4.2. Методы повышения помехоустойчивости СИ.

Динамические измерения. Повышение помехоустойчивости СИ достигается в этом случае фильтрацией помех, которая осуществляется с помощью линейных и нелинейных фильтров. Наиболее известными линейными оптимальными фильтрами являются фильтры Винера и Калмана.

Фильтр Винера. Пусть входной сигнал имеет вид суммы полезного (измеряемого) сигнала и помехи:

характеристиками. Измерения проводятся на большом интервале времени [−∞, t]. Входной процесс z(t) предполагается

центрированным, т.е. его математическое ожидание равно нулю. Выходной сигнал СИ с фильтром определяется выражением:

где y0(t)- идеальный выходной сигнал:

среднеквадратичным риском, определяемым минимумом дисперсии погрешности фильтрации:

−∞

Фильтр Калмана–Бюси. В фильтре Винера оптимальная весовая функция получается решением интегрального уравнения, что в реальных случаях оказывается затруднительным. Поэтому в работе Калмана и Бюси была предложена процедура фильтрации, основанная на решении дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. При выводе уравнения фильтра Калмана–Бюси предполагается, что входной (полезный) сигнал x(t) генерируется уравнением:

где q(t) –белый шум; А, В – матрицы.

Сигнал на выходе (результат измерения) удовлетворяет уравнению:

Как и ранее, предполагается, что процессы x(t), q(t),υ(t) взаимно независимы и центрированы, а шумы имеют корреляционные

функции вида:

M q (t )q (τ ) = Q (t )δ (t −τ )

δ (t −τ )– дельта-функция Дирака.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы x€(t1 t )

было решением задачи фильтрации, является выполнение уравнения Винера–Хопфа:

При сделанных предположениях справедлива следующая теорема. Пусть для задачи фильтрации существует решение вида:

где h(t, s) – весовая функция, непрерывно дифференцируемая по t, тогда для t0<s<t справедливо соотношение:

Следствием теоремы (4.2.19) является дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять оценка x€(t t ):

матрица, которая является решением уравнения типа Риккати:

с начальными условиями P(t)=P0=D[x0].

Уравнение (4.2.20) определяет структуру оптимального линейного фильтра. Практическая реализация фильтров Винера и Калмана связана с рядом технических трудностей, поэтому на практике применяются фильтры на основе RC-цепочек и операционных усилителей, являющиеся субоптимальными, однако более легко реализуемыми. Фильтры Калмана получили распространение при фильтрации дискретных последовательностей. Рассмотрим примеры использования линейных фильтров.

Пример 1. Определим одномерный фильтр с полосой пропускания 2 , центрированной на частоте f0. Его частотная характеристика имеет вид:

Пример 3. Пусть сигнал на входе x(t) состоит из полезного сигнала y(t) и шума n(t), причем y(t) и n(t) – независимые стационарные процессы. Мы хотим аппроксимировать y(t) процессом, полученным фильтрацией x(t). Матрица спектральной плотности x(t) и y(t) имеет вид:

Наилучший линейный фильтр, предназначенный для определения y(t) по x(t), имеет частотную характеристику:

Функция H(f) называется избирательным фильтром для сигнала y(t), присутствующего в шуме n(t). Как видно, из выражения (4.2.29), его действие состоит в том, что частотные компоненты сигнала x(t) из интервала частот, где значение Snn(f) велико по сравнению с Syy(f), этим фильтром не пропускаются, а компоненты x(t) из интервала частот, где Snn(f) мало по сравнению с Syy(f), пропускаются почти без изменений. Величина Syy(f)/ Snn(f) называется отношением сигнала к шуму на частоте f.

Пример 4. Измерение сигнала x(t) проводится двумя приборами с передаточными функциями W1(p), W2(p). Сигналы на выходе этих приборов соответственно равны:

y1 ( p) =W1 ( p)x( p) + 1 ( p) ,

где 1(p), 2(p) – лапласовское изображение шумов на выходе приборов СИ1 и СИ2 соответственно. Приборы имеют разные динамические характеристики и разные спектры собственных

шумов. Требуется повысить динамическую точность и провести фильтрацию шумов.

