umm_201
.pdf
здесь x0 = a, |
x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, K, xn = b . |
|
||||||
Вычислим значение функции в этих точках: |
|
|||||||
y0 = f (x0 ), |
|
|
y1 = f (x1), y2 = f (x2 ), K, yn = f (xn ) . |
|
||||
Тогда значение исходного интеграла будет приближенно равно |
|
|||||||
|
b |
|
|
b − a |
( y0 + y1 + y2 +K+ yn−1) , |
|
||
I1 = |
∫ f (x)dx |
≈ |
(8.3) |
|||||
n |
||||||||
или |
a |
|
|
|
|
|||
b |
|
b − a |
|
|
|
|||
|
|
|
( y1 + y2 + y3 +K+ yn ) . |
|
||||
I2 = |
∫ f (x)dx |
≈ |
|
(8.4) |
||||
|
||||||||
|
a |
|
|
n |
|
|
||
Обычно вычисляют значение интеграла по формуле (8.3) и по формуле (8.4) и берут среднее арифметическое полученных значений, то есть
I≈ I1 +2 I2 .
2.Метод трапеций. В методе трапеций значения функции вычисляют в
точках ci = xi + xi −1 . А формула трапеций имеет вид
2
b |
|
b − a |
|
y0 + yn |
|
|
|
I3 = ∫ |
f (x)dx ≈ |
( |
+ y1 + y2 + y3 +K+ yn−1) . |
(8.5) |
|||
n |
|
||||||
a |
|
2 |
|
|
|||
Поскольку значение определенного интеграла вычислено приближенно, следовательно, существует некоторая погрешность вычислений. Дадим понятия относительной и абсолютной погрешностей. Положительное число, заведомо превышающее ошибку приближенного вычисления по абсолютному значению,
называется абсолютной погрешностью, которая вычисляется по прави-
лу A = Iточное − Iприближ .
Отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла называет-
ся |
|
|
относительной погрешностью и вычисляется по формуле |
|||
Q = |
|
|
A |
|
|
100% . |
|
|
Iточное |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Под точным значением интеграла здесь понимается значение интеграла, полученное с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Под приближенным значением интеграла понимается значение, полученное с помощью одной из фор-
мул (8.3), (8.4), (8.5).
Задания для контрольной работы №2
61-70.
61.а)
62.а)
63.а)
64.а)
65.а)
66.а)
67.а)
68.а)
69.а)
70.а)
Найти предел функции.
lim |
|
|
x2 +5x |
−14 |
, |
|||||||||||||
|
|
x2 + 6x − |
16 |
|||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
x2 − 2x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
x |
2 +5x |
+ 6 |
|
, |
|
||||||||||
|
|
x |
2 + 6x + |
8 |
|
|
||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
x |
2 + 6x |
+5 |
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 +5x + 4 |
|
||||||||||||
x→−1 x |
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
x2 |
+ 6x −7 |
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+5x −6 |
|
|
|
|
||||||||
x→1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+3x − 4 |
|
|
|
|||||||||
x→1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
x2 |
+ 6x − 27 |
, |
|
||||||||||||||
x2 |
+5x − 24 |
|
||||||||||||||||
x→3 |
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→2 |
x2 −6x +8 |
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x2 −9 |
|
|
, |
|
||||||||
|
|
x2 + x − |
12 |
|
||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
x3 +8 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→−2 x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
lim |
|
|
|
2x3 − x + |
|
1 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
− x2 + x |
|
|
|
|||||||||||
lim |
x2 + x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x2 |
|
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
2x − x2 −1 |
. |
|
|
|
||||||||||
2x2 |
−3x + |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
x4 |
− x2 − |
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ x2 −3x4 +1 |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
1 − x3 +3x4 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
−3x4 |
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
−3x3 +3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x3 |
−3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
2x |
3 − x +1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
4x2 − x3 |
|
|||||||||||||
x→∞ x + |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
x2 |
|
− 4x +1 |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ 4x −3 |
|
|
||||||||||
x→∞ 5x2 |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
x2 |
− 2x − |
|
2 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
− x3 −7 |
|
|
|
||||||||||
lim |
|
8x5 + 6x2 +1 |
. |
||||||||||||||
|
4x |
5 − x3 + |
5 |
|
|||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
||||||||||||||
71-75. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t = 0 , определено зависимостью Q = Q(t) (Кл). Найти силу
тока в конце T секунды.
