Мальханов - Общая Физика
.pdf
σ = dq/ds, dq = σ ds [σ] = Кл/м 2
z
ds, dq
r
x |
y |
q = ∫ σ ds, σ = cst q = σ ∫ ds = σs σ = q/s s s
Тело, протяженное в пространстве Здесь ρ - объемная плотность заряда
ρ = dq/dV, dq = ρ dV [ρ] = Кл/м3
z
r |
dV dq, |
y
x
q = ∫ ρ dV, ρ = cst q = ρ ∫ dV = ρ V V V
Если τ, σ или ρ есть функции координат, то можно говорить о малых частях ds, dl, dV , как о точечных заряженных телах. В таких случаях, при расчете напряженности электрического поля можно воспользоваться формулой точечного заряда. Проследим такую процедуру на примере заряда, распределенного по объему.
220
Пусть имеем заряженное объемное тело
Z |
z |
A
Y |
y |
l 
e x
dV
+ dq
x
dE A(x, y, z) = dq(x,y,z) e/4πε0 l2(x,y,z) = ρ(x,y,z)dVe/(4πε0l2(x,y,z))
EA = ∫ ρdVe/(4πε0l2).
V
Пример линейно заряженного тела – отрезок прямой. Здесь также заряд распределен неточечным образом.
Пусть точка, в которой ищется напряженность электрического поля, находится на продолжении прямой. Прямую целесообразно совместить с какой-нибудь из осей, например, x. Начало координат удобно поместить в искомую точку.
x |
|
q, τ |
dx, dq |
|
|
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
O |
||||
dEA = dq/4πε0x2 = τdx/(4πε0x2).
x2
221
ΕΑ = ∫ τdx/(4πε0x2) x1
τ= τ(x) – здесь необходим конкретный вид зависимости
τ= cst(x), тогда
x2 |
x2 |
EA = (τ/4πε0) ∫ dx/x2 |
= (τ/4πε0)(-1/x)| = (τ/4πε0)(1/x1 – 1/x2). |
x1 |
x2 |
Трудности, которые возникают при решении задач об определении E, иногда можно уменьшить, введя понятие потенциала (как некую математическую процедуру).
§ 8 Потенциал электрического поля
8.1. Об электрическом потенциале
Напряженность является силовой характеристикой электрического поля. Можно ввести характеристику поля не силовую, а по отношению к той энергии, которая расходуется при перемещении заряда в электрическом поле. Оценим, какая работа необходима для того, чтобы перенести заряд из бесконечности (из места, где электрического поля нет) в данную точку поля.
Первое определение, неформальное
+
++
+
+
Если перемещать заряды разной величины и составить отношения расходуемых энергий к величинам зарядов, то отношения
W1/q1 = W2/q2 = … = ϕ
222
будут оставаться постоянными. Такая сохраняющаяся величина называется электрическим потенциалом и имеет размерность: [ϕ] = В (Вольт).
Второе определение, формальное Вычислим работу по перемещению заряда в электрическом поле вдоль одной
координаты из бесконечности в данную точку. Учтем, что работа и потенциальная энергия равны друг другу с точностью до знака.
x x
dW = - dA = - Fdx, F = qE W = - ∫ F dx = - q ∫E dx.
∞∞
Представим напряженность электрического поля в виде полного дифференциала некоторой произвольной скалярной функции.
E = -dϕ/dx, тогда
x x x
W = q ∫ dϕ dx/dx = q ∫ dϕ = qϕ | = qϕ(x) + qϕ(∞) = [ϕ(∞) = 0] = qϕ
∞ ∞ ∞
W = qϕ ϕ = W/q.
В итоге мы получили то же определение потенциала, как и в первом определении. Запишем связь напряженности и потенциала для трехмерного пространства в декартовых координатах.
Ey = -dϕ/dy, Εz = - dϕ/dz E = Ex i + Ey j + Ez k = - (i dϕ/dx + j dϕ/dy
+ k dϕ/dz) = - (i d /dx + j d /dy + k d /dz) ϕ =- ϕ.
Здесь символ набла - означает математическую операцию над скалярной функцией и является математическим оператором вида
= - ( i d /dx + j d /dy + k d /dz).
223
8.2 Потенциальный характер электрического поля
Заметим, что энергия, затрачиваемая на перенос заряда в электрическом поле, не зависит от формы пути переносимого заряда, так как электрическое поле – поле консервативных сил. Заметим также здесь, что по определению
U = ϕ1 - ϕ2, а ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1, тогда
(2)
ϕ2
q
q
(1) |
q |
ϕ1 |
|
q
∆ϕ = ∆W/q, ∆W = ∆ϕq = cst.
