Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

umm_201

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
515.7 Кб
Скачать

Если на интервале (a;b)вторая производная положительна f ′′(x) > 0, то график функции является выпуклым вниз. И наоборот, если на интервале (a;b) вторая производная отрицательна, то график функции является выпук-

лым вверх.

Точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак, то есть график функции меняет направление выпуклости, называют точками

перегиба.

Итак, исследование функции состоит из следующих этапов:

1)нахождение области определения функции;

2)нахождение точек пересечения графика с осями координат Ox и Oy;

3)нахождение критических точек, промежутков монотонности, точек экстремума функции;

4)нахождение интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба.

Используя проведённые исследования, можно постепенно строить график функции.

Пример. Провести исследование и построить график функции y = 1 +1x2 .

Исследование. 1) область определения функции – вся числовая прямая, то есть x (−∞;+∞) . Точек разрыва нет и нет вертикальных асимптот.

2) находим точки пересечения с осями координат:

с осью Oy график пересекается, если x = 0 , откуда y =1, то есть M (0;1) – точка пересечения с осью Oy . Нарисуем точку M (0;1) .

С осью Ox график пересекается, если y = 0 , то есть нужно решить уравнение

1 2 = 0. Поскольку это уравнение не имеет решений, то точек пересечения с

1 + x

осьюOx нет. Кроме того, понятно, что y > 0 на всей области определения. Таким образом, точка M (0;1) – единственная точка пересечения графика с осью

Oy .

3) Найдём критические точки. Выражение производной y

 

 

2x

 

= − (1

+ x2 )2

. При-

 

равниваем производную к нулю y′ = 0 x = 0 – единственная критическая точка. Она разбивает область определения на два интервала.

 

 

 

 

x

−∞; 0

0

0; + ∞

 

 

 

 

y

+

0

 

 

 

 

y

 

1

 

 

 

 

 

Поскольку в точке (0;1) производная меняет знак с «+» на «-», то точка M (0;1)

является точкой максимума функции. Нанесем эту информацию на чертеже. 4) найдём точки перегиба функции. Вторая производная имеет вид:

 

 

 

x

 

 

 

 

1 (1 + x

2

)

2

x 2(1 + x

2

) 2x

 

3x

2

1

 

 

y

′′

 

 

 

 

 

= −2

 

 

 

= 2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

3 .

При-

 

= −2

(1 + x

)

 

 

 

 

(1 + x

)

 

 

(1

+ x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равнивая к нулю вторую производную, получим x = − 1/ 3 , x = 1/ 3 . Эти точки разбивают область определения на три интервала, внутри которых характер выпуклости не меняется.

x

−∞; 1/ 3

1/ 3

1/ 3; 1/ 3

1/ 3

1/ 3;+∞

 

 

 

 

 

 

y′′

+

0

0

+

 

 

 

 

 

 

y

 

0,75

0,75

 

 

 

 

 

 

 

Итак, точки перегиба ( 1/ 3;0,75) и ( 1/ 3;0,75) . Нарисуем точки и уточ-

ним график.

Строим график функции.

y=1/(1+x*2)

2

y(x)

1

7

0

7

x

Понятие дифференциала функции. Производная функции y = f (x) по оп-

ределению есть предел отношения приращения функции

y к приращению ар-

гумента x при стремлении

x к нулю

 

 

y

 

 

 

 

 

f

 

 

.

 

 

 

 

(x) = lim

 

x

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

При достаточно малых значениях

x верно приближённое значение равенства

 

 

 

 

y

,

 

 

 

 

 

 

f (x)

x

 

 

Откуда получается приближённая формула приращения функции

 

 

y

 

x .

 

 

 

(6.1)

 

 

f (x)

 

 

 

Выражение

в правой части

равенства

(6.1)

называется

дифференциалом

функции

f (x) и обозначается

dy . Таким образом, по определению имеем

 

dy =

 

 

 

 

 

(6.2)

 

f (x) x

 

 

 

Полезность этого равенства определяется тем, что часто дифференциал функции вычислить легче, чем приращение. Например, требуется вычислить

значение функции y = x4 в точке x = 2,03. Дифференциал по формуле (6.2) ра-

вен dy = 4x

3

x . Следовательно,

y

 

f

(x) x .

