3.3. Оптимизация динамических характеристик СИ

Рассмотрим СИ с передаточной функцией W (р), которая определяется как отношение преобразований Лапласа выходного сигнала y (t) к входному x (t):

W ( p) = L[[y(t)]] (3.3.1)

L x(t)

Для большого класса СИ передаточная функция может быть представлена в виде отношения полиномов:

j =0

где m ≤ n .

На практике для определения передаточной функции используют в зависимости от вида входного контрольного сигнала переходную функцию, импульсную (весовую) функцию или комплексную частотную характеристику. Наиболее просто передаточная функция определяется через весовую. Весовая функция w(t) линейной системы при условии некоррелированности внутренних возмущений с входными сигналами СИ определяется интегральным уравнением ВинераХопфа:

где Rxx (t −τ) - ковариационная функция входного сигнала x (t); Rxy (τ) - взаимная ковариационная функция входного и выходного

определении w(t). Отметим, что среднеквадратичное отклонение весовой функции, найденной из уравнения (3.3.3), от действительной весовой функции может быть незначительным, но эта функция не имеет физического смысла. Поэтому интерес представляют только гладкие решения уравнения (3.3.3). Чтобы это показать, применим к уравнению Винера-Хопфа преобразование Фурье, и получим следующее соотношение:

помехи на выходе СИ. Выразим Rij через спектральную плотность:

где Hi ( jω) - КЧХ фильтра с весовой функцией ϕi (t) ; S xx (ω) - спектральная плотность входного сигнала x(t) . Достаточное условие существования решения системы уравнений (3.3.17) имеет вид:

Из определения Rij (3.3.15) следует, что для выходных сигналов

фильтров базисной системы функций должны выполняться условия ортонормировки, причем по (3.3.17) ортонормированность может быть обеспечена лишь совместным

Сравнивая (3.3.19б) и (3.3.17) можно сделать вывод, что условие (3.3.18) имеет место, если спектральная плотность входного сигнала x(t) постоянна, т.е. если:

Это означает, что входным сигналом должен быть белый шум; тогда матрица Rij является единичной при ортогональной системе

базисных функций. Корреляционная функция белого шума представляет собой δ - функцию. Если ее подставить в уравнение Винера-Хопфа вместо Rxx (τ) , то получим:

Поэтому из экспериментальных данных нужно определить только Rxy (τ) . Таким образом, для решения задачи определения

w(t) следует выбрать систему базисных функций. Этот выбор зависит от вида передаточной функции. Для передаточной

весовую функцию можно записать в следующей форме (см. Приложение 3):

Сравнивая (3.3.23) с (3.3.9) можно заметить, что система функций должна иметь следующий вид:

Этому условию удовлетворяют функции Лагерра, которые во временной области и через изображение по Лапласу определяются следующим образом:

Таким образом, при определении динамических характеристик СИ путем аппроксимации весовой функции линейной комбинацией базисных функций, решение ищется из соотношения (3.3.9), которое при использовании функций Лагерра принимает вид:

i =0

Параметры ci определяются из решения системы уравнений

(3.3.16), матрица которой образована коэффициентами корреляции сигналов на выходах фильтра Лагерра и сигнала на выходе СИ. В качестве входного сигнала целесообразно использовать белый шум.

После того как определена передаточная функция СИ, его параметры могут быть найдены из условия минимума динамической погрешности. Погрешность передаточной функции СИ равна:

где W(p) – реальная передаточная функция; W(0) – идеальная передаточная функция (в установившемся режиме).

При малых p (для медленных процессов) можно разложить функцию W ( p) в ряд Тейлора в окрестности p=0:

где W ′, W ′′ и т.д. – частные производные W(p) по p. Для передаточной функции (3.3.2) производные равны:

и т.д.

Параметры a0 , a1 , b1 , b2 , a2 выражаются через параметры СИ. Условие минимума динамической погрешности: ∂ΔW/∂p=0 Из

и т.д. Число уравнений в системе (3.3.31) равно числу независимых параметров.

