Мальханов - Общая Физика

§ 4 Вектора углового перемещения, угловой скорости и ускорения

Рассмотрим вращение материальной точки (частицы) вокруг оси

ϕ→∆ϕ→dϕ ϕ, ω, ε

Если ϕ мал - (dϕ), то перемещение можно было бы считать прямолинейным, но такие повороты никак не сложить по правилу параллелограмма. За величину принимаем поворот dϕ, а за направление - направление вдоль оси, около которой совершается поворот, по правилу правого винта. dϕ - псевдовектор. Тогда:

ω = lim∆ϕ/∆t = dϕ/dt, ε = lim ∆ω/∆t = dω/dt = d2ϕ/dt2,

∆t→0 ∆t→0

ω и ε - также псевдовекторы.

При равномерном вращении за равные промежутки времени точка проходит равные углы, тогда

ω = ϕ/t = cst ε = 0.

Назовем время одного полного оборота, при этом, периодом t = T, а так как угол полного оборота ϕ = 2π, то

ω = ϕ/t = 2π/T T = 2π/ω

21

[ϕ] = град., рад., [t, T] = с, [ω] = рад/с, [ε] = рад/с2

Определим число оборотов в единицу времени

ν =1/Т = ω/ 2π ω = 2πν, [ν] = c-1= Гц.

Связь линейной и угловой скорости.

Вариант 1

Пусть тело, вращаясь вокруг оси, переместилось на ∆s и угол поворота составил ∆ϕ. R - радиус поворота

v = lim ∆s/∆t = ds/dt = R dϕ/dt = Rω, (ds = R dϕ)

∆t→0

а также a = dv/dt = d(ωR)/dt = R dω/dt = Rε

Вариант 2.

Пусть e - вектор единичной длины, но переменный по направлению

e = i Cosωt + j Sinωt, так как ω = α/t α = ωt

22

r = r e = (r Cosωt)i + (r Sinωt)j v = dr/dt = d(r e)/dt = d[(r Cosωt)i + (r Sinωt)j] /dt = = ωr[(-Sinωt)i + (Cosωt)j].

Найдем модуль скорости. Имеем v = ωr , r = R v = ωR. Вычислим ускорение.

a = dv/dt = rω2[(-Cosωt)i + (-Sinωt)j] = - r ω2e.

Из полученного выражения (знака минус), следует, что вектора а и r направлены навстречу друг другу. Для модуля ускорения имеем

a= ω2R = v2/R.

§5 Производная единичного вектора (при его повороте). Нормальное и касательное ускорения

n

∆ϕ ∆e

Пусть единичный вектор е поворачивается на угол ∆ϕ. Найдем его производную, учитывая, что изменение вектора суть - ∆е, а ортом вектора ∆е - τ является единичный вектор коллинеарный с ∆е

∆е = ∆ϕτ, тогда - de/dt = lim ∆e/dt= lim τ∆ϕ/∆t = τω,

∆t→0 ∆t→0

de/dt = ωτ.

23

Получилось выражение, в котором направление векторов левой и правой части взаимно перпендикулярны. Тогда направление скорости можно также задать с помощью орта τ, только что определенного: v =vτ, а полное ускорение определиться как производная по времени

а =dv/dt = d(vτ) /dt= (dv/dt)τ + v dτ/dt = aττ + vωn = aττ + an n = aτ + an,

где орт n перпендикулярен τ и v и является ортом нормали в данной точке траектории. В полученных выражениях:

aτ = dv/dt - модуль касательного ускорения

an = ωv = v2/R - модуль нормальной составляющей ускорения (ω = v/R)

Обобщенная векторная схема обозначений в декартовой системе координат (краткая запись)

n

A = A1e1 + A2e2 + A3e3, ∑ Ai ei = Aµeµ = A, i=1

индексы у А можно совсем опустить, подразумевая любой многокомпонентный вектор. К примеру, запись скалярного произведения приобретает вид

ei ej = δij = {1 при i=j, 0 при i ≠ j}. δij - символ Кронекера.

24

ГЛАВА 2 ДИНАМИКА

§1 Масса и импульс тела

Масса - мера инертности тел. При попытке привести тело в движение (то

есть изменить величину и направление, или только величину или только направление скорости тела) мы встречаем его сопротивление. Чтобы количественно оценить меру сопротивляемости, и вводится понятие массы, как количественной характеристики свойств тела. Мало просто говорить: маленькая масса, большая масса. Надо ответить на вопрос - сколько? Тут и возникает проблема эталона массы.

Долгое время эталоном массы служил 1дм3 воды при 3,98°С и при Р = 105 Па. Из-за неточности в определении плотности воды от него отказались.

25

В настоящее время пользуются другим эталоном массы. Эталон массы, так называемый 1 кг массы, храниться в Севре под Парижем в международном бюро мер и весов, он представляет собой цилиндр диаметром 39 мм, высотой 39 мм из сплава - 90% Pt и 10% Ir . Плотность этого вещества, обладающего высокой стойкостью, однородностью и полируемостью, - 21 г/см.

