Приложения

вычисленными путем усреднения по времени в пределах одной реализации. Например, средние значения, полученные по формулам (1.1) – (1.3), можно определить в виде:

составляет содержание эргодической теоремы, которая выполняется, если удовлетворяется условие:

Условие (1.7) является достаточным, но не необходимым условием эргодичности. Например, на практике оно может нарушаться, когда процесс содержит периодические составляющие, однако и этом случае часто используют усреднение по времени, но эти средние могут не совпадать для различных реализаций.

На практике всегда стремятся иметь дело со стационарными процессами, так как их проще анализировать. Обеспечить стационарность можно поддерживая неизменными условия проведения эксперимента. Следует отметить, что предельные переходы в соотношениях (1.1)–(1.6) при измерениях практически не осуществимы, и мы всегда получаем оценки искомых средних, а не истинные значения. Поэтому очень важно контролировать ошибки, обусловленные конечностью объема выборки.

Ряды и преобразования Фурье. Разложение в ряд Фурье и преобразование Фурье имеют важное значение при анализе случайных процессов. Ряды используются как правило для описания периодических процессов, а преобразования Фурье – для непериодических.

Ряды Фурье. Пусть имеется периодический процесс x(t) с периодом T, для которого при любом t справедливо равенство:

Фундаментальная (базовая) частота ƒ1 определяется выражением:

Такой периодический процесс можно разложить в ряд Фурье:

где ƒk=kƒ1=k/T; k=1,2,3,….

Таким образом, процесс x(t) описывается суммой синусоид и косинусоид, частоты которых меняются дискретно с шагом ∆ƒ=ƒ1. Коэффициенты ak, bk в разложении определяются следующими выражениями:

где μx – среднее значение процесса x(t).

В выражениях (1.11) – (1.13) циклическую частоту ƒk можно заменить на круговую ωk=2πƒk, однако последняя имеет размерность рад/с, поэтому удобнее использовать циклическую частоту, выражаемую в герцах.

Полученные соотношения часто используют в альтернативной форме, получаемой после несложных преобразований:

Последний результат вытекает из формулы Эйлера:

координатах (а не в прямоугольных), и на каждой дискретной частоте ƒk она имеет модуль Xk и аргумент θk. Если функция x(t) действительная, то её ряд Фурье можно представить в комплексной форме. В частности для коэффициентов Ak имеем:

где * означает комплексное сопряжение.

Преобразование Фурье. Если реализация x(t) имеет непериодический характер (переходный процесс, стационарный случайный процесс), то рассмотренное выше представление в виде ряда Фурье можно обобщить, переходя к пределу Т→ ∞, что приводит к интегралу Фурье :

Функция X(ƒ), задаваемая выражением (1.19) называется прямым преобразованием Фурье (или спектром) функции x(t). В свою очередь, функция x(t) получается путем обратного преобразования Фурье функции X(ƒ) :

Выражения (1.19) и (1.21) называются парой преобразований Фурье. Следует отметить, что X(f) в общем случае является комплекснозначной функцией частоты, определенной на всей действительной оси, даже в том случае, когда x(t) –

действительная функция. Функция X(f) представима в виде суммы действительной и мнимой частей:

X R ( f ) = X ( f ) cosθ( f ) = ∞∫ x(t)cos 2π ft dt ,

−∞

X I ( f ) = X ( f ) sinθ( f ) = ∞∫ x(t)sin 2π ft dt .

−∞

Можно также ввести представление в полярных координатах:

где│X(ƒ)│– амплитудный спектр, а θ(ƒ) – фазовый спектр.

Финитное преобразование Фурье. В действительности реализация x(t) стационарного случайного процесса (ССП) наблюдается в течении конечного интервала времени Т, которое определяет финитное (конечное) преобразование Фурье:

При ограниченной длине реализаций ССП его финитное преобразование существует всегда, в то время как преобразование (1.19) может не существовать, если реализация ССП теоретически определена при всех значениях t, и, следовательно, выполняется равенство:

Из сравнения соотношений (1.15), (1.24) видно, что на дискретных частотах ƒk=k/T финитное преобразование Фурье связано с коэффициентами Ak ряда Фурье равенством:

Отсюда следует, что если ограничиться дискретным набором частот, то выполнение финитного преобразования Фурье (ФПФ) сводится к расчету коэффициентов ряда Фурье для функции, имеющей период Т. Такие расчеты выполняются на ЭВМ по известным процедурам.