Решение системы уравнений (3.3.31) позволяет найти параметры СИ, минимизирующие динамическую погрешность. Рассмотрим примеры:

Пример 1. Пусть имеется система 1-го порядка, т.е. описываемая дифференциальным уравнением 1-го порядка. Ее переходная функция имеет вид:

Весовая функция системы определяется как производная по времени от переходной функции:

Весовая функция связана с передаточной W(p) через обратное преобразование Лапласа (см. Приложение 3):

где j = −1 ,σ = const .

Подставляя в (3.3.34б) выражение для w(t), найдем:

т.е. в нашем примере b0 = K ; a0 =1; a1 =T. Для W ′(0) из соотношения (3.3.30) получаем:

W ′(0) = −KT = 0 ,

т.е. T=0, и из (3.3.32) h(t) = K = h(∞) . Таким образом, получаем очевидный результат: для системы первого порядка динамическая погрешность равна нулю в установившемся режиме.

Пример 2. Рассмотрим систему 2-го порядка с переходной функцией вида:

Действуя аналогично предыдущему примеру, получим:

Производные обращаются в нуль при α 2 =ω2 , где α - показатель затухания колебаний, ω - собственная частота демпфированных

соответствует нулевое значение максимальной ширины полосы пропускания измерительной системы. Другое физически

может принимать и положительные, и отрицательные значения, то имеем два уравнения для определения двух параметров системы τ и ϕ .

Физически осмысленное решение τ =π . Подставляя это значение

Подставив это выражение для ϕ в (3.3.41), получим соотношение между τ и :

Выражения в правой и левой частях взяты по модулю. Задавая значения динамической погрешности, можно определить соответствующие значения длительности переходного процесса. Решения находятся приближенно численными методами. Результаты расчетов для наиболее характерных значений погрешности представлены ниже, в таблице 1.

Таблица 1 Значения безразмерной минимальной длительности τ переходного процесса для системы 2-го порядка при ступенчатом воздействии.

одного примера рассмотрим задачу максимизации ширины полосы пропускания в системе 2-го порядка.

Пример 4. Пусть входной сигнал является гармоническим, тогда полной динамической характеристикой является комплексная частотная характеристика (КЧХ), состоящая из амплитудной и фазовой составляющих. Амплитудная характеристика имеет вид:

Вводя безразмерные параметры: γ =νω0 - относительная частота вынужденных колебаний и ϕ0 = αω0 - степень успокоения, можно выражение (3.3.46) привести к виду:

Вводя обозначения x=γ2, y=ϕ02, представим (3.3.48) в виде:

Проанализируем первое неравенство, рассматривая левую часть как квадратичный полином относительно x. Полином не положителен в промежутке между двумя корнями:

Следовательно, подкоренное выражение должно быть не отрицательно, что имеет место при любом y, так как подкоренное выражение является суммой неотрицательных величин. Для y получаем очевидное соотношение (при =0)

Физический интерес представляет предельный случай, когда y=ϕ02=1/2 и x=0.

Проанализируем второе из неравенств (3.3.49). Аналогично для корней полинома можно записать

Так как нас интересуют действительные корни, то подкоренное выражение должно быть не отрицательно, что дает

Подставляя полученное выражение для y=ϕ02 в соотношение

(3.3.50), имеем для x

Из последнего выражения получаем физически осмысленное решение для γ=x1/2:

(предельные) значения параметров γ , ϕ0 , соответствующие

заданному значению динамической погрешности . В табл. 2 приведены результаты расчетов γ и ϕ0 при различных значениях

.

Таблица 2 Максимальная ширина полосы пропускания для системы 2-го порядка при гармоническом воздействии.

Переход к физической ширине полосы пропускания осуществляется из соотношения νmax =γ maxω0 .

Вопросы, изложенные в данной главе, рассмотрены в [5-10, 14, 21, 24, 29-32, 34, 39, 41, 42, 45, 46].