Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

тоэ, ргр

.pdf
Скачиваний:
159
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
5.52 Mб
Скачать

1.6. Построение потенциальной диаграммы

Построение потенциальной диаграммы преследует цель определения показаний вольтметров V1 и V2. При построении потенциальных диаграмм целесообразно использовать параметры исходной схемы и имеющиеся точки заземления (рис. 1.1).

На оси абсцисс (рис. 1.3) в определенном масштабе откладываются последовательно (один за другим) все сопротивления, которые необходимо учесть при построении.

Например, выберем путь обхода по цепи

0 ® E6 ® E4 ® R4 ® R2 ® E2 ® R3 ® E3 .

На оси ординат после вычислений указываются потенциалы каждой цепи в той же последовательности.

Наклонная часть потенциальной кривой определяется падением напряжения на соответствующем активном сопротивлении цепи. Зная потенциалы каждой точки цепи относительно заземленной ( j = 0 ), легко определить из рис. 1.3. значения напряжений, измеряемых вольтметрами V1 и V2.

Рис. 1.3. Построение потенциальной диаграммы

1.7. Определение тока в ветви «а – б» методом эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется в тех случаях, когда необходимо определить ток только в одной ветви. В данной работе подлежит расчету ток в сопротивлении с обозначениями «а» и «б» на исходной схеме. Для расчета тока используется уравнение вида

10

Iаб

=

E0

,

(1.3)

Rвнутр.

+ Rаб

 

 

 

 

где E0 ЭДС эквивалентного генератора или разность потенциалов между точками а – б после размыкания ветви;

Rвнутр. внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно разомкнутой ветви «а – б» после исключения всех источников энергии;

Rаб = R2 сопротивление с искомым значением тока I аб = I 2 .

В данной работе значение E0 следует найти, используя метод узловых потенциалов, хотя в общем случае для этого могут быть использованы и другие известные методы расчета.

1.7.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора Разомкнем ветвь «а – б» и изобразим расчетную схему на рис. 1.4. Обо-

значим узловые точки в полученной схеме через1; 2; 3 и соответствующие им потенциалы как j1 ; j2 ; j3 .

Рис. 1.4. Схема для расчета ЭДС

эквивалентного генератора

Система уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае может быть записана в следующем виде:

11

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

j1 ×G11 - j2 ×G12 - j3 ×G13 - j4 ×G14 ... = å Ei × Gi + å Ji

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

- j1

×G21

+ j2

×G22

- j3

×G23

- j4

×G24 ... = å Ei

×Gi

+ å Ji

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

- j1

×G31

- j2

×G32

+ j3

×G33

- j4

× G34 ... = å Ei

×Gi

+ å Ji

 

 

 

 

 

 

 

4

×Gi

4

- j1 ×G41 - j2 ×G42 - j3 ×G43 + j4 ×G44 ... = å Ei

+ å Ji .

Количество составляемых уравнений определяется числом искомых -по тенциалов узловых точек схемы. Необходимо учесть, что после размыкания ветви «а– б» число узловых точек обычно уменьшается.

В левой части уравнений по методу узловых потенциалов со знаком(+) записывается только одна составляющая токов, имеющая отношение к конкретному расчетному узлу. Составляющие токов в правой части записываются со знаком (+), если эти ЭДС и источники тока направлены к данному расчетному узлу. В любом другом случае необходимо записывать знак (-) перед отдельными слагаемыми уравнения.

 

Принятые обозначения:

G11 , G22 , G33 , G44 ... – собственные проводимости всех ветвей, примыкающих

 

 

соответственно к узлам 1, 2, 3, 4…

G12

= G21 , G13 = G31 взаимные проводимости ветвей, связывающих 1 и 2 уз-

 

 

лы, 1 и 3 узлы и т. д.

1

 

2

å E ×G ,

å E ×G составляющие токов, создаваемых в соответствующих

 

i i

i i

1

2

ветвях источниками ЭДС;

 

å Ji , å Ji значения источников тока, связанных с соответствующи-

ми узлами 1; 2 … Если в размыкаемой электрической цепи нет других заземленных точек

или узлов то, очевидно, можно заземлить один из узлов, т. е. принять его потенциал за нулевой. Тогда число узлов с неизвестными потенциалами уменьшается на единицу ,и соответственно, уменьшается число необходимых уравнений. Приняв, например, j3 = 0 , необходимо записать только два уравнения.

