tezisu

УДК 517.956 + 517.984

О РЕЗОЛЬВЕНТЕ МНОГОМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТОЙ СМЕНОЙ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

Шарапов Тимур Фархатович Башкирский государственный педагогический университет

им. М. Акмуллы, г. Уфа, Россия

Рассматривается эллиптический оператор второго порядка в произвольной многомерной области с частой сменой краевых условий. Область может быть как ограниченной, так и неограниченной. На границе области выделяется набор подмножеств, на которых задается граничное условие Дирихле, на оставшейся части границы ставится третье краевое условие. Исследуется поведение решений таких краевых задач, когда число частей выделенного подмножества границы неограниченно растет, а мера каждой отдельной части и расстояние между соседними частями стремится к нулю. Возможны также постановки задач, в которых описанная смена краевых условий задается не на всей границе, а лишь на фиксированной ее части, в то время как на остальной части задается третье краевое условие. Рассматривается случай, когда усредненный оператор содержит третье краевое условие. Первый основной результат - равномерная резольвентная сходимость возмущенного оператора к усредненному и оценки скорости сходимости. Второй основной результат - полное асимптотическое разложение для резольвенты в неограниченной области с дополнительным предположением, что чередование граничных условий имеет периодическую структуру и задано на гиперплоскости, а резольвента действует на достаточно гладкие функции.

УДК 550.34

THE WAVE FIELD OF A POINT SOURCE THAT ACTS ON THE PERMEABLE FREE BOUNDARY OF A BIOT HALF-PLANE G. L. Zavorokhin,

St. Petersburg Department of V. A. Steklov Mathematical Institute, Laboratory

of Mathematical Problems of Geophysics;

St.Petersburg, Russia

The initial boundary value problem of wave propagation in a half-plane filled with a fluid-saturated porous solid is considered. The Biot medium is isotropic, homogeneous, and with open pores on the boundary. Using complex analysis techniques, explicit formulas for the components of displacement vectors in elastic and fluid phases are obtained.

291

СЕКЦИЯ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

УДК 519.6

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИСКУССТВЕННЫМ ИНТЕЛЛЕКТОМ

Белослудцев Ильмир Олегович, Гибаева Расиля Анфировна Нефтекамский филиал Башкирского государственного университета, г. Нефтекамск, Россия

Искусственный интеллект (ИИ) «мыслит» исключительно за счет программного обеспечения, основанного на математике и численных методах. Применение численных методов ИИ будет довольно разнообразно: например, для ориентирования в пространстве ИИ будет необходимо преобразовать координаты сочленений в декартовые