл, который можно свести к табличному интегралу вида

ϕ = -∫ dx/(1-x2)1/2 = arccos x, где x = 1/r.

Решение представимо в виде

сos ϕ = [(L/r) - (mα/L)]/[2mE + (mα/L)2]1/2 (**)

Здесь вычислен интеграл (*) и "взят" косинус от левой и правой частей. Существует так называемое уравнение конических сечений. Оно

представляется в полярных координатах как

r = p/(1 +e cosϕ)

Выразим наше решение (**) явно через r

[2mE + (mα/L)2]1/2 cos ϕ = (L/r) - (mα/L) 1 / [(mα/L) + ((2mE + (mα/L)2 )1/2cosϕ]

=

= r/L.

r = (L2/mα)/[1 + L/mα(2mE + (mα/L)2)1/2 cosα]

78

Здесь p = L2/mα, e = [(2EL2/mα2) + 1]

Проанализируем уравнение конических сечений, для этого представим его в виде

r(1 + e cosϕ) = p

1. е = 0 - окружность (r = p = cst = 1)

2. 0< e< 1 (e = 0,5 ; p = 1) - эллипс r = 1/(1 + 0,5 cosϕ)

3.е = 1, р = 1 - парабола r = 1/(1 + cosϕ)

4.e> 1 (e = 1,5 , p = 1) - гипербола r = 1/(1 + 2cos ϕ)

Замечание. Здесь целесообразно расчетное задание для обучающихся. Построить на одном листе миллиметровой бумаги разумного формата все четыре

зависимости дающие круг, эллипс, параболу и гиперболу с шагом 15°, начиная с 0° в полярной системе координат, чтобы у всех кривых был единый центр.

79