1.3. Погрешность функционирования средств измерений

Общая классификация погрешностей (мы так же будем использовать термин «ошибка», как эквивалентный понятию погрешность) подробно рассмотрена в литературе [1–3, 26, 42]. Так, по способу представления погрешности делятся на абсолютные, относительные и приведенные, по зависимости от измеряемой величины различают аддитивные, мультипликативные и нелинейные погрешности (погрешности нелинейных искажений); по закономерности изменения погрешности делятся на систематические и случайные; по условиям появления – на статические и динамические; в зависимости от условий эксплуатации средств измерений (СИ) – на основные и дополнительные; по причинам появления – на методические и инструментальные. С точки зрения проектирования и функционирования СИ наиболее информативным является разделение погрешностей на методические и инструментальные, так как анализ их составляющих позволяет оценить погрешность результата измерения прибором определенного типа. Рассмотрим их для нескольких типов СИ.

Аналоговые средства измерений (АСИ). Основной погрешностью АСИ является погрешность преобразования, обусловленная отклонением реальной функции преобразования от идеальной (номинальной) и зависящая от погрешности входной величины и условий измерений. Если погрешность

где f0 – оператор, соответствующий идеальной (номинальной) функции преобразования, а f – реальной; gx= g(x).

Оператор f может быть составным, т.е. включать несколько разнотипных преобразований: f= f1 f2 f3….Обычно стремятся, чтобы функция (оператор) преобразования не зависела от входного сигнала в определенном диапазоне:

В общем случае функцию gx можно разложить в степенной ряд и выделить составляющие погрешности преобразования:

мультипликативная погрешность, а следующие члены разложения дают нелинейную погрешность. Для аналоговых СИ с диапазоном измерения D погрешность преобразования изменяется в пределах:

где f x≡f(x+ x)–f(x). Расчет этой погрешности требует знания структурной схемы СИ и будет рассмотрен в §3.1.

Цифровые средства измерений (ЦСИ). Основная погрешность ЦСИ состоит из следующих составляющих: погрешность дискретизации, погрешность квантования, погрешность реализации уровней квантования, погрешность, обусловленная порогом чувствительности, погрешность от действия помехи (погрешность входного сигнала). Первые две составляющие являются методическими, остальные – инструментальными. Рассмотрим наиболее характерные для ЦСИ погрешности: дискретизации и квантования. Погрешность дискретизации связана с тем, что непрерывный сигнал измеряется в фиксированные моменты времени. Согласно теореме Уиттекера (в русской литературе – теорема Котельникова) эта погрешность минимальна, если измерение проводить в интервалах времени t=1/2fmax , где fmax – верхний

предел частотного спектра входного сигнала. Пусть входной сигнал является плавной функцией времени, тогда погрешность дискретизации может быть определена из следующих соображений. Проведем разложение входного сигнала в ряд Тейлора вблизи некоторой фиксированной точки t0:

При измерении через конечный интервал времени t значение функции в момент t находится через среднее значение xср в интервале t, т.е. определяется первыми двумя слагаемыми в разложении (1.3.7). Таким образом, погрешность дискретизации определяется членами, квадратичными по t и более высокого порядка. Имеем:

Временной интервал измерения находится из условия, чтобы дискр не превышало погрешности реализации уровней

Следует иметь в виду, что выбор интервала дискретизации влияет на динамическую погрешность СИ и искажение сигнала.

Рассмотрим погрешность квантования. При переходе от аналогового к цифровому представлению входная величина x преобразуется в дискретную величину y:

может соотноситься с ближайшим уровнем, с ближайшим меньшим или ближайшим большим. Соответственно

погрешность квантования является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [–k/2...k/2], [0...k] или [– k...0], где k –величина интервала квантования. Отсюда следует, что математическое ожидание этой погрешности равно 0:

квантования оказывается распределенной по треугольному закону, так как она равна сумме двух случайных величин, равномерно распределенных в интервале [–k...0] и [0...k] соответственно. Поэтому ее математическое ожидание и дисперсия равны:

т.е. дисперсия возрастает в два раза по сравнению со случаем фиксированного начала шкалы. Так как математическое ожидание этой погрешности равно нулю, то она может быть исключена усреднением при проведении многократных измерений.

