Мальханов - Общая Физика
.pdf
§ 2 Электрическая емкость
Рассмотрим два заряженных проводника произвольной формы. Одним из них может служить Земля.
+ |
|
_ |
+ |
|
_ |
+ |
|
_ |
+ |
|
_ |
+ |
|
_ |
+ |
|
_ |
+ |
E |
_ |
Если подзарядить один из проводников, то на другом как говорят, индуцируется дополнительный заряд противоположного знака и возрастает разность потенциалов между проводниками. Отношение же величины заряда к разности потенциалов (или электрическому напряжению) для двух данных проводников будет оставаться постоянным. Так получается сохраняющаяся величина для двух данных проводников
Q1/U1 = Q2/U2 = … = C Q = CU.
Здесь. С - постоянная, характеризующая способность проводников аккумулировать (накапливать) заряд. С зависит от формы, качества и размеров проводника, а также качества среды (в электрическом отношении) между проводниками. Причем
C со средой/ С ваккума = ε
Очевидно, что ε вак = 1, а вот ε воздуха = 1,000594.
[C] = [Q/U] = Кл/В = Ф (Фарада), то есть изменение заряда на 1 Кл , приводящее к изменению разности потенциалов в 1 В произойдет при наличии емкости между проводниками в 1 Ф .
240
§ 3 Электростатический генератор Ван-де-Граафа
Первый электростатический генератор (ускоритель) электронов на энергию 80 КэВ (кило электрон вольт) был построен в 1929 году Ван-де-Граафом. Вначале рассмотрим схематично способ получения значительного количества заряда. Здесь используется то обстоятельство, что заряды всегда распределяются по внешней поверхности проводника. Для получения заряда очень большой величины (что создаст высокое напряжение между разделенными зарядами) используется следующая схема. К полому шару прикасаются с внутренней стороны малым шаром на изоляторе, после того как его подзаряжают от элемента. Процедуру повторяют до тех пор, пока пе реносимая доля не станет равна утечке через изолятор полого шара.
Полый шар с отверстием
Переносчик зарядов |
Элемент |
|
++ |
||
+ |
||
|
||
+ |
+ |
|
+ |
_ |
Изоляторы
Приведем схему ускорителя Ван-де-Граафа.
1
4
5
- U +
3 2
241
1 - высоковольтный электрод – шар. Такая форма оптимальна, она дает равномерное распределение заряда. Радиус шара обычно составляет несколько метров. Шар радиусом r = 5 м уже считается большим. Чем меньше радиус кривизны заряженного тела, тем большая напряженность электрического поля (больше густота линий напряженности) около этих точек тела
максимальная кривизна |
минимальная кривизна |
плоскость |
острие (иглы) |
Оценим максимально достижимую разность потенциалов исходя из радиуса сферы. Напряжение пробоя воздуха составляет 3 106 В/м = 3 В/мкм, и сильно зависит от влажности, давления, наличия в воздухе частичек и т.д.. Тогда
E = ϕ/r ϕ = E r = 3 106 5 = 15 106 В = 15 МВ.
Практически же удается реализовать для данных параметров ϕмакс = 3÷4 МВ. Система при этом заполняется сухим газом под высоким давлением (частица не успевает разбежаться и ионизовать другие).
–опорный валик (с обеих сторон транспортера)
–гребенчатый электрод, используемый для подачи на ленту транспортера зарядов от источника. Точно такой же электрод в верхней части транспортера (не показан на рисунке) передает заряд на внутреннюю поверхность сферы после чего заряды равномерно распределяются по внешней поверхности сферы.
–Опорная колонна
–Транспортер зарядов.
Передача заряда осуществляется посредством коронного разряда (путем подбора соответствующего напряжения). При движении ленты транспортера совершается работа по преодолению сил электрического поля. Скорость движения ленты 20 – 40 м/с (сравним: пешеход – 6 км/час = 1,6 м/с, велосипедист – 20 км/час = 5 м/с, автомобиль – 60 км/час = 15 м/с). Когда заряд накопиться генератор использую как ускоритель для разгона заряженных частиц, например, электронов.
