4.3. Статистические методы оценки надежности СИ

Повышение точности и помехоустойчивости СИ тесно связано с надежностью работы измерительной аппаратуры. В этом разделе речь пойдет о метрологической надежности, т.е. о выходе параметров за допустимые пределы с заданной вероятностью (достоверностью).Наибольший практический интерес имеют следующие задачи:

-оценка вероятности безотказной работы СИ либо вероятности отказа с учетом износа;

-оценка вероятности брака контроля при поверке СИ;

-определение «склонности» СИ к отказам с учетом ряда факторов (например, условий эксплуатации);

-оценка вероятности отказов СИ за счет экстремальных факторов.

Для решения перечисленных задач применимы несколько статистических распределений (см. Приложение 4). Для оценки вероятности безотказной работы наиболее подходят распределение Вейбулла и отрицательное экспоненциальное распределение. При оценке брака контроля также могут быть использованы эти распределения. Склонность к отказам оценивается по отрицательному биномиальному распределению. Наконец, оценка отказов СИ за счет экстремальных факторов проводится с использованием распределения Пуассона.

Оценка вероятности безотказной работы аппаратуры.

Прогнозирование вероятности безотказной работы СИ проводится при нескольких предположениях. Отказы СИ и аппаратуры контроля могут происходить по следующим причинам: технологический брак, условия эксплуатации, старение и износ, экстремальные факторы (грубые ошибки, случайный сбой в работе по внешним причинам, аварийные ситуации и т.д.). Вероятность отказов отдельных элементов СИ принимается одинаковой; аналогичное допущение имеет место и для элементов контрольно-измерительной аппаратуры. Определение вероятности отказов СИ проводится с использованием двух распределений: отрицательного экспоненциального и распределения Вейбулла. Последнее распределение имеет более общий характер и позволяет учесть процессы износа элементов СИ. Вероятность отказов по

отрицательному экспоненциальному распределению определяется интегральной функцией распределения:

Результаты расчетов приведены в табл. 3. Расчет проводился для практически важных значений параметра λ и аргумента х.

Таблица 3

Вероятность отказов СИ (расчет по отрицательному экспоненциальному распределению)

Интервал времени при расчетах выбран в пределах 2…5 лет, что соответствует межповерочному интервалу для СИ, применяемых в различных областях (механика, акустика, теплофизические измерения).

При исследовании распределения Вейбулла соотношение для вероятности отказов имеет вид:

и вероятность безотказной работы в течение времени х составляет:

где a, b, c – параметры распределения. При расчетах полагалось a=0, b>1, c>1, что соответствует реальным условиям эксплуатации СИ. Результаты расчетов приведены в табл.4.

Таблица 4

Вероятность отказов СИ (расчет по распределению Вейбулла)

Отметим, что распределение Вейбулла можно рассматривать как отрицательное экспоненциальное, в котором параметр λ зависит от х (учет износа), причем λ= хc-1/bc. С использованием данных табл.3 оценим вероятность отказов для двух типов СИ, работающих в разных режимах: циклически и непрерывно (например, в системах управления, следящих системах). Для циклических СИ параметр λ изменяется в пределах λц=0,006…0,03, а для непрерывных – в пределах λн=0,02…0,1 (в зависимости от условий эксплуатации). Расчеты дают значение вероятности отказов: для циклических СИ – P0ц = 0,03…0,14; для непрерывных – P0н = 0,1…0,39 (расчеты проведены для значения х=5 лет, то есть межповерочный интервал принят равным 5 лет. Как видно из расчетов, вероятность отказов у циклических СИ

существенно ниже (примерно в 3 раза), чем у непрерывных. Расчеты по распределению Вейбулла выполняются аналогично и дают такую же закономерность.