71. |
Q = 3t3 |
− 2t +3 , |
T = 6 . |
72. |
Q = 4t 2 + 6t +1, T = 7 . |
73. |
Q = t3 / 2 + 4t − 2, |
T = 9 . |
74. |
Q = t 4 / 4 +3t 2 − 2t , T = 5. |
|
75. |
Q = 5t5 |
+ 4t 2 + 4, |
T = 2 . |
|
|
76-80. Точка М движется так, что за время t(c) от начала движения она проходит расстояние, равное S(t)(м) . Найти скорость точки через T секунд после начала движения.
76. |
S(t) = |
t3 |
|
+ 2t 2 |
, T = 6 . |
77. |
S(t) = |
2t4 |
−5t + 4 , |
T = 3. |
|
7 |
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
78. |
S(t) = |
t 4 |
+3t2 |
−3 , T = 2 . |
79. |
S(t) = 5t3 −t + 24 , |
T = 5. |
|||
|
||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
80. |
S(t) = t3 + 7t , |
T = 4 . |
|
|
|
|
|
|||
81-90. Найти производные функций.
81.а)
82.а)
83.а)
84.а)
85.а)
86.а)
87.а)
88.а)
89.а)
90.а)
y = sin3 (x2 − x) , |
б) |
y = cos4 (ln x) , |
б) |
y = x5 42 x , |
б) |
y = tg(x − x2 ) , |
б) |
y = sin( x − x3 ) , |
б) |
y = 52 x +1 x , |
б) |
y = ctg 2 (x2 − 2) , |
б) |
y = (x2 −5) log3 x , |
б) |
y = sin2 (1 − x) , |
б) |
y = x 4 x −1, |
б) |
y = |
ln(x − 2x2 ) |
, |
||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
|
|
x3 −8 |
, |
|
|
|
|||
|
sin(5x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
|
|
|
2x +1 |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln(6 − x2 ) |
|
|||||||||
y = |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x − x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
e2x −1 |
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
|
|
|
|
sin x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|||
y = |
log2 x |
|
, |
|
|
|
||||||
sin x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
(2x +1) |
|
|
|||||||
|
|
x + |
3 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
x −1 |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|||
в) |
y = x tg(2 − x3 ) . |
в) |
y = (x4 − 2) ctg(x). |
в) |
y = tg 2 (2 − x3 ) . |
в) |
y = 52 x ln(1 + x3 ) . |
в) |
y = sin x tg(x3 ) . |
в) |
y = (x +1) ln x . |
в) |
y = 3x sin(2 − x) . |
в) |
y = 3 (2 − x2 ) . |
в) |
y = x 6(3x −1) . |
в) |
y = sin(1 + 1 + x) . |
91-100. Записать уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке графика с абсциссой x0 . Сделать чертёж.
91. |
y = 2 + 2 x , |
x0 = 4 . |
92. |
y = 2 − x2 , |
|
x0 = 2 . |
||||||||||
93. |
y = 2x −1 , |
|
x0 = 3 . |
94. |
y = (x − 2)3 , |
x0 |
=1. |
|||||||||
95. |
y = |
|
|
1 |
|
+1, |
x0 = 2 . |
96. |
y = |
x2 |
− 4x |
, |
x0 |
= 3 . |
||
|
x −1 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
97. |
y = 2 |
x +3 −1, |
x0 =1. |
98. |
y = x2 + 2x −3, |
x0 =1 |
||||||||||
99. |
y = |
|
|
2 |
|
, |
x0 = −1. |
100. |
y = |
|
x2 |
+ 0.5, |
x0 = −2 . |
|||
1 |
− x |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
101-110. С помощью производной провести исследование функции y = f (x) и построить ее график.