Следует отметить, что, когда реализация x(t) представлена временным рядом с интервалом дискретности ∆t, длина реализации Т связана с объемом выборки равенством Т=N∆t, а

частота Найквиста ƒc=1/2∆t. Кроме того рассматриваемая реализация имеет периодический характер с периодом равным Т, так что базовая частота ряда Фурье ƒ1=1/Т, и разрешающая способность по частоте ∆ƒ=ƒ1. Непрерывная реализация x(t) заменяется временным рядом xn=x(n∆t), где n=1,2,…N, а непрерывное преобразование Фурье – дискретной последовательностью {Xk}={X(k∆ƒ)} k=1,2…,N. Отметим, что погрешность дискретизации в данном случае равна нулю, так как выполняется теорема Уиттекера [42]. Поскольку ƒс=(N/2)∆ƒ, то значения Xk при k>N/2 определяются по предшествующим значениям Xk. Пара преобразований Фурье определяется соотношениями:

Отсюда вытекают, в частности, приведенные выше равенства, справедливые для дискретных последовательностей {xn}:

Таким образом xn есть периодическая функция n по модулю N, а Xk –периодическая функция k по модулю N.

Дельта-функция. Рассмотрим прямоугольную функцию ƒ(t), симметричную относительно точки t=0, задаваемую уравнением:

Пусть теперь ширина функции ƒ(t) уменьшается, а высота растет так, чтобы сохранялась единичная площадь. Переходя к пределу α→0 получаем дельта-функцию:

В соответствии с уравнением (1.31) интеграл от δ(t) равен

где ε>0 – произвольная малая величина. Дельта-функция может занимать произвольное положение t0 на оси абсцисс, и введение масштабирующего множителя a дает интеграл от δ-функции, равный a:

t0 −ε

Свертка δ-функции с произвольной функцией x(t) имеет вид:

т.е. дает значение x(t) при t=t0. Это свойство дельта-функции можно использовать для нахождения значения x(t) при t=t0. Пара преобразований Фурье дельта-функции имеет вид:

Примеры преобразований Фурье. В таблице приведены некоторые пары преобразований Фурье, удовлетворяющие соотношениям (1.19) и (1.21).

Частотные характеристики систем. При анализе измерительной системы предполагается обычно, что она устойчива, имеет постоянные параметры и линейна. Динамические свойства такой системы описываются импульсной переходной функцией или весовой функцией, которая представляет собой реакцию системы на входной сигнал x(t) в виде дельта-функции, т.е.

причем отсчет времени t начинается с момента подачи на вход системы дельта-функции. В общем случае реакция y(t) системы

на произвольный входной процесс x(t) определяется интегралом свертки (интеграл Дюамеля):

т.е. реакция системы y(t) есть взвешенная линейная сумма всех прошлых и будущих значений входного процесса x(t), где роль весов выполняют значения весовой функции в различные моменты времени.

Так как реальная система реагирует на возмущение только когда оно поступило на вход системы, то имеет место равенство:

Следовательно, нижний предел интегрирования в интеграле свертки равен нулю. Постоянство параметров системы означает, что её весовая функция не зависит от момента поступления сигнала на вход системы, т.е. выполняется соотношение:

Устойчивость системы означает, что если сигнал на входе ограничен, то и выходной сигнал также является ограниченным. Это условие выполняется, если справедливо соотношение:

Наконец, линейность системы означает, что весовая функция h(τ) не зависит от процесса на входе x(t):

0

В частности, для линейной системы случайный входной процесс с гауссовским распределением порождает гауссовский процесс на выходе. В реальных ситуациях, например, при резком изменении входного сигнала или при исследовании разрушений конструкций под действием случайных нагрузок, линейность не выполняется. Однако если изучаемый объект не является сильно нелинейным, то можно использовать линейное приближение.

Динамические свойства изучаемых объектов принято описывать не самой весовой функцией h(τ), а некоторым ее линейным преобразованием, вид которого зависит от конкретной задачи. Наиболее удобно для идеальной системы, обладающей

перечисленными выше свойствами, пользоваться преобразованиями Фурье, которые позволяют непосредственно описывать динамические характеристики системы в некоторой частотной области. Преобразования Фурье весовой функции h(τ), удовлетворяющей условию h(τ)=0 при τ<0, имеет вид:

и называется комплексной частотной характеристикой системы. В общем случае её можно представить в виде:

где HR и HI – действительная и мнимая части функции H(f) соответственно, определяемые из соотношений:

HR ( f ) = ∞∫h(τ)cos 2π f τ dτ ,

На практике часто используют полярную форму записи для частотной характеристики Н(ƒ):

где │Н(ƒ)│ – модуль, называемый амплитудной характеристикой, а φ(ƒ) – аргумент, называемый фазовой характеристикой:

H ( f ) =[HR2 ( f ) + HI2 ( f )]1/ 2 ,

Частотная характеристика удобна для описания динамических свойств измерительной системы, на вход которой подается гармоническое колебание с частотой ƒ. В этом случае сигнал на выходе будет также гармоническим с частотой ƒ, но имеющим другую амплитуду и сдвиг по фазе относительно входного сигнала, а именно:

При подаче на вход системы единичного скачка (функции Хевисайда) наиболее удобно описывать динамические свойства передаточной функцией, которая представляет собой преобразование Лапласа весовой функции:

0

Положив a=0 и b=2πƒ получим, что на мнимой оси W(j2πƒ)=H(ƒ), т.е. передаточная функция из соотношения (1.50) совпадает с частотной характеристикой, определяемой соотношением (1.45). Если a≠0, то функции H(ƒ) и W(p) различаются.