Интеллектуальные средства измерений (ИнСИ). К ним относятся интеллектуальные датчики (сенсоры), интеллектуальные регистраторы, компьютерные измерительные системы, а также измерительные системы на нейронных сетях и виртуальные средства измерений. Все эти средства измерений используют знания, поэтому основная погрешность их функционирования определяется качеством используемых знаний – методов и алгоритмов, представленных в базе знаний. Наиболее характерными являются методические составляющие погрешности функционирования, а именно, ошибка обусловленная неадекватностью моделей над, ошибка, обусловленная конечностью объема выборки (объема исходных данных) ков и ошибка, возникающая из-за не идеальности выполняемых преобразований нид.

Ошибка неадекватности определяется соотношением:

где θ( y) – характеристика погрешности (дисперсия, доверительный интервал, максимальное значение и т.д.); yj; Ayj

– оценка погрешности, найденная по реальной и адекватной моделям, соответственно; f0 – идеальный оператор преобразования; N – объём выборки; черта сверху означает усреднение по числу измерений j = 1,…, N.

Ошибка из-за конечности объема выборки:

Ошибка из-за не идеальности преобразования:

где f и f0 – оператор реального и идеального преобразований соответственно.

При практических расчетах следует учитывать, что объем выборки, необходимый для получения несмещенной оценки результата измерения, зависит от вида закона распределения экспериментальных данных. Например, в случае нормального закона распределения и близких к нему распределений Стьюдента, Пирсона, Фишера значение N=25...30 можно считать бесконечно большим. Ошибка считается значимой, если ее

значение больше половины погрешности определения:

>0,5S , (1.3.20)

т.е. если относительная ошибка определения погрешности δ >0,5; где S – погрешность определения соответствующей ошибки.

Рассмотрим пример. Пусть случайная величина y имеет нормальное распределение, которое аппроксимируется равномерным распределением. Требуется оценить доверительный интервал результата измерения. Для равномерного распределения дисперсия равна:

D[y] = (ymax − ymin )2 , (1.3.21) 12

для нормального распределения:

Доверительный интервал для равномерного распределения при вероятности P=0,99:

где t – квантиль распределения Стьюдента, зависящий от P и N. При N→ ∞: t0,99=2,58. Расчеты показывают (см [42], c. 91), что

удорожает эксперимент, и кроме того всегда имеется систематическая погрешность, ограничивающая объем выборки (см [40, 42]). Предположим, что N выбрано достаточно большим

Отметим, что эта ошибка систематическая и на нее можно ввести поправку. Значимость расхождения дисперсий и доверительных интервалов можно определить, используя распределение Фишера [40, 42, 45].

Оценим ошибку из-за конечности объема выборки. В нашем

где N – реальный объем выборки: N<No.

При использовании только нормального распределения без

где, например, при P=0,99 и N=5: t=4,60; при N=10: t=3,25; при N=20: t=2,86.

причем параметры a0, а1, а0′ определены из экспериментальных

данных при достаточно большом объеме выборки N. Тогда погрешность не идеальности преобразования при определении доверительного интервала дается выражением:

Положим P=0,99, а N→∞; тогда tP,N=2,58. Доверительные

Следует также учесть, что имеется погрешность преобразования, которую мы здесь не рассматриваем:

Эта погрешность в нашем примере наиболее значительна на концах диапазона измерений и мала в середине диапазона.