Представляет интерес и обратная задача – оценка параметров распределения, связанных с характеристиками СИ, при которых вероятность отказов не превышает некоторого заданного значения. Положим, что вероятность отказов не должна превышать P0=0,1…0,01, что соответствуют вероятности безотказной работы Pб=0,90…0,99. Из табл. 3 имеем, что для х=5лет при P0=0,1 – λ=0,02, что соответствует для распределения Вейбулла значению хc-1/bc=0,02, которое обеспечивается,

например, при х=4, b=7, c=5. Для х=5лет при P0=0,05 – λ= 0,01,

что соответствует для распределения Вейбулла значению хc-1/bc=0,01, которое достигается, например, при х=2, b=7, c=2. Для х=2 года при P0=0,02 (Pб=0,98) – λ=0,01, что соответствует значению хc-1/bc=0,01, которое достигается, например, при х = 4, b=7, c=7. Параметры распределения могут быть определены по результатам испытаний, что позволяет оценить доверительную вероятность и необходимый межповерочный интервал. Если же заданы доверительная вероятность и межповерочный интервал, то можно определить параметры распределения и по ним оценить необходимые характеристики данного типа СИ при конструировании.

Оценка брака контроля. При вероятностном подходе к оценке брака контроля следует учитывать четыре исхода:

Р1 =Р11P12 – вероятность не обнаружения дефекта на годном элементе;

Р2 =Р21Р22 – вероятность обнаружения дефекта на негодном элементе;

Р3 = Р31Р32 – вероятность обнаружения дефекта на годном элементе;

Р4 =Р41Р42 - вероятность не обнаружения дефекта на негодном элементе,

где первые множители характеризуют соответствующие вероятности для СИ, а вторые – для аппаратуры контроля. Для вероятности брака контроля имеем следующее соотношение:

где n – порядковый номер контроля (поверки); Р∆ - вероятность того, что параметры СИ находятся в заданных пределах; Р1 =Р11P12, Р4 =Р41Р42. Положим для простоты, что n=1. Вероятность Р∆ зависит от типа СИ:

где f (y) – плотность распределения параметров. В общем случае f(y) является многомерным распределением, однако если выбрать основной параметр, то распределение сводится одномерному. В качестве основного (технологического) параметра для СИ обычно используется характеристика инструментальной погрешности (дисперсия, доверительный интервал и т.п.). Для определения Р∆ можно использовать нормальное распределение. Для идентификации параметров распределения необходим большой объем выборки по испытаниям СИ данного типа, что является трудоемкой задачей. Поэтому примем для расчета Р∆ более простую модель. Обозначим pi – вероятность выхода за допустимые пределы выбранного параметра для элемента i схемы СИ. Примем для простоты pi =p=const(i). Тогда, вероятность того, что для всей схемы параметр не выйдет за допустимые пределы, равна:

определенности N0=10, тогда Р∆=0 при p=1; Р∆=0,95 при p= 0,005;

Р∆=0,90 при p=0,01; Р∆=0,82 при p=0,02; Р∆=1 при p=0. Мы рассматриваем последовательную схему; для параллельной

схемы P =1− pNo . Оценим вероятность брака контроля из

соотношения (4.3.5). Рассмотрим ряд предельных случаев. Пусть вероятность выхода параметра за допустимые пределы равна нулю, т.е. p=0, тогда Р∆=1. Кроме того, положим, что контрольноизмерительная аппаратура не содержит отказов. Тогда P12=1; P42 = 0 и соотношение (4.3.5) упрощается:

где Р11, Р41 − вероятность безотказной работы и отказов СИ соответственно. Используем для расчетов в целях упрощения

экспоненциальное распределение (для распределения Вейбулла расчеты проводятся аналогично). Для циклических СИ имеем

λц=0,006…0,03 и Pбр = 0,03…0,14 (при λа = 0, т.е. для идеальной аппаратуры). Для непрерывных СИ расчеты дают: λн = 0,02…0,1

и Pбр=0,1…0,39 (при λа = 0).