æ 1 j ç

1çè R6

æ 1 - j1ç

çè R6

 

 

1

 

 

1

ö

 

æ

1

 

 

1

ö

 

E6

 

E1 - E4

 

E3

 

+

 

 

+

÷

- j

ç

+

 

÷

=

+

+

;

R

+

 

 

 

 

+ R

 

 

 

 

R R

÷

2

ç R R

÷

 

R R + R R

1

 

4 3

ø

 

è

6 1

4

ø

 

6

1 4

3

 

 

 

1

ö

æ

1

 

 

1

1

ö

 

E6

 

E1 - E4

 

E5

 

 

 

÷

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

+ R

+ R

 

+ R

+ R

+ R

= - R

- R + R

- R - I .

÷

+ j2 ç R

÷

1

4

ø

è

6

1

4

5

ø

6

1 4

5

 

12

После определения потенциалов точек j1 и j2 расчет токов можно выполнить по закону Ома для ветви. В данной конкретной схеме для определения ЭДС эквивалентного генератора достаточно найти ток в ветви E4 - R4 - E1 - R1 . Выберем положительное направление этого тока (Указано на схеме) и составим уравнение

j1 + E4 - I¢×(R4 + R1 )- E1 = j2 или

I ¢ = (j1 - j2 )+ (E4 - E1 ).

R4 + R1

После расчета тока I ¢ потенциал точки «а» можно определить из уравне-

ния

jа = j1 + E4 - I ¢× R4 ,

а потенциал точки «б» удобнее найти следующим образом:

jб = j3 - E2 .

Таким образом, jа - jб = E0 = j1 + E4 - I¢× R4 - j3 + E2 .

1.7.2.Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для определения внутреннего сопротивления цепи относительно зажимов «а – б» достаточно воспользоваться схемой рис. 1.4, мысленно закоротив все источники ЭДС и разомкнув источник тока. Образовавшаяся схема получит следующий вид (рис. 1.5):

Рис. 1.5. Схема преобразования

Сопротивления цепи имеют сложные соединения типа«трехлучевая звезда» или «треугольник» (рис. 1.5) и не позволяют вычислить Rвнутр . без дополнительных эквивалентных преобразований цепи. В данном случае можно вос-

13

пользоваться, например, приемом эквивалентного преобразования треугольника сопротивлений в «трехлучевую звезду», что показано на рис. 1.5.

R14

=

R1 × R4

; R46

=

R4

× R6

; R61

=

R6

× R1

. (1.6)

R1 + R4 + R6

R1 + R4 + R6

R1 + R4 + R6

 

 

 

 

 

 

 

Соотношения (1.6) позволяют определить R14 , R46 , R61 . В литературе [1] можно найти примеры обратного преобразования «трехлучевой звезды» в «треугольник». После подобных преобразований достаточно легко вычислить значение:

Rвнутр. = R14 + (R46 + R3 )× (R61 + R5 ).

R46 + R3 + R61 + R5

Таким образом, с учетом величин E 0 и Rвнутр. , полученных из уравне-

ний(1.5) и (1.7), величина искомого тока I2 = Iаб определяется, как и было отмечено ранее, при помощи уравнения (1.3).

Необходимо иметь в виду, что результаты расчета тока I2 по методу контурных токов и по методу эквивалентного генератора не могут отличаться -бо лее, чем на 5 %.

Работа 2 Расчет однофазной цепи синусоидального тока

символическим методом (РГР-2)

2.1. Цель работы

Изучение и практическое применение символического метода при расчете цепей синусоидального переменного тока, закрепление навыков расчета комплексных чисел при изучении курса ТОЭ. Знакомство с волновыми и векторными диаграммами; составление уравнений баланса активных и реактивных мощностей.

2.2. Содержание работы

Индивидуальное задание на расчет включает разветвленную однофазную цепь с конкретными числовыми данными. При этом считается заданным мгновенное значение напряжения на одном из элементов цепи, обозначенном на схеме в буквенной форме «а» и «б»:

uаб =Um ×sin(wt + y).

Для заданной цепи необходимо:

14

1.Определить токи и напряжения на всех участках цепи, в том числе входное напряжение, символическим методом.

2.Записать мгновенные значения всех токов и напряжений.

3.Сделать проверку правильности решения по законам Кирхгофа для мо-

мента времени t = 0 .

4.Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5.Построить волновые диаграммы напряжения, тока и мощности на входе

цепи.

6. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

2.3.Общие указания и рекомендации

2.3.1.Расчет параметров цепи и ее эквивалентные преобразования Исходная электрическая цепь содержит в ветвях различные элементы, в

том числе в разном сочетании индуктивности, емкости и активные сопротивления. Пример такой цепи приведен на рис. 2.1. Буквами «а» и «б» обозначены

точки с известным напряжением между ними uаб .

Рис. 2.1. Исходная схема

При расчете цепей синусоидального тока символическим методом должны быть известны модули и комплексы отдельных элементов, ветвей и всей цепи в целом.

Модули индуктивных и емкостных сопротивлений могут быть найдены из известных соотношений, например,

X

 

= w× L

= 2p × f × L

(Ом); X C 2 =

1

=

1

(Ом).

L1

C2

2p × f ×C2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексы сопротивлений отдельных ветвей необходимопредставить как в алгебраической форме, так и в показательной форме. В алгебраической

15

форме обычно выполняют действия сложения и вычитания комплексных чисел, например, при расчете эквивалентного сопротивления последовательно соединенных элементов.

В показательной форме удобнее выполнять действия деления и умножения комплексных чисел, например, при расчете эквивалентного сопротивления параллельно соединенных элементов. Используя принятые на схеме обозначения, запишем комплексные значения сопротивлений отдельных групп (ветвей)

 

 

 

 

 

 

 

Z

= R

+ jX

L1

= Z ×e j j1 ;

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

Z =Z

-jX

 

 

=Z ×ejj 2 ;

Z

3

= R

- jX

=Z ×e - j j2 ,

(2.1)

 

2 20

C2

2

 

 

 

 

3

C3

3

 

где Z

20 =

Z ¢2 × Z ²

3

 

эквивалентное сопротивление части сложной цепи.

Z ¢2

+ Z

²

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопротивление сложной цепи во второй группе элементов

 

 

Z2¢ = jXL2 - jXC2 = Z2¢ ×e j 2 ;

 

Z2¢¢ =R2 - jXC2 =Z2¢¢×e- j j¢¢ 2 .

 

Следует отметить, что модули и аргументы комплексных чисел в показательной форме легко найти из алгебраической формы и наоборот, например:

Z1 =

 

; j 1= arctg

X L1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R12 + X L21

R = Z

1

×cos j

1

;

X

L1

= Z

1

× sin j

1

.

 

 

 

 

R1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аргументы комплексных чисел могут иметь различные знаки в зависимости от характера сопротивлений. Индуктивные сопротивления записывают с положительными углами, емкостные сопротивления – с отрицательными углами. Запись углов можно вести в градусах или радианах, сохраняя принятую систему до конца проводимых расчетов.

Зная сопротивления Z1 ; Z 2 ; Z3 определяют комплекс входного сопротивления цепи

Z вх = Z 1

+

Z 2

× Z 3

= Zвх e

jj

вх .

Z 2

+ Z 3

 

 

 

 

 

 

Все перечисленные выше сопротивления будут использованы при расчете токов в ветвях.

2.3.2. Расчет токов и напряжений При расчете токов и напряжений в символической форме обычно перехо-

дят от оригиналов(мгновенных значений) к изображениям действующих или амплитудных значений заданных величин, например, в следующей форме:

16

 

 

 

 

&

j y u

 

uаб

= U m аб × sin(wt + yu )

=Uаб ×e

 

или

Uаб

 

 

 

 

 

 

&

 

 

j y u

uаб

= U m аб ×sin(w t + yu )

 

 

×e .

 

Um аб =Um аб

Студент вправе избрать любой из предложенных переходов к изображениям, сохраняя выбранный вариант до конца выполняемых расчетов. Выберем в качестве рабочего варианта расчет по действующим значениям.

Тогда все искомые токи, обозначенные на схеме (рис. 2.2), определяются в следующей последовательности:

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

e

j yu

 

 

 

 

 

y

+ 0

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

аб

 

 

 

 

 

аб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

I& =

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= I

3 × e j (

u

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- jX C1

 

 

XC 3e- j90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

&

&

2

 

= -I 3

Z 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 3

= U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z ²

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Z ¢

2

 

 

3.

I&2 =

U 2

;

 

 

I 2¢

= I&2 ×

 

 

 

 

 

 

;

 

I 2¢¢

= I&2 ×

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

²

 

 

 

 

 

 

 

²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z ¢

2 + Z

2

 

Z 2 + Z 3

Z ¢2 + Z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

I&1 =

I&2 ×

 

Z

2

+ Z

3

 

 

или

 

I&1 = I&3 ×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5.