Системы на нейронных сетях. Нейронная сеть предназначена для решения задач классификации по многим критериям, и так как измерение является типичной задачей классификации, в которой роль представителей классов выполняют эталоны, то построение измерительных систем на нейронных сетях является оправданным и разумным. Такие системы особенно эффективны при определении интегральных свойств (оценка качества, диагностирование), когда измерения проводятся в порядковой шкале. Отдельный нейрон представляет собой устройство, состоящее из последовательного соединения сумматора n→1 (много входов – один выход), преобразователя сигнала и точки ветвления. Сумматор вычисляет линейную функцию входов:

пороговое устройство с функцией преобразования f, активизируемой при поступлении сигнала, превышающего некоторый уровень. Наиболее часто используют модели персептрона с линейной, ступенчатой и сигмоидальной функциями. Функция преобразования считается монотонной неубывающей и |f|<1. Линейная функция имеет вид: fл(x)=kx при 0≤x<x0, иначе f(x)=0 при x<0 и f(x)=1 при x≥x0. Ступенчатая функция (функция Хевисайда) имеет вид: fс(x)=1 при х≥x0 + ε ; ε → 0, иначе fc(x)=0 при х≤x0 – ε ; ε → 0. Сигмоидальная функция имеет вид: fs(x)= 1/(1+exp(–kx)), k>0.Чувствительность персептрона S определяется производной dy/dx. Она постоянна для линейной модели, имеет вид δ-функции (дельта-функции) для ступенчатой модели: S=δ(x–x0); для сигмоидальной функции чувствительность дается выражением: S = kfs(1–fs), т.е. она равна 0 при fs=0;1 (на границе диапазона) и максимальна в середине диапазона при fs=1/2: S=0,25k.

На рис.2 представлена схема нейрона, состоящего из сумматора Σ, преобразователя f и точки ветвления ω.

Для решения задач классификации (измерения) обычно используют нейронную сеть, которая представляет собой последовательное соединение трех слоев, каждый из которых образован параллельным соединением нескольких нейронов (число нейронов в каждом слое может варьироваться), причем выход каждого нейрона предыдущего слоя связан со входами всех нейронов последующего слоя. При объединении нейронов в слой возможны два варианта:

а) функция преобразования f(x)=const, весовые коэффициенты межнейронных связей выполняют роль подстраиваемых параметров;

б) при фиксированных весовых коэффициентах ai=const варьируются функции преобразования f(x), задающие порог.

Таким образом, на выходе нейронной сети (рис.3) имеем q выходных сигналов (q классов), полученных трехкратным взвешенным усреднением исходных данных, причем весовые коэффициенты, а также число нейронов в скрытом слое могут варьироваться для получения наилучшего совпадения с известными результатами при тестировании системы и самообучении. Структура соединения нейронов в нейронной сети (топология сети) также может варьироваться и быть как односвязной, так и многосвязной, что позволяет решать широкий класс задач оптимального выбора.

Так как измерительные системы на нейронных сетях относятся к классу интеллектуальных СИ, то для них характерны рассмотренные выше ошибки: ошибка не идеальности преобразований; ошибка неадекватности модели и ошибка из-за конечности объема выборки. Не идеальность преобразований обусловлена отличием реальной функции преобразования (1.3.35) от идеальной при отсутствии помех; неадекватность модели связана с отличием реальной модели персептрона от сигмоидальной, а также отклонением модели коммутации от линейной. Поскольку для тестирования нейронной сети требуется большой объем исходных данных (по сравнению с обычным СИ), то возрастает удельный вес ошибки из-за конечности объема выборки. Общее соотношение для погрешности преобразования нейронной сети с учетом погрешности входного сигнала может быть получено на основе анализа ее структурной схемы (см. §3.1).

Вопросы, изложенные в этой главе, рассмотрены в [1–4, 16, 17, 22, 26, 27, 35, 40, 42, 43, 44, 49].