В обычной бытовой розетке (дома) разность потенциалов составляет 220 В. О циркуляции вектора напряженности электрического поля
Интеграл вида
∫ E dl , ( E dl = E dl Cos E^dl) L
называется циркуляцией вектора E по замкнутому контуру L. Такой интеграл можно вычислять как определенный интеграл в декартовой системе координат. Если учесть потенциальный характер электрического поля, то циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна 0 .
∫ E dl = 0 L
224
E |
dl |
L Q
Иначе
2 1
∫ E dl + ∫ E dl = 0 . 2
Можно также записать следующее
∫ E dl = q ∫ F dl = q ∫ dA = 0, L L L
откуда следует, что с точностью до постоянной работа при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю. Здесь
F dl = Fx dlx + Fy dly + Fz dlz.
Если контур L не замкнутый
225
E
dl dl
L
dl
Во всех скалярных произведениях dl имеет направление касательной в данной точке траектории, а E может быть направлено произвольно по отношению к dl . Выбор обхода контура всегда возможен в двух встречных направлениях.
Потенциал поля точечного заряда. Имеем для точечного заряда
E = q/4πε0 r2 (пусть r = x),
ϕ = - ∫ E(x) dx = - q/4πε0 ∫dx/x2 = q/4πε0x + ϕ∞ (ϕ∞ = 0).
Второй вариант: определенный интеграл
x |
x |
ϕ= - ∫ E(x) dx = - q/4πε0 ∫ dx/x2 = q (1/x – 1/∞)/4πε0
∞∞
Итак, для точечного заряда имеем расчетную формулу потенциала
ϕ = q/4πε0r.
Теперь, как итог всему сказанному, рассмотрим задачу о расчете поля с применением скалярного потенциала.
226
r |
A |
dV, |
|
dq |
|
dϕA = dq/4πε0r = (dq = ρ dV) = ρ dV/4πε0 ϕ = (1/4πε0)∫ ρ dV/r.
Привязку удобнее осуществлять к одной системе координат, тогда
z |
A |
r2 |
r = r2 – r1 |
r1
y
x
Здесь r = r2 – r1 - расстояние от элемента заряженного тела до искомой точки A, в которой вычисляется потенциал электрического поля. Далее можно найти E , вычисляя ∂ϕ/∂x, ∂ϕ/∂y, ∂ϕ/∂z и подставляя вычисленные значения в E = -ϕ. Такой расчет, хотя и более длителен, но проще прямого расчета E , так как предполагает простую систему одномерных уравнений.
227
§ 9 Закон Гаусса
Рассмотрим произвольную систему неточечных электрических зарядов, а точнее говоря заряженных тел с произвольно распределенными на них зарядами. Окружим эти тела замкнутой поверхностью так, чтобы все эти тела оказались внутри нее. Пусть эта поверхность – сфера, удаленная от заряженных тел далеко так, что заряды можно считать точками по отношению к точкам сферы, приведя, таким образом, задачу к сферически симметричной задаче.
|
S |
e |
n |
E |
n |
|
q1 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
qi |
|
n |
|
|
|
q2 |
dS |
q |
|
|
|
|
|
|||
q3 |
q4, … |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Определим поток вектора напряженности электрического поля dФЕ через площадку dS как произведение
dФE = EdS ФE = ∫ EdS S
E = Ee, dS = dS n, q = Σ qi, q = ∫ ρ dV.
Рассчитаем поток вектора напряженности электрического поля через заданную воображаемую поверхность. Вначале запишем подынтегральное выражение для потока
E dS = q e dS n/4πε0r2.
Для сферы en = 1
228
ФE = ∫ EdS = ∫ qdS/4πε0r2 = (q/4πε0r2) ∫ dS = q/ε0. S S
Закон Гаусса записывается в виде
∫ E dS = q/ε0. S
Здесь слева стоит поток вектора через замкнутую поверхность, а справа заряд, ограниченный этой поверхностью, поделенный на электрическую постоянную (что означает, что закон записан в системе единиц SI).
Замечание. Для среды с диэлектрической проницаемостью отличной от единицы формула измениться тем, что электрическую постоянную необходимо помножить на диэлектрическую проницаемость, ε.
Выводы: Справедлива формула
∫ E dS = q/ε0
S
Если внутри замкнутой поверхности S зарядов нет, то
∫ E dS = 0 E = 0 S
Закон Гаусса позволяет в случаях хорошей симметрии (например, сферической и осевой) сравнительно легко рассчитывать напряженность электрического поля вокруг заряженных тел в пространстве вокруг симметричных заряженных тел.
Пример: расчет электрического поля вокруг бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Дано:
Бесконечная плоскость равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда σ.
Найти:
Напряженность электрического поля
229