umm_201

Если на интервале (a;b)вторая производная положительна f ′′(x) > 0, то график функции является выпуклым вниз. И наоборот, если на интервале (a;b) вторая производная отрицательна, то график функции является выпук-

лым вверх.

Точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак, то есть график функции меняет направление выпуклости, называют точками

перегиба.

Итак, исследование функции состоит из следующих этапов:

1)нахождение области определения функции;

2)нахождение точек пересечения графика с осями координат Ox и Oy;

3)нахождение критических точек, промежутков монотонности, точек экстремума функции;

4)нахождение интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба.

Используя проведённые исследования, можно постепенно строить график функции.

Пример. Провести исследование и построить график функции y = 1 +1x2 .

Исследование. 1) область определения функции – вся числовая прямая, то есть x (−∞;+∞) . Точек разрыва нет и нет вертикальных асимптот.

2) находим точки пересечения с осями координат:

с осью Oy график пересекается, если x = 0 , откуда y =1, то есть M (0;1) – точка пересечения с осью Oy . Нарисуем точку M (0;1) .

С осью Ox график пересекается, если y = 0 , то есть нужно решить уравнение

1 2 = 0. Поскольку это уравнение не имеет решений, то точек пересечения с

1 + x

осьюOx нет. Кроме того, понятно, что y > 0 на всей области определения. Таким образом, точка M (0;1) – единственная точка пересечения графика с осью

Oy .

равниваем производную к нулю y′ = 0 x = 0 – единственная критическая точка. Она разбивает область определения на два интервала.

Поскольку в точке (0;1) производная меняет знак с «+» на «-», то точка M (0;1)

является точкой максимума функции. Нанесем эту информацию на чертеже. 4) найдём точки перегиба функции. Вторая производная имеет вид:

равнивая к нулю вторую производную, получим x = − 1/ 3 , x = 1/ 3 . Эти точки разбивают область определения на три интервала, внутри которых характер выпуклости не меняется.

Итак, точки перегиба (− 1/ 3;0,75) и (− 1/ 3;0,75) . Нарисуем точки и уточ-

ним график.

Строим график функции.

y=1/(1+x*2)

2

y(x)

1

x

Понятие дифференциала функции. Производная функции y = f (x) по оп-

Полезность этого равенства определяется тем, что часто дифференциал функции вычислить легче, чем приращение. Например, требуется вычислить

значение функции y = x4 в точке x = 2,03. Дифференциал по формуле (6.2) ра-

x= 2,03 − 2 = 0,03, приращение функции равно

y≈ dy = 4 23 0,03 = 32 0,03 = 0,96 .

Так для функции y = sin(2x) дифференциал равен dy = 2 cos(2x)dx .

Равенство (6.3) позволяет рассматривать производную как отношение двух дифференциалов f ′(x) = dydx .

7. Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл. Сформулируем задачу, обратную дифференцированию: для функции f (x) найти такую функцию F(x) , для которой

выполняется F′(x) = f (x) . Такая функция F (x) называется первообразной

для функции f (x) .

Задача отыскания первообразной решается неоднозначно, так как, если F′(x) = f (x) , то это выполняется и для функций

(F(x) +C)′ = f (x) ,

где C – любая постоянная величина. То есть F(x) +C также первообразная для

f (x). Например, для y = 2x функции F1(x) = x2 и F2 (x) = x2 + 2 являются первообразными.

Определение. Если функция F(x) является первообразной от функции

f (x), то выражение F (x) +C называется неопределённым интегралом от

функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx . Из определения следует ∫ f (x) dx = F (x) +C . Например, ∫cos x dx = sin x +C .

Основные свойства неопределённого интеграла:

1) производная любой первообразной равна подынтегральной функции

(∫ f (x) dx)′ = f (x) .

2)∫( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx .

3)∫k f (x)dx = k ∫ f (x) dx .

Вытекающее из определения свойство 1) позволяет проверять путём дифференцирования правильность результата интегрирования. Для нахождения первообразной будем пользоваться следующей таблицей интегралов.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Часто задача отыскания первообразной от данной функции решается сведением интеграла к сумме табличных интегралов путем несложных алгебраических преобразований.

Пример. Найдем первообразную для интеграла

∫(x − 4 x)2 dx = ∫(x2 −8x x +16x)dx = ∫ x2dx − ∫8x xdx + ∫16xdx =

Интегрирование методом замены переменной. Если функция x =ϕ(t) имеет непрерывную производную и монотонна, то в интеграле ∫ f (x)dx можно перейти к новой переменной t по формуле

затем найти интеграл из правой части равенства (если это возможно) и вернуться к исходной переменной.

Следует отметить, что в равенстве (7.4) ϕ′(t)dt = dx . Таким образом метод состоит в том, что x заменяют на ϕ(t) , а dx на ϕ′(t)dt .

Пример. Проиллюстрируем метод замены переменной на примере

== −3cos t +C = −3cos 3 x +C .

Часто приходится замену переменной делать иначе: заменять некоторое алгоритмическое выражение u(x) = t . При этом необходимо заботиться о том,

чтобы x однозначно определялась из этой замены. Рассмотрим еще несколько примеров нахождения первообразной функции.

Примеры.

1. ∫(3x + 2)10 dx можно заметить, что этот интеграл похож на первый таблич-

ный интеграл. Поскольку dx = d (13 3x) = 13 d (3x) = 13 d (3x + 2) , то, подставив в исходный интеграл полученное выражение дифференциала, получим

2. ∫sin(x ± a)dx = ∫sin(x ± a)d (x ± a) = −cos(x ± a) +C .

8. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок произвольным образом точками

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b

на n частичных отрезков. Длина каждого отрезка равна xi = xi − xi −1 , 1 ≤ i ≤ n .

Выберем в каждом из них произвольную точку ci , xi −1 ≤ ci ≤ xi .

Сумма, составленная из n слагаемых

Sn = f (c1) x1 + f (c2 ) x2 +K+ f (ci ) xi +K+ f (cn ) xn ,

называется n -ой интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [a, b]. Для сокращения записи используется математический знак суммы

b

∫ f (x) dx .

a

Согласно этому определению можно записать

Рис. 5. Определенный интеграл

Вформуле (8.1) отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования,

ачисла a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Переменная x называется переменной интегрирования.

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть f (x) ≥ 0 на отрезке [a, b] (см. рисунок 5.). Фигура АВСД, снизу ограниченная осью Ox , сверху графиком функции y = f (x) и прямыми x = a, x = b, называ-

b

ется криволинейной трапецией. Определённый интеграл ∫ f (x) dx равен

a

площади криволинейной трапеции АВСД.

Основные свойства определенного интеграла. Пусть функции f (x) и g(x) интегрируемы на рассматриваемых отрезках. Тогда выполняются следующие свойства для интегралов:

Формула Ньютона-Лейбница. Если F (x) – какая-либо первообразная функции f (x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Эта формула сводит задачу вычисления определенного интеграла к отысканию первообразной, то есть к вычислению неопределенного интеграла.

После вычисления интеграла не нужно возвращаться к прежней переменной x , так как пределы интегрирования меняются с учетом замены переменной.

Приближенное вычисление определенного интеграла. Довольно часто возникают ситуации, когда определенный интеграл невозможно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этих случаях интеграл можно вычислить приближенно, например, по формуле прямоугольников или по формуле трапеций. Рассмотрим методы приближенного вычисления по этим формулам.

1.Метод прямоугольников. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей

длины h = b −n a следующим образом

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b ,