2. Естественные пределы измерений 2.1. Область субъективных измерений

Развитие техники измерений позволило создать такие измерительные установки, которые, с одной стороны, все меньше ограничены возможностями человеческих органов чувств, а с другой - являются оптимальными в эргономическом

отношении. Область применения субъективных измерений в настоящее время значительно сузилась. Например, редко используется слух для измерений в акустике за исключением нескольких задач: обнаружение сигнала на фоне помех (звуковая индикация), оценка качества звучания музыкальных инструментов, оценка звукового качества помещений. Обоняние используется при оценке и экспертизе продукции в медицинской, парфюмерной и пищевой промышленности. Вкус используется в органолептических измерениях (дегустация и оценка качества пищевой продукции). Однако зрение все еще играет важную роль в измерениях, позволяя считывать показания аналоговых приборов и выполнять целый ряд оптических наблюдений. Человеческий глаз пока превосходит по чувствительности многие другие оптические детекторы. Наиболее велика чувствительность у глаза, адаптированного к темноте (для этого наблюдатель должен пробыть в темном помещении, по меньшей мере, 30 мин). Максимальная чувствительность глаза приходится на длину волны 507 нм. Минимальная порция энергии, которую воспринимает глаз при этой длине волны, равна 2·10-18 Дж, что соответствует примерно пяти квантам света, которые должны попасть на одно и то же место сетчатки за одну миллисекунду. Эквивалентный по чувствительности фотокатод должен обладать квантовым выходом около 20 %. Столь высокий квантовый выход имеют только самые лучшие приборы. Относительная спектральная чувствительность глаза, а значит, и световое ощущение, возникающее при одном и том же излучении, сильно различается у разных людей и зависит от силы света. Поэтому был принят международный стандарт, который определяет идеализированную кривую спектральной чувствительности для усредненного наблюдателя. Эта кривая спектральной чувствительности V(λ) стандартизована для зрения, адаптированного к темноте и к свету. Обе функции V(λ) нормированы в максимуме на 1. Они приведены на рис. 4:

Рис. 4. Спектральная чувствительность V(λ) человеческого глаза, адаптированного к свету (1) и темноте (2).

Для дневного зрения этот максимум приходится на длину волны примерно λ = 555 нм. Для глаза, привыкшего к темноте, спектральная кривая чувствительности смещена в сторону более коротких длин волн, а ее форма немного отличается от кривой V(λ) для дневного зрения. Наименьший угол зрения, под которым можно уверенно наблюдать мелкие объекты при хорошем контрасте изображения, зависит от структуры сетчатки глаза и составляет примерно 2,9·10-4 рад (1 угловая минута).

2.2. Принцип неопределенности Гейзенберга и ограничения на точность измерений

системы. Утверждается, что отдельная величина может быть определена в принципе с любой степенью точности, однако две величины, квантово-механические операторы которых не коммутируют, нельзя одновременно определить сколь угодно точно. Это ограничение имеет принципиальный характер. Его причины подробно обсуждаются в учебниках квантовой механики (см.,

например, [37]). При измерениях в микроскопических масштабах даже самая совершенная и точная аппаратура будет давать результаты, которые имеют принципиально статистическую природу. Повторение измерений в одних и тех же условиях будет давать разные значения измеряемой величины, причем каждое значение будет появляться с той или иной вероятностью, зависящей от способа измерения. Сам процесс измерения возмущает физическую систему таким образом, что одновременно определить две сопряженные переменные можно лишь с конечной точностью, которая задается соответствующим соотношением неопределенностей. Мерой разброса результатов измерений является среднеквадратичное отклонение σx получаемого распределения. В таком смысле эту величину называют «неопределенностью ». Таким образом, неопределенность координаты равна:

Соотношение неопределенностей для координаты и сопряженной ей переменной − компоненты импульса pх − имеет вид:

выражение (2.2.2) при макроскопических измерениях заведомо

течение которого измеряется энергия. Если применить соотношение неопределенностей между энергией и временем к спонтанному распаду в системах, находящихся в квазистационарных состояниях, то экспоненциальное распределение измеренных времен распада даст величину

В этом случае неопределенность энергии квазистационарного состояния равна:

