5. Примеры решения задач

Задача 1.

Фильтр нижних частот (ФНЧ) имеет следующие параметры: R =200 кОм, C =0,4 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на граничной частоте ω=ωg.

Решение.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра дается выражением (3.33) [42]:

Определим граничную частоту ωg =1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ωg =12,5 Гц. Значение АЧХ на этой частоте равно:

Относительная погрешность ФНЧ равна:

Погрешность фильтра понимается здесь как уменьшение амплитуды сигнала на выходе по сравнению с сигналом на входе.

Задача 2.

Фильтр верхних частот (ФВЧ) имеет следующие параметры: R =50 кОм, C =0,1 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на частоте ω=10ωg.

Решение.

АЧХ ФВЧ дается выражением (3.40) [42]:

Определим граничную частоту ωg =1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ωg =200 Гц. Значение АЧХ на частоте ω=10ωg равно:

Относительная погрешность ФВЧ равна:

Задача 3.

Полосовой фильтр (ПФ) имеет следующие параметры: R1 = R2 =100 кОм, C1 = C2 =0,2 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на частоте ωg.

Решение.

АЧХ ПФ дается выражением (3.44) [42]:

Определим граничную частоту ωg =1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ωg =50 Гц. Значение АЧХ на частоте ωg равно:

H (ωg ) = 1+11 = 0,5 .

Относительная погрешность ПФ равна:

Задача 4.

Определите предельную точность осциллографа при температуре 40о C, если его входное сопротивление 200 МОм, полоса частот 10 МГц.

Решение.

Точность осциллографа ограничена тепловым шумом. Для определения эффективного напряжения теплового шума используем формулу Найквиста (2.3.13):

UR2,эфф = 4kTR ν

Подставляя исходные данные, найдем:

UR2,эфф = 4 1,38 10−23 3,13 102 2 102 106 10 106 = 35 10−6 ,

UR,эфф 6 10−3 В .

Задача 5.

Определите предельную точность вакуумного диода при температуре 20о C, если величина тока 10 мА, полоса частот 100 кГц.

Решение.

Точность диода ограничена дробовым эффектом. Для определения эффективного эффективного шумового тока используем уравнение Шотки (2.3.35):

= 2eI0 ν .

Подставляя исходные данные, найдем:

IS2,эфф = 2 1,6 10−19 20 10−3 2 102 103 =12,8 10−16 , IS ,эфф 3, 6 10−8 А.

Задача 6.

Определите число фотонов, которое в среднем должен зарегистрировать фотодиод на длине волны 400 нм в полосе частот 100 кГц за время 10 мс.

Решение.

Значение числа фотонов ограничено квантовым шумом приемника. Для определения числа фотонов используем ф.(2.3.45) для эквивалентной мощности шума на детекторе:

PR,эфф = 2hν ν

Подставляя исходные данные, найдем число фотонов:

n = Pt / hν = 2 νt = 2 105 10 10−3 = 2 103 .

Задача 7.

Измерительное устройство состоит из 4 последовательно соединенных элементов с функциями преобразования f1 =2, f2 =3, f3 =2, f4 =3. Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =1%, δf2 =2%, δf3 =3%, δf4 =1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой.

Решение.

Применим ф.(3.1.9), полагая δ x = 0 :

δy = ∑δ fi

i=14

Подставляя исходные данные, найдем δ y = 7% .

Задача 8.

Измерительное устройство состоит из 4 параллельно соединенных элементов с функциями преобразования f1 =2, f2 =3, f3 =2, f4 =3. Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =1%, δf2 =2%, δf3 =3%, δf4 =1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой.

Решение.

Применим ф.(3.1.18), полагая δ x = 0 :

Подставляя исходные данные, найдем δ y =1, 7% .

Задача 9.

Измерительное устройство состоит из 2-х элементов, соединенных параллельно по схеме с отрицательной обратной связью. Функции преобразования элементов f1 =3 (прямая цепь), f2 =1(обратная цепь). Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =4%, δf2 =0,1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой.

Решение.

Применим ф.(3.1.28а), полагая δ x = 0 :

δ y = (δ f1 + f1 f2 signf2 δ f2 ) / Q .

Подставляя исходные данные, найдем δ y =1, 075% .

Задача 10.

При определении скорости звука в тонком стержне из аллюминия были получены следующие резуьлтаты: среднее

систематических ошибок, вызванных градиентом температуры в образце (θ1 ), непараллельностью торцов (θ2 ) и анизотропией

образца (θ3 ). Значения границы систематической ошибки для этих факторов составляют: θ1 = 2% , θ2 = 3% , θ3 = 3% . Требуется

оценить точность результата измерения с учетом случайных и систематических составляющих.

Решение.

Решим задачу двумя способами: используя понятие погрешности (ошибки) и понятие неопределенности. Будем считать, что случайные ошибки имеют нормальное распределение, а систематические – равномерное. Доверительную вероятность примем равной P=0,95.

1-й способ. Для решения используем формулы теории ошибок

определяемый как среднее взвешенное случайной и систематической, зависящий от доверительной вероятности. Имеем следующие соотношения:

доверительная вероятность. В нашем случае m=3, P=0,95. Значение коэффициента k1 зависит от вероятности и

определяется приближенно. В нашем случае оно равно k1 =1,1 (при P=0,95). Значение t2P определяется по таблице

распределения Стьюдента при P=0,95 и числе степеней свободы n −1. В нашем случае n −1 = 4 и t2P = 2,8 . Для остальных величин

расчеты дают: Sθ = 2,7% , t1P Sθ = 4,7% , tP = 2, 4 , SΣ = 4,04 . Доверительный интервал равен = 2, 4 4,04 = 9,7% .

2-й способ. Для решения используем формулы (1.1.2 –1.1.8). Расширенная неопределенность задается выражением: ua =k uS .

Подставляя исходные данные, найдем:

Неопределенность результата ua = 8,7% .

Таким образом, оценки первым и вторым способом получаются близкими. Расширенная неопределенность, характеризующая точность результата, меньше на 1%, чем доверительная ошибка. Отметим еще раз, что основное преимущество второго подхода в более ясной схеме сложения неопределенностей, имеющих разное происхождение. Сложение ошибок в первом подходе основано на прближенных полуэмпирических соотношениях, не имеющих строгого обоснования.