242
Глава 3 Диэлектрики в электрическом поле
§1 Поляризация диэлектриков
Диэлектрики – это вещества, у которых свободных носителей заряда нет !! Так в идеале. На самом деле, если в металлах свободных носителей заряда ≈ 1022 см-3, то в диэлектриках, вследствие несовершенства кристаллической структуры (разорванные связи, инородные атомы и пр.) количество свободных носителей оценивается от 102 до 107 см-3. Такое количество относительно ничтожно мало. Будем считать для определенности, что все электроны в диэлектриках не свободны, но связаны с атомами и молекулами. Представим себе мысленный опыт: имеем слегка подзаряженный электрометр, поднесем к нему незаряженный диэлектрик
++ + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
++ + + + + + + + + + +
243
Мы увидим, что показания электрометра уменьшатся. Если убрать диэлектрик, то показания электрометра вернуться к исходному положению.
Если бы вместо диэлектрика был проводник, то мы объяснили бы это поведение тем, что на проводнике возник индуцированный заряд и изменил (уменьшил, скомпенсировал) поле электрометра. Если с диэлектриком рассуждать также, то надо также предполагать возникновение индуцированного заряда. Представим себе другой мысленный эксперимент.
_
+
+
Стеклянная палочка на нитке в поле заряженного шара поворачивается вдоль линий напряженности электрического поля. Этот опыт также свидетельствует в пользу возникновения индуцированного заряда. Однако, диэлектрики электрического тока не проводят, так как свободных носителей заряда в них практически нет.
Для объяснения этих опытов привлечем явление, которое называется поляризацией диэлектриков и наличие в диэлектриках так называемых поляризационных зарядов, которые могут поворачиваться в электрическом поле, сохраняя неизменным центр масс. Терминология, таким образом, используется следующая.
Металлы – индуцированные заряды, Диэлектрики – поляризационные заряды.
Отметим следующую разницу, которая восходит к эксперименту. Металл
+ |
_ + |
_ |
|
+ |
- |
можно разрезать не вынося из поля и разделить заряды. Диэлектрик
244
+ |
_ |
+ |
_ + |
_ |
Разрезать можно – разделить заряды нельзя. Тогда, принимаем следующую модель (версию). Диэлектрики состоят из молекул, представляющих собой диполи.
+ -
+ -
без поля |
в поле |
Замечание. Молекулы как диполи проявляют себя в двух видах Неполярные: в отсутствие электрического поля центры масс и геометрические
центры зарядов совпадают (симметричные молекулы). К ним относятся H2, O2, N2, и т.д., как правило это газы - упругие диполи.
Полярные: в отсутствие электрического поля центры масс и центры зарядов сдвинуты друг относительно друга - жесткие диполи.
245
Однако и те и другие молекулы (сферические в поле вытягиваются и также становятся полярными) в электрическом поле поворачиваются, чтобы расположиться по полю, а центры их масс остаются при этом на месте.
§ 2 Модель расчета электрического поля диполя
Диполь в данной модели – система, состоящая из двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов (+q, -q) , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, для которых ведется расчет поля диполя (напомним, что расчет электрических полей – основная задача курса электростатики). Привяжем декартову систему координат к диполю согласно рисунку
Z
r >> d
P(x,y,z)
|
r+ |
+q |
r |
d/2 |
r_ |
θ |
|
d |
Y |
d/2 |
|
X |
|
-q |
|
Z |
|
|
|
z-d/2 |
|
r+ |
|
|
|
|
|
+ |
z |
r |
z |
z + d/2 |
|
r_ |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
y |
246
В условиях задачи потенциал искомой точки можно найти по формуле для точечного заряда
ϕ(r) = |q|/4πε0 r(±), r2 = x2 + y2 + z2, r_2 = y2 + (z + d/2)2, r+2 = y2 + (z - d/2)2.
Для +q: z = d/2 r+2 = x2 + y2 + (z – d/2)2 Для –q: z = - d/2 r_2 = x2 + y2 + (z – d/2)2.
ϕ+ = q/4π[(z – d/2)2 + x2 + y2]1/2, ϕ_ = - q/4π[(z + d/2)2 +x2 + y2]1/2.