E ≥ h/ 2τ . (2.2.5)

Для квазистационарных состояний с ΔΕ<<Е выражение (2.2.5) переходит в приближенное равенство. В этом случае можно ввести еще одну, часто используемую величину − ширину уровня Г=2 Ε. Тогда выражение (2.2.5) приобретает вид:

В этой форме соотношение неопределенностей играет большую роль в атомной и ядерной физике. Пусть при распаде испускается квант с энергией hω , а конечная ширина уровня описывается спектральным распределением интенсивности электромагнитных волн p(ω). Тогда если обозначить символом γ «профиль

Профиль спектральной линии описывается распределением Лоренца (Коши):

Из (2.2.8) видно, что γ − это ширина линии на половине ее высоты; она называется естественной шириной линии. При переходах между двумя состояниями с энергетической шириной Γ1 и Γ2 спектральная ширина линии равна:

Таким образом, уравнение (2.2.7) описывает фундаментальное свойство волн: оно связывает между собой конечную продолжительность ограниченного волнового пакета с его спектральной шириной. Применяя преобразования Фурье, получим для бездисперсионных волн соотношение:

где K – постоянная порядка единицы. Точное значение K зависит от конкретной формы волнового пакета.

Применим соотношение (2.2.3) к монохроматическим электромагнитным волнам. Для полного описания волны нужно

колебаний на точность измерений является брауновское движение.

Влияние брауновского движения на показания гальванометра. Зеркальный гальванометр является высокочувствительным инструментом, позволяющим измерять очень малые токи, поскольку его выносная шкала может располагаться на большом расстоянии от подвижной части механизма. Положение светового пятна на шкале легко фиксируется наблюдателем. Поскольку механическая часть такого гальванометра находится на воздухе, то молекулы газа окружающей атмосферы бомбардируют в результате своего теплового (брауновского) движения подвижные части гальванометра и вызывают случайные колебания зеркала. Однако усредненный по времени вращающий момент таких воздействий равен нулю. Если гальванометр находится в термическом равновесии с окружающим воздухом, то для подвижной системы с одной степенью свободы выполняется известный из статистической механики закон равнораспределения энергии по степеням свободы: Средняя потенциальная энергия равна:

где k − постоянная Больцмана; D − момент инерции

Таким образом, электрический ток можно уверенно зафиксировать только в том случае, если вызванное им отклонение гальванометра превышает эти термические флуктуации. Следовательно, минимальная сила тока, которую можно измерить с помощью данного гальванометра, определяется как ток Iмин, вызывающий отклонение на угол, равный корню из среднего квадрата флуктуационных отклонений. Пользуясь соотношением:

для гальванометра (G − динамическая константа гальванометра), получим:

потерь, соединенный с волновыми сопротивлениями Z0.

Разложим напряжение шума на фурье-компоненты. Каждая

полностью поглощается на другом конце. Таким образом, каждый из концов проводника служит для приходящих к нему электромагнитных волн некоторым подобием черного тела. На основе второго начала термодинамики можно прийти к выводу, что средние мощности теплового шума Pν ν для волн, испускаемых источниками в интервале частот ν, равны и одинаково зависят от температуры. Тогда общая энергия волн в

Если теперь накоротко соединить оба конца проводника, то при отсутствии потерь энергия электромагнитных волн будет оставаться постоянной. Это справедливо, в частности, для собственных колебаний в проводнике в интервале частот ν. Геометрические условия для стоячих волн определяют набор частот ν:

С другой стороны, в условиях термодинамического равновесия среднее число фотонов N в данном состоянии подчиняется распределению Бозе–Эйнштейна:

поэтому энергия в проводнике, приходящаяся на интервал частот, равна:

Если усреднить по времени квадрат тока, то мы получим.