Если учесть конечную вероятность технологического брака, то есть р≠0, то в (4.3.5) Р∆≠1, и так как Р∆<1, то с возрастанием технологического брака вероятность брака контроля снижается. При больших значениях вероятности технологического брака вообще нет смысла говорить о браке контроля, так как эта величина более низкого порядка малости по сравнению с технологическим браком. Учтем отказы аппаратуры контроля. Для циклических СИ имеем (при р=0; Р∆=1 и λц=0,006…0,03):

Pбр = 0,03…0,14 (λа = 0); Pбр= 0,17…0,28 (λа= 0,03); Pбр=0,37…0,53 (λа = 0,4), где λа − интенсивность отказов аппаратуры.

Для непрерывных СИ (при р=0; Р∆=1 и λн=0,02÷0,1) расчеты дают: Pбр=0,1…0,39 (λа=0); Pбр=0,24…0,53 (λа=0,03); Pбр= 0,46…0,72 (λа = 0,4). Расчеты проведены для периода х=5 лет (интервал между двумя контролями). Малые значения интенсивности отказов λа≤ 0,03 учитывают только случайную составляющую ошибки контроля; большие значения λа≥0,4 – систематическую.

Таким образом, для циклических СИ вероятность брака контроля значительно ниже, чем для непрерывных; особенно это заметно при малых интенсивностях отказов контрольноизмерительной аппаратуры. С возрастанием интенсивности отказов аппаратуры λа это расхождение относительно меньше. Точность аппаратуры существенно влияет на значение вероятности брака контроля, особенно, при малом технологическом браке и низкой интенсивности отказов.

Определение склонности СИ к отказам. На склонность СИ к отказам влияют режим работы и внешние условия (например, температура, влажность, давление и т. п.). Оценим склонность к отказам для циклических и непрерывных СИ, имеющих различный режим работы. Используем для этого отрицательное биномиальное распределение. Предположим, что парк циклических и непрерывных СИ одинаков и составляет n=100. Будем считать успехом, если выбранный из циклических СИ

прибор откажет. Оценим вероятность того, что циклический СИ откажет, когда в парке непрерывных СИ будет ровно r приборов. В этом случае одному успеху предшествует (n−r) неудач. Примем, что для циклических СИ вероятность успеха p=0,003, а

Pц=0,3·10-2. Аналогичный расчет для непрерывных СИ при r=99 дает Pн=10-2. Последняя вероятность соответствует случаю, что выбранный непрерывный прибор откажет, когда в парке циклических СИ будет ровно 99 приборов. Таким образом, расчет показывает, что склонность к отказам для циклических СИ значительно меньше, чем для непрерывных.

Оценка вероятности отказов СИ за счет экстремальных факторов. В данном случае имеются в виду редкие события, влияние которых можно оценить по распределению Пуассона. Предположим, что редкое событие случается 1 раз в 5 лет. Тогда параметр m=λt в распределении Пуассона m=1. Предположим, что вероятность числа отказов СИ из-за редкого события также подчиняется распределению Пуассона. Примем для циклических СИ λц=0,0006, тогда mц=λцt=0,003 (за период 5 лет), а для непрерывных СИ λн=0,002 и mн=λнt=0,01. Тогда суммарная вероятность числа отказов, вызванных редкими событиями за 5 лет, определяется обобщенным распределением Пуассона. Для циклических СИ она составляет: Pц=exp(-λt)·λt·exp(-λцt)·λцt=0,0011. Для непрерывных СИ аналогичные расчеты дают Pн=0,0038, т.е. она значительно больше, чем для циклических СИ.

Повышение надежности СИ осуществляется методами структурной и алгоритмической избыточности. В первом случае используются схемы с дополнительными параллельно включенными элементами, во втором – специальные алгоритмы фильтрации помех, например, усеченное среднее, медиана и другие, рассмотренные в § 4.2.

Вопросы, изложенные в этом разделе, рассмотрены в [1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 33, 34, 35, 39, 40, 47, 48].