Для решения этой задачи используем два избирательных фильтра с передаточными функциями W1u(p) и W2и(p). Первый фильтр включен на выходе прибора СИ1, а второй – на выходе СИ2.

Суммарный сигнал на выходе СИ1+СИ2 равен:

Передаточная функция всего устройства:

W ( p) =W1( p)W1u ( p) +W2 ( p)W2u ( p) . (4.2.32)

Выберем:

где ε – малая величина. При ε=0: W(p)=1, т.е. на выходе получаем неискаженный сигнал, характеризуемый высокой точностью и эффективной фильтрацией шумов.

Статические измерения. В статическом случае для повышения помехоустойчивости СИ применяются специальные алгоритмы обработки многократных измерений. Задача формулируется в следующем виде. Найти оценку x€ полезного сигнала x=const по результатам многократных измерений zi= xi+ i (i=1,2,…,n), включающих значениях помех

являются реализациями случайной величины (t). Соответствующая оценка должна быть эффективной, состоятельной и несмещенной в заданном диапазоне измерений.

Можно показать после несложных преобразований, что оптимальный алгоритм, удовлетворяющий сформулированным условиям, определяется выражением:

где p(t)·…·p(zn+t)=p(t, z1, ..., zn) – совместная плотность распределения z0, z1,…,zn. Искомая оценка равна:

Подставляя (4.2.36) в (4.2.34) и проводя вычисления, найдем:

Для оптимальной оценки из (4.2.35) получим:

т.е. имеем выборочное среднее с дисперсией погрешности оценки:

Отметим, что если в данном примере использовать оценку в виде выборочного среднего, то дисперсия погрешности оценки возрастет, и оказывается равной D[ ]=α2/3(n+1).

Сравним эффективность полученных оценок по объему выборки (числу измерений), необходимому для обеспечения заданной дисперсии погрешности оценки D0.

Для среднего выборочного необходимое число измерений равно:

Сравнивая ncp и nц, получаем соотношение для минимальных объемов выборки двух оценок

Таким образом, оценка по центральному размаху оказывается эффективнее, чем по среднему выборочному, особенно, когда требуется обеспечить высокую точность результата измерения, т.е. при больших объёмах выборки.

Например, если пср=100, то пц= меньше.

Рассмотрим задачу нахождения оптимальной оценки в более сложном случае, когда плотность распределения помехи имеет вид:

где ε – малая величина; первое слагаемое описывает флюктуирующую помеху с малой дисперсией; а второе – импульсную с дисперсией σ22 >>σ 2 и распределением, отличным

от нормального. В этом случае удается получить квазиоптимальную оценку с точностью до членов, линейных по ε:

Из (4.2.46) следует, что искомая оценка содержит поправку к выборочному среднему, которая нелинейно зависит от результатов измерений.

Если модель помехи имеет вид

т.е. часть результатов измерений не искажена; δ(z) – дельта

Аналитическое выражение для дисперсии погрешности оценки по выражениям (4.2.46) и (4.2.48) получить не удается, поэтому зависимость дисперсии от параметров ε, σ2 и объёма выборки исследуется путем моделирования на ЭВМ. Расчеты показывают, что применение алгоритма (4.2.48) позволяет снизить дисперсию погрешности оценки в несколько раз при значениях ε=0,1…0,3, т.е. при высоком уровне помех.

Задача ещё более усложняется, если не известен закон распределения помехи. В этом случае наиболее часто используется метод наименьших модулей, в котором минимизируется величина:

Другим подходом, получившим распространение, является α-усеченное среднее, когда с обоих концов выборки удаляют по m результатов измерений, а по оставшейся части выборки вычисляется среднее.

Из этих двух методов оценка по медиане очень «жесткая», так как выбрасываются все результаты измерений, кроме одного или двух центральных. Оценка по усеченному среднему менее жесткая, кроме того, она уменьшает влияние флюктуирующих помех.