Теорема Кемпбелла позволяет выразить среднее значение статистически независимой последовательности импульсов через соответствующие средние величины для отдельного импульса. Если z -средняя скорость следования импульсов (число импульсов в секунду), то:

tk

С учетом выражения (2.3.20) для диода это дает:

Чем короче длительность импульса, тем выше средний квадрат флуктуации. На практике это выражение не имеет большого значения, так как для его проверки нужно проводить измерения с достаточно большим разрешением по времени или для всего спектра шумовых токов. Выразим величину тока с помощью его амплитудного спектра. Для отдельного импульса справедливо преобразование Фурье:

позволяет выразить средний квадрат флуктуации через интеграл по квадрату амплитудного спектра:

меняется сравнительно медленно, поэтому соответствующий шум в основном заметен в области низких частот. Мощность фликкер-шума понижается пропорционально 1/ν. Флуктуации возрастают почти линейно с увеличением тока, так что эффективная величина тока IF,эфф для фликкер-шума равна:

Такая же зависимость часто наблюдается на низких частотах при переносе заряда в полупроводниках. Во всех подобных ситуациях принято говорить о 1/f-шуме или фликкер-шуме. (В технической литературе частота ν обозначается обычно как f ).

Генерационно-рекомбинационный шум. В полупроводниках возникает специфический вариант дробового шума – генерационно-рекомбинационный шум. Его часто называют токовым шумом. Принципиальное отличие полупроводников от вакуумного диода с этой точки зрения состоит в том, что среднее время жизни носителей заряда (электронов и дырок) в полупроводниках, как правило, очень мало по сравнению с временем, необходимым для переноса носителя заряда от одного конца образца до другого. Поэтому дробовой шум в полупроводниках определяется скоростями генерации и рекомбинации носителей заряда. Частотные спектры шума для различных процессов генерации и рекомбинации носителей в полупроводниках описываются однотипными выражениями:

Ниже пороговой частоты мощность шума не зависит от ν (белый шум), а выше νg она падает как 1/ν2 . Пороговая частота νg определяется средним временем жизни τ носителей заряда (νg=1/2πτ). Такая же спектральная зависимость получается, если пропустить белый шум через RC-цепочку (см. выражение

(2.3.17)).

Квантовый шум. Если дискретная природа носителей заряда вызывает дробовой шум, то квантование электромагнитного излучения тоже приводит к флуктуациям потока фотонов. Пусть имеется идеальный детектор с квантовым выходом η=1

Если считать, что в нашем идеальном детекторе не возникают собственные шумы, то независимо от постоянной мощности падающего излучения P0 эквивалентная мощность шума PR,эфф на детекторе составляет:

Это выражение описывает случай непосредственного приема сигнала. В случае гетеродинного приема шумы уменьшаются вдвое, а при гомодинном приеме – даже вчетверо [36]. В отличие от теплового шума, уровень которого понижается при высоких частотах, квантовый шум линейно возрастает с частотой. В области hv/kT>>1 он начинает преобладать над тепловым шумом. При комнатной температуре это соответствует оптической и инфракрасной областям спектра. Для описания шумов вводят так называемую шумовую температуру TR.. При этой температуре мощность теплового шума в проводнике равна мощности квантового шума. Приравнивая выражения (2.3.10) и (2.3.45), получим в явном виде формулу для TR :

Рассмотрим пример. В оптической области квантовый шум при λ=500 нм соответствует шумовой температуре TR=70 000 К.

Минимальная мощность излучения, которую еще можно зарегистрировать, должна соответствовать S/N=1. Иными словами, для непосредственного приёма с помощью идеального детектора справедливо соотношение:

Эта мощность всего вдвое превышает предел, который получается из соотношения неопределенностей [12]. Уравнение (2.3.47) означает, что за время t≈1/2 ν должен быть зарегистрирован в среднем один фотон. В радио- и микроволновом диапазонах когерентное излучение получают с помощью специальных передатчиков. В области микроволн к ним примыкают мазеры. В оптическом и инфракрасном диапазонах источниками когерентного излучения служат лазеры. Обычные источники света испускают так называемое тепловое излучение.