Тогда y(2) =16, здесь x0 = 2 ,

 

а

приращение аргумента равно

x= 2,03 2 = 0,03, приращение функции равно

ydy = 4 23 0,03 = 32 0,03 = 0,96 .

Следовательно, y(2,03) = y(2) +

y y(2) + dy =16,96 .

 

Для независимой переменной x примем, что dx =

x . Это позволит ра-

венство (6.2) переписать в виде

 

 

dy =

(6.3)

f (x) dx .

Так для функции y = sin(2x) дифференциал равен dy = 2 cos(2x)dx .

Равенство (6.3) позволяет рассматривать производную как отношение двух дифференциалов f (x) = dydx .

7. Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл. Сформулируем задачу, обратную дифференцированию: для функции f (x) найти такую функцию F(x) , для которой

выполняется F(x) = f (x) . Такая функция F (x) называется первообразной

для функции f (x) .

Задача отыскания первообразной решается неоднозначно, так как, если F(x) = f (x) , то это выполняется и для функций

(F(x) +C)′ = f (x) ,

где C – любая постоянная величина. То есть F(x) +C также первообразная для

f (x). Например, для y = 2x функции F1(x) = x2 и F2 (x) = x2 + 2 являются первообразными.

Определение. Если функция F(x) является первообразной от функции

f (x), то выражение F (x) +C называется неопределённым интегралом от

функции f (x) и обозначается символом f (x) dx . Из определения следует f (x) dx = F (x) +C . Например, cos x dx = sin x +C .

Основные свойства неопределённого интеграла:

1) производная любой первообразной равна подынтегральной функции

(f (x) dx)= f (x) .

2)( f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx .

3)k f (x)dx = k f (x) dx .

Вытекающее из определения свойство 1) позволяет проверять путём дифференцирования правильность результата интегрирования. Для нахождения первообразной будем пользоваться следующей таблицей интегралов.

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

1.

x

α

dx =

xα +1

 

+C, α ≠ −1

2.

1

dx = ln

 

x

 

+C ,

 

 

 

α +1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

sin x dx = cos x +C,

4.

cos x dx = −sin x +C,

5.

tg x dx = −ln

 

cos x

 

+C,

6.

ctg x dx = ln

 

sin x

 

+C,

 

 

 

 

7.

 

dx

 

= tg x +C,

 

 

 

8.

 

 

dx

 

= −ctg x +C,

 

 

cos2

 

 

 

 

 

sin2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

ex dx = ex +C ,

 

 

 

10.

 

 

ax dx =

 

ax

 

+C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

dx

=

1

arctg

x

+C ,

12.

dx

 

=

1

 

ln

 

 

a + x

 

 

+C ,

 

 

 

a2 + x2

 

 

a2 x2

2a

a x

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

a

dx

 

= arcsin x

+C ,

14.

 

dx

 

= ln x + x2 + a +C .

 

 

 

2 x2

 

 

a

 

 

 

 

 

x2 + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часто задача отыскания первообразной от данной функции решается сведением интеграла к сумме табличных интегралов путем несложных алгебраических преобразований.

Пример. Найдем первообразную для интеграла

(x 4 x)2 dx = (x2 8x x +16x)dx = x2dx 8x xdx + 16xdx =

= x3

8x2 x

+

16x2

+C = x3

16x2 x

+8x2 +C .

3

 

2,5

 

2

3

 

5

 

Интегрирование методом замены переменной. Если функция x =ϕ(t) имеет непрерывную производную и монотонна, то в интеграле f (x)dx можно перейти к новой переменной t по формуле

(7.4)

f (x) dx = f (ϕ(t)) ϕ (t) dt ,

затем найти интеграл из правой части равенства (если это возможно) и вернуться к исходной переменной.

Следует отметить, что в равенстве (7.4) ϕ(t)dt = dx . Таким образом метод состоит в том, что x заменяют на ϕ(t) , а dx на ϕ(t)dt .