101. |
y = |
(x −1)3 |
|
− 4x . |
102. |
y = |
x3 − 2 |
. |
|
|
103. |
y = x3 − |
x4 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
104. |
y = |
(x +1)3 |
+ 4x . |
105. |
y = x2 − |
x3 |
. |
|
106. |
y = |
|
x2 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
107. |
y = |
|
− 2x4 . |
108. |
y = |
(x − 2)3 |
|
−9x . |
109. |
y = |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(x − 2)2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
110. |
y = |
|
x3 |
+ |
5x |
2 |
+ 6x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
111-120. Найти неопределенные интегралы.
111. |
а) |
∫(3x −1)4 / 3 dx , |
б) |
∫ x cos x dx , |
в) |
|||||
112. |
а) |
∫ x ex 2 dx , |
|
|
б) |
∫ x ln xdx , |
в) |
|||
113. |
а) |
∫ |
3 |
|
|
dx , |
б) |
∫(x −1) exdx , |
в) |
|
3 (1 − |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x)2 |
|
|
|
||||
114. |
а) |
∫ |
(ln x + 2) |
2 |
dx , |
б) |
∫arcsin xdx , |
в) |
||
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115. |
а) |
∫ |
ctgx |
|
dx , |
б) |
∫ x sin(x +1)dx , |
в) |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
∫ |
1 + |
1 − x . |
∫ 2 +x |
x dx . |
|
∫x2x+−11 dx .
∫1x+−1x dx .
|
dx |
∫ |
x(1 + 2 x) . |
116. |
а) |
∫(3 − 4x)12 dx , |
б) |
∫ x exdx , |
|||
117. |
а) |
∫sin x cos2 xdx , |
б) |
∫arccos xdx , |
|||
118. |
а) |
∫ |
dx |
5x |
, |
б) |
∫ x 3x dx , |
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
119. |
а) |
∫ x2 2x3 dx , |
б) |
∫ x sin(2x)dx , |
|||
120. |
а) |
∫4(1−2 x) dx , |
б) |
∫ x e2x dx , |
|||
в)
в)
в)
в)
в)
∫ 2 |
xx + 4 dx . |
|
|
dx |
|
∫ |
x(1 − x) . |
|
∫ x −x1 dx . |
|
|
∫ |
dx |
x −1) . |
x −1(1 − |
||
∫ |
dx |
x) . |
x(2 + 2 |
||
121.-125. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближённо по формуле прямоугольников. Указать абсолютную и относительную погрешности приближённого значений.
Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.
2.Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближённое значение интеграла дать с округлением до третьего десятичного знака.
3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.
|
3 |
x dx |
|
|
|
7 |
|
5 |
|
121. |
∫ |
|
|
. |
|
122. |
∫3 x +1dx . |
123. ∫(x2 −1)dx . |
|
x2 + |
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
0 |
||
124. |
4 |
1 − 2 |
|
x |
dx . |
125. |
3 |
2 dx . |
|
∫ |
3x |
|
∫(x −1) |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
126.-130. Интеграл вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле трапеций. Указать абсолютную и относительную погрешности приближенного значений.
Примечание. 1. Отрезок [a;b] разбить на 10 частей. Привести таблицу значений функции f (x) в точках разбиения.
2.Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближённое значение интеграла дать с округлением до третьего десятичного знака.
3.При решении этой задачи рекомендуется пользоваться вычислительными средствами.
10 |
− 2x)2 dx . |
126. ∫(1 |
|
0 |
|
8 (x +1)2
129.∫ 2 dx .−1
4 |
x −1 |
6 ln x |
dx . |
||
127. ∫ |
dx . |
128. ∫ |
|
||
x |
|||||
1 |
x |
2 |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
130.∫(x −3)2 dx .