U вх

= U1

 

 

 

 

 

= I1 Z 1

+ U

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

&

 

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все приведенные расчетные формулы логически вытекают из приемов и методов, используемых студентом при расчете цепей постоянного тока, поэтому подробно здесь не описываются.

Расчет напряжений на отдельных элементах цепи выполняется символическим методом с использованием закона Ома, например:

&

&

× jX L1 ;

&

&

× R3 ;

&

&

× Z вх и т. п.

U L1

= I1

U R 3

= I 3

U вх

= I1

2.3.3. Запись мгновенных значений и проверка решения по законам Кирхгофа

Обратный переход от символической формы записи к мгновенным осуществляется по тем же правилам, показанным в п. 2.3.2, например,

I&

= I&

×e j j1

 

i

= I

1M

×sin(wt + y

).

 

1

1

 

1

 

1

 

При проверке решения задачи по законам Кирхгофа используют частную

форму записи мгновенных значений токов и напряжений для моментаt = 0 . Очевидно, что необходимыми условиями проверки являются тождества

17

i (0 )= i

2

0( +)i 0 ;( )

i (0 )= i

¢(0 )+ i

²(0 );

1

3

2

2

2

uвх (0)= u1 (0)+ u2 (0); u3 (0)= uR3 (0)+ uC 3 (0)= uR3 (0)+ uаб (0).

Допустимая относительная погрешность при проверке не должна превышать ± 5 %.

2.3.4. Составление баланса активных и реактивных мощностей При записи баланса мощностей в символической форме можно восполь-

зоваться уравнением следующего вида:

*

U&вх × I вх = I12 × Z1 + I22 × Z 2 + I32 × Z 3 ,

где реальная (вещественная) часть этого уравнения соответствует балансу активных мощностей источника и приемника, а мнимая часть – балансу реактивных мощностей.

**

Комплекс сопряженного тока I вх = I1 отличается от комплекса тока I вх заменой знака перед аргументом на противоположный. Необходимо обратить внимание, что в правой части уравнения баланса записываются только модули токов, протекающих в ветвях, а аргументы этих комплексных величин во внимание не принимаются.

Таким образом, в результате расчета следует подтвердить справедливость двух тождеств:

 

 

Pист » Pпр и

Qист » Qпр ,

где Pист

и

Qист активная и реактивная составляющие полной мощности

 

 

источника соответственно;

Pпр

и

Qпр активная и реактивная составляющие полной мощности

 

 

приемника соответственно.

2.3.5.Построение волновых диаграмм тока, напряжения и мощности на входе цепи

Перед построением волновых диаграмм следует записать мгновенные значения входного напряжения и входного тока (он же ток i1), например,

uвх = Uвх.м ×sin(wt + yu ); iвх

= iвх = I1M ×sin(wt + yu ).

Цифровые

значения

величин

известны по

результатам расчета

п. 2.3.2. Тогда мгновенная мощность будет определяться выражением

Pвх = Uвх

× I1 × cos (yu - yi )-U вх × I1 × cos (2wt + yu + yi ),

или, учитывая, что yu - yi

= j , можно записать

 

Pвх = Uвх × I1 × cos j -Uвх × I1 × cos (2wt + yu

+ yi ).

18

Таким образом, волновая диаграмма входной мощности будет отличаться по характеру от волновых диаграмм тока и напряжения изменением во времени с двойной частотой и требует учета этого свойства при ее построении и расчете.

При построении кривых выбирается оптимальный масштаб для каждой величины по оси ординат, а по оси абсцисс допустимо использовать как градус-

ную, так и радианную меру

угла с

изображением кривых в интервал

0...2pрад, или 0…360о.

 

 

Максимальные величины uвх

и iвх соответствуют значениям моментам

времени, дополняющим результирующий угол в аргументе sin до 90о. Результа-

ты вычислений рекомендуется оформить в виде таблицы.

Построение кривой Pвх может быть выполнено не только аналитически,

но и графически, с использование6м кривых U вх

и iвх (см. рис. 2.2.).

Рис. 2.2. Волновые диаграммы

Пусть, например, начальная фаза напряжения yu > 0, а начальная фаза

тока y < 0 . Построив кривые тока и напряжения, отметим на оси абсцисс

i

точки с нулевым значением этих величин.

Следовательно, при этих значениях мощность Pвх также принимает нулевые значения. В середине каждого интервала мощность принимает максимальное или минимальное значение. Эта величина определяется произведением

19

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]