Пример. Проиллюстрируем метод замены переменной на примере

 

sin

3

x dx =

 

3

,

t =

3

x

 

=

 

sin t 3t

2

dt = 3 sin t dt =

 

x = t

 

 

 

 

3 x2

 

dx = 3t 2dt,

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

== −3cos t +C = −3cos 3 x +C .

Часто приходится замену переменной делать иначе: заменять некоторое алгоритмическое выражение u(x) = t . При этом необходимо заботиться о том,

чтобы x однозначно определялась из этой замены. Рассмотрим еще несколько примеров нахождения первообразной функции.

Примеры.

1. (3x + 2)10 dx можно заметить, что этот интеграл похож на первый таблич-

ный интеграл. Поскольку dx = d (13 3x) = 13 d (3x) = 13 d (3x + 2) , то, подставив в исходный интеграл полученное выражение дифференциала, получим

 

 

 

 

10

 

10

1

 

 

 

 

1

10

 

1

 

 

10

 

 

(3x + 2) dx = (3x

+ 2)

 

 

d (3x + 2)

=

 

(3x + 2) d (3x + 2)

=

 

 

u

 

du

=

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

=

1

 

 

(3x + 2)11

+C =

 

(3x + 2)11

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

11

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. sin(x ± a)dx = sin(x ± a)d (x ± a) = −cos(x ± a) +C .

 

 

Вообще для любой постоянной a верно равенство dx = d (x + a), а так

же для любой постоянной k справедливо d (kx ± a)

=

1

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

Введение функции под знак дифференциала.

 

Этот прием основан на ра-

венствах типа

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx =

d (x2 ),

 

cos x dx = d (sin x),

ex dx = d (ex ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx =

1

d (x3 ),

 

sin x dx = −d (cos x),

 

1

dx = d (ln x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Примеры. Рассмотрим примеры интегралов, в которых используется

введение функции под знак дифференциала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

tdt

 

=

1

 

dt 2

 

=

1

d (t 2 +1)

 

=

 

1

ln(t 2 +1) +C ,

 

 

 

2

 

t 2 +

 

2

 

2

 

 

 

t 2 +1

 

 

1

 

 

 

 

 

t 2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

sin x cos

2

x dx

= −cos

2

x d cos x

 

= −

cos3

x

+C ,

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

cos(ex +1)exdx = cos(ex +1) dex

= cos(ex +1)d (ex +1) = sin(ex +1) +C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1 = t, dx =

2tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

tdt

 

= 2

(t +3) 3dt =

 

 

3

=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3x 1 +

 

 

 

 

 

(t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

t +3

3

t +3

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

3

 

 

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

dt

2

3dt

=

2t

2 ln t +3 +C =

2 3x 1

2 ln 3x 1 +3 +C .

 

3

 

3

 

t +3

 

3

 

3

 

Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям применяется преимущественно для интегралов вида:

xk sin xdx, xk cos xdx, xk ex dx, xk ln xdx ,

arcsin x dx, arccos x dx, arctgx dx .

Формулой интегрирования по частям называется равенство

u dv = u v v du ,

(7.5)

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение этой формулы.

u = x, du = dx, 1. x sin xdx = dv = sin xdx, v

= −x cos x +sin x +C .

= −x cos x + cos xdx = = −cos x

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = ln(x +1),

du

=

 

 

,

 

x2

 

x2

 

dx

 

 

x +1

 

 

 

 

 

2. x ln(x +1)dx =

 

 

x2

 

 

 

 

 

=

 

ln(x +1)

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

2

x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv = x dx,

v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

1

 

(x2 1) +1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

1

 

(x 1)(x +1)

 

=

 

 

 

ln(x +1)

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

ln(x +1)

 

 

dx

2

2

x +1

 

 

 

 

2

 

2

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dx

 

=

x2

ln(x +1)

1

 

(x 1)

2

 

1

ln

 

x +1

 

+C .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x +

1

2

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок произвольным образом точками

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b

на n частичных отрезков. Длина каждого отрезка равна xi = xi xi 1 , 1 i n .

Выберем в каждом из них произвольную точку ci , xi 1 ci xi .