−2
131.-140. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.
131. |
y = x +1, |
y = x +1. |
132. |
y = x2 −1, y = 3. |
|
133. |
y = (x +1)2 , |
y = x +3 . |
134. |
y = 4 − x, |
y = 2 −0,5x . |
135. |
y = 4 − x2 , |
y = x + 2 . |
136. |
y = −x2 + 2x, |
y = 2 − x . |
Вопросы для подготовки к экзамену в первом семестре
1.Матрицы и действия над ними.
2.Определитель третьего порядка и его вычисление по правилу треугольников.
3.Формула разложения определителя по элементам строки.
4.Правило Крамера для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
5.Понятие функции.
6.Линейная функция. Понятие об уравнении прямой.
7. Степенная функция y = xα . Графики функций y = x2 , y = x , y = |
1 |
, |
|
x |
|||
|
|
y= ax2 +bx + c .
8.Показательная функция y = ax и ее график.
9.Логарифмическая функция y = loga x и ее график.
10.Функция y = sin x и ее график.
11.Функция y = cos x и ее график.
12.Функция y = tg x и ее график.
13.Построение графиков путём преобразований графиков основных элементарных функций.
14.Графическое решение уравнений.
15.Понятие предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
16.Конечные пределы и их свойства.
17. Раскрытие неопределенностей вида .
0 , ∞
0 ∞
18.Определение производной функции.
19.Задача о вычислении скорости движения.
20.Уравнение касательной к графику функции.
21.Производные основных элементарных функций.
22.Определение возрастающей и убывающей функции. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.
23.Определение максимального и минимального значений функций.
24.Применение производной к построению графиков функций.
25.Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.
26.Свойства неопределенного интеграла.
27.Интегрирование заменой переменной. Метод интегрирования по частям.
28.Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
29.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Для подготовки к экзамену необходимо изучить материал из [1] приложение §§ 1, 3, 4, 14, 16, 20. Полезно ознакомиться с материалом из [3] гл. 1, гл. 2. Рекомендуется использовать методические пособия [4], [5].
Для выполнения практических заданий на экзамене необходимо:
1.Научиться вычислять определители второго и третьего порядка.
2.Строить графики путем преобразования графиков элементарных функций.
3.Находить производные от различных функций, правильно применять правила дифференцирования.
4.Составлять уравнение касательной к графику функции.
5.Находить экстремумы функции и промежутки возрастания и убывания с помощью производной.
6.Находить первообразные методом замены переменной, методом интегрирования по частям.
Библиографический список
1.Конспект лекций по высшей математике: Учебн. для вузов / Д.Т. Письменный. – М. Рольф, 2001.
2.Справочник по элементарной математике: Справочное пособие / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1999.
3.Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов/ под ред. Крамера Н.Ш.– М.: ЮНИТИ, 2000.
4.Высшая математика: Метод. руководство / В.И. Белугин, Т.В. Величко, Э.Е. Поповский. – Екатеринбург, 2002.
5.Высшая математика: Метод. руководство / А.Р. Данилин, И.Я. Кац. – Екатеринбург, 2002.
Татьяна Викторовна Завьялова Татьяна Владимировна Величко Ирина Николаевна Пирогова Эдуард Евгеньевич Поповский
МАТЕМАТИКА
Методическое пособие для студентов технических специальностей заочного отделения, обучающихся по ускоренной программе
ЧАСТЬ I
Редактор С.В. Пилюгина
623034, Екатеринбург, ул. Колмогорова 66, УрГУПС Редакционно-издательский отдел
|
Подписано в печать10.03.06 |
|
Бумага писчая №1 |
Формат 60×84 1/16 Усл.п.л. 5,0 |
Уч.-изд.л 4,2 |
Тираж 200 экз. |
Цена договорная |
Заказ |