Отметим, что 1с и 1м - естественные эталоны, а 1 кг единственный искусственно созданный эталон. С ним сравниваются прототипы для их изготовления и дальнейшего употребления. Принято обозначение массы – "m" или иное.

Импульсом (количеством движения) называется (по определению) произведение массы тела на его скорость.

Итак, первое понятие в динамике - масса, второе - импульс, [p] =кг м/с

§ 2 Законы Ньютона

1-й закон Ньютона. Закон инерции (по Ньютону).

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние (переводы “из Ньютона” выполнены академиком А.Н. Крыловым).

"Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным…".

( “Neuton I. ”Philosophia naturalis principia mathematica.”Londoni, 1687.”) Так писал Ньютон! Резюмируем:

•В теории Ньютона считается, что пространство Евклидово (свободное тело может бесконечно долго двигаться прямолинейно, через точку можно провести только одну прямую параллельно данной).

•В теории Эйнштейна (общая теория относительности, неинерциальные системы отсчета) пространство-время неевклидово. Частицы здесь перемещаются вдоль путей, которые при заданной кривизне пространства

26

совпадают с линиями кратчайших расстояний между двумя точками (возможен вариант соглашения: мы как непосредственные участники движения не ощущаем кривизны пространства).

Прежде, чем формулировать последующие законы Ньютона целесообразно привести некоторые "определения по Ньютону".

1.“Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности ее и объему (иначе говоря m = ρV, то есть человечество в лице Ньютона шло к понятию массы через объем и плотность тел, что закономерно; вспомним понятие количества вещества; масса аддитивна

- С.М.)

2.Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе (p = mv)

3.Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельное тело поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

4.Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его

состояние покоя или равномерного, прямолинейного движения”.

... и так далее, из подобных определений состоят Ньютоновы записи о движении.

2-й закон Ньютона

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. Рассмотрим скорость изменения импульса, то есть

dp/dt = d(mv)/dt = mdv/dt = md2r/dt2

dp/dt = F - называется силой F = ma, [F] = кг м/с2 = Н

В динамике (по сравнению с кинематикой) из-за введения массы становиться существенной система отсчета, в которой исследуется задача - с ускорением движется тело или без.

Инерциальной будем называть систему, в которой выполняется закон инерции. Таким образом множество систем отсчета ( а это какие-то тела)

27

движущихся относительно данной системы равномерно и прямолинейно все взаимно инерциальны. Системы, движущиеся с ускорением – не инерциальны.

3-й закон Ньютона

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе говоря - силы взаимодействия двух тел равны, действуют вдоль одной прямой и направлены навстречу друг другу

§ 3 Принцип относительности Галилея

Законы классической механики инвариантны по отношению к любой инерциальной системе координат (инвариантны – "не зависят", справедливо с высокой точностью при скоростях много меньших скорости света v«c).

с - максимальная известная нам в природе скорость - скорость распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме с= 3 108м/с = 300 000 км/с. Постулирована точно: 299 792 458 м/с (по экспериментальным измерениям ошибка равна 62 ± 1,8 по данным 1973 г). Для сравнения космические скорости v1 = 8 км/c, v2 = 11 км/c, в ускорителях скорости элементарных частиц до 0,9с и более.

Рассмотрим две инерциальные системы, движущиеся друг относительно друга вдоль осей xx′ со скоростью v

К – не штрихованная система, считаем ее неподвижной

К′ - штрихованная система движется относительно К со скоростью v. Итак

28

Дано:

r(t) - зависимость радиус-вектора от времени в К.

Найти:

r′(t), v′(t), a′(t), ... все в штрихованной системе координат для данного тела, движущегося со скоростью v относительно К

Имеем r′ = r + vt. Здесь vt - линейно зависящий от времени радиус-вектор штрихованной системы координат относительно начала не штрихованной.

3. Чтобы найти ускорение, надо провести дифференцирование (1) по времени

dv′/dt = dv/dt + d/dt(v) = dv/dt так как v = cst a′ = a

То есть ускорение одинаково в этих двух системах отсчета. Заметим, что если бы скорость v была функцией времени, то системы координат не были бы взаимно инерциальны.

4. Поведение импульса.

Образуем формулы для импульса в К и К′ системах

29

p=mv, p′ = mv′ = m(v + v) = mv + mv = p + pv

2.Сила

F = ma, F′ = ma′ = ma = F F = F′

То есть, во всех инерциальных системах отсчета инвариантен второй закон Ньютона.

§ 4 Центр инерции системы тел. Теорема о движении центра инерции. Закон сохранения импульса

Центром инерции (или центром масс) системы тел мы будем называть точку, определяемую, например, радиус-вектором R:

R = ∑ mi ri / ∑ mi - суммирование производится от i=1 до i=n – произвольного натурального числа

ri

R

Y

X

30