Модели объектов. Достаточно общей моделью является модель вида:

В этой модели результат измерения представляет собой сумму детерминированной последовательности {ƒ(t)}, которую можно назвать систематической составляющей и случайной последовательности {ut}, подчиняющейся некоторому вероятностному закону (их часто называют сигнал и шум). Эти компоненты не наблюдаются по отдельности. При повторении эксперимента функция ƒ(t) должна оставаться одной и той же, а случайные составляющие представляются как различные реализации случайного процесса. Случайные составляющие включают и ошибки измерений, причем ƒ(t)=E[y(t)]. Можно выделить два типа временных последовательностей ƒ(t), часто называемых трендом. Один тип представляет медленно меняющиеся функции времени, например, в виде полиномов достаточно низкой степени. К другому типу принадлежат циклические последовательности, например, конечные отрезки ряда Фурье в виде αcosωt+βsinωt (0<ω<π) или в виде ρcos(ωt–φ) с периодом 2π/ω. В этом случае последовательные значения y(t) разбросаны случайным образом относительно кривой y=ƒ(t). Если даже кривая известна и известен закон распределения ошибки, то информация о значениях y1,..,yt–1 не позволит предсказать значение y(t). Такая модель используется, например, в

астрономии, где ƒ(t) описывает пространственное положение (по одной из координат) планеты в момент времени t, а ошибка телескопа никак не влияет на положение планеты. В случае маятника, совершающего свободные колебания, его смещение описывается функцией ρcos(ωt–φ).

Одной из общих моделей, в которой влияние временного параметра проявляется в случайной составляющей, является как уже отмечалось, стационарный случайный процесс. Для его аппроксимации часто используется процесс авторегрессии.

Пусть y1 имеет известное распределение с нулевым средним, а y1 и y2 имеют совместное распределение совпадающее с совместным распределением случайных величин y1 и ρy1 +u2 , где u2 не зависит от y1 и имеет нулевое математическое ожидание. Совместное распределение y1, y2 ,…, yt–1, yt для t=3,4,… будем полагать в свою очередь таким же, как совместное распределение

y1, y2 ,…, yt–1, ρyt–1+ ut , причем величина ut не зависит от y1,…, yt–1, и имеет нулевое математическое ожидание. Тогда

последовательность {yt} образует стационарный случайный процесс, а именно процесс авторегрессии:

Уравнение (1.52) является стохастическим разностным уравнением первого порядка. В такой модели ut оказывает влияние на yt и на все последующие yr (r>t). Условное математическое ожидание yt при заданных значениях y1,…,yt–1 удовлетворяет равенству

зависит от y1, y2 ,…,yt–1, t=3,4,…. Переменная yt может описывать смещение колеблющегося маятника, который подвержен случайным ударным воздействиям ut. Тогда ряд близок к тригонометрической функции ρcos(ωt–φ) с переменной амплитудой, переменной частотой и переменной фазой. Процесс авторегрессии четвертого порядка (АР4), порожденный моделью:

s=1

будет походить уже на сумму двух тригонометрических функций с изменяющимися амплитудами, частотами и фазами. Стационарный случайный процесс общего вида можно аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка:

j=1

где Aj и Bj – независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и E[Aj2]=E[Bj2]=φ(ωj).

Вклад тригонометрической функции с частотой ωj/2π в среднем пропорционален математическому ожиданию квадрата ее амплитуды, т.е. 2φ(ωj). Поэтому стационарный случайный процесс можно характеризовать спектральной плотностью S(ω), т.е. такой функцией, для которой:

Характерное свойство ССП состоит в том, что ковариация Е[(yt– E[yt])(ys-E[ys])] зависит только от разности │t–s│и ее можно обозначить как σ(t–s).

Таким образом ковариационная последовательность и спектральная плотность (если она существует) являются двумя альтернативными формами описания структуры моментов второго порядка ССП. Ковариационная последовательность более удобна и информативна, когда большее значение имеет временной характер последовательности (например, в экономических задачах). Спектральная плотность более подходит для других типов анализа, например, при описании физических явлений (в частности, для анализа звука).

Вопросы этого раздела рассмотрены, например, в [5,7,8,14,21].