Поскольку d относительно мало, то
(z ± d/2)2 = z2 ± z d + d2/4 z2 ± z d,
r±2 = x2 + y2 + z2 ± z d = r2 ± z d = r2(1 ± z d/r2)2.
ϕP = ϕ+ + ϕ_ = (q/4πε0)[(r2 – z d)-1/2 - (r2 + z d)-1/2] = = (q/4πε0r)[(1 – z d/r2)-1/2 – (1 + z d/r2)-1/2].
Разложим (1 ± z d/r2)-1/2 в ряд вида
(1 ± x)-m = 1 ± m x ± … x << 1.
(1 ± z d/r2)-1/2 = 1 ± z d/2r2 ± … .
ϕP = (q/4πε0r)[1 + z d/2r2 – 1 + z d/2r2] = q z d/4πε0r r2. z/r = Cos θ, p = q d ϕP = p Cos θ/ 4πε0r2.
z
P(x,y,z) z 
d
r |
y |
θ
247
d – вектор, имеющий направление от отрицательного заряда к положительному, а по величине равный расстоянию между зарядами.
Во-первых имеем: Диполь - ϕ ~ 1/r2 Точечный заряд - ϕ ~ 1/r. Во-вторых.
p = q d ϕP = p r Cosθ/4πε0r3 = p r /4πε0r3.
Для отыскания вектора напряженности электрического поля, необходимо рассчитать его компоненты по x, y и z. Воспользуемся выражениями
ϕ = p z/ 4πε0r3 и E = - ϕ = - (i∂ϕ/∂x + j∂ϕ/∂y + k∂ϕ/∂z), Ez = (-p/4πε0 )∂ (z/r3)/∂z = (-p/4πε0)(1/r3 – 3z2/r5),
Ey = (-p/4πε0)∂(z/r3)/∂y = 3zy/r5,
Ex = (-p/4πε0)∂(z/r3)/∂x = 3zx/r5.
Замечание. Здесь, например
∂(z/r3)/∂x = ∂[z (x2 + y2 + z2)- 3/2]/∂x = z (- 3x)/ (x2 + y2 + z2) 5/2 = -3xz/r5.
Тогда весь вектор E можно записать в виде
E = (p/4πε0)[3zxi/r5 + 3zyj/r5 + (1/r3 – 3z2/r5)k]
Ex |
Ey |
Ez. |
Таким образом, электрическое поле диполя рассчитано в данной модели с указанными допущениями.
§ 3 Поляризованность
Итак, у нас есть понятие электрического дипольного момента
p = q d.
248
Поскольку диэлектрик можно представить себе состоящим из диполей, то через понятие диполя можно охарактеризовать и диэлектрик в целом. Количественной характеристикой поляризации диэлектрика в целом служит физическая величина – поляризованность. Поляризованность – электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика, он равен векторной сумме электрических дипольных моментов, pi , деленной на величину самого объема V
P = (1/V) Σ pi.
Частный случай. Если pi - все одинаковы, то есть q и d - одинаковы, то тогда и P – поляризованность одинакова во всем диэлектрике. Такие диэлектрики называют однородными в смысле поляризации. О размерностях.
[pi] = Кл м, [P] = Кл/м2.
Таблица поляризованности некоторых элементов
Элемент |
H |
He |
Li |
Ne |
Na |
Ar |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поляри- |
0.66 |
0.21 |
12 |
0.4 |
27 |
1.6 |
4 |
зован- |
|
|
|
|
|
|
|
ность, |
|
|
|
|
|
|
|
отн. ед. |
|
|
|
|
|
|
|
Оболочки щелочных металлов легко деформируются в электрическом поле изза слабой связи валентных электронов с ядром, а благородные газы более жесткие в этом смысле, отсюда – количественные отличия в поляризованности.
|
H Cl |
H2O |
|
H |
O |
|
|
|
|
p |
p |
Cl |
H |
|
|
|
H |
Иногда применяют термин поляризуемость подчеркивая этим способность диэлектриков к поляризации в электрическом поле.
249