Сумма, составленная из n слагаемых

Sn = f (c1) x1 + f (c2 ) x2 +K+ f (ci ) xi +K+ f (cn ) xn ,

называется n -ой интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [a, b]. Для сокращения записи используется математический знак суммы

n

xi .

 

 

Sn = f (ci )

 

 

i =1

f (x) 0 , то число Sn представляет собой сумму площадей прямо-

Если

угольников, с основаниями

xi и высотами, равными f (ci ) .

Определённым интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a, b]

называется предел интегральной суммы Sn

при стремлении к нулю максималь-

ной длины частичных отрезков.

f (x) на отрезке [a, b] обозначается

Определённый интеграл от функции

b

f (x) dx .

a

Согласно этому определению можно записать

b

lim Sn .

 

f (x) dx =

(8.1)

a

max xi 0

 

Рис. 5. Определенный интеграл

Вформуле (8.1) отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования,

ачисла a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Переменная x называется переменной интегрирования.

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть f (x) 0 на отрезке [a, b] (см. рисунок 5.). Фигура АВСД, снизу ограниченная осью Ox , сверху графиком функции y = f (x) и прямыми x = a, x = b, называ-

b

ется криволинейной трапецией. Определённый интеграл f (x) dx равен

a

площади криволинейной трапеции АВСД.

Основные свойства определенного интеграла. Пусть функции f (x) и g(x) интегрируемы на рассматриваемых отрезках. Тогда выполняются следующие свойства для интегралов:

 

b

 

b

b

1.

( f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx ,

 

a

 

a

a

 

b

 

b

 

2.

k f (x) dx = k f (x) dx ,

(k = const) .

 

a

 

a

 

 

b

 

a

 

3.

f (x) dx = − f (x) dx .

 

 

a

 

b

 

 

b

c

b

 

4.

f (x) dx =

f (x) dx + f (x) dx , где c (a;b) .

 

a

a

c

 

Формула Ньютона-Лейбница. Если F (x) – какая-либо первообразная функции f (x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница

b

ba = F (b) F (a) .

 

f (x) dx = F(x)

(8.2)

a

 

 

Эта формула сводит задачу вычисления определенного интеграла к отысканию первообразной, то есть к вычислению неопределенного интеграла.

e

ln2

e

ln3 x

e

ln3 e

 

ln3 1

 

3

 

 

Пример.

 

dx =ln2 x d (ln x) =

 

 

1 =

 

 

 

=

 

 

0

=1.

x

3

3

3

 

3

1

1

 

 

 

 

 

 

 

b

Замена переменной в определенном интеграле.

Если дан

интеграл

f (x)dx , то при замене x =ϕ(t) нужно заменить не только x на ϕ(t)

и dx на

a

 

 

a и b , согласно следующей

ϕ (t)dt , но и поменять пределы интегрирования

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x =ϕ(t), dx =ϕ (t)

dt

β

 

 

 

 

 

f (x)dx =

= f (ϕ

(t)) ϕ (t)dt .

 

 

a

a =ϕ(α), b =ϕ(β)

 

α

 

 

После вычисления интеграла не нужно возвращаться к прежней переменной x , так как пределы интегрирования меняются с учетом замены переменной.

 

 

3

x dx

 

 

 

 

+ x = t

2

, x

= t

2

1,

 

dx = 2t

dt

 

2

2t(t

2

1) dt =

Пример.

=

1

 

 

 

 

=

t

 

 

0

x +1

 

 

при

 

 

x = 0

t =1, при x = 3 t = 2

1

 

 

2

2

 

 

t

3

 

 

 

 

2

 

 

8

 

 

1

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2(t 1)dt = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 2

2 2

1 =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Приближенное вычисление определенного интеграла. Довольно часто возникают ситуации, когда определенный интеграл невозможно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этих случаях интеграл можно вычислить приближенно, например, по формуле прямоугольников или по формуле трапеций. Рассмотрим методы приближенного вычисления по этим формулам.

1.Метод прямоугольников. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей

длины h = b n a следующим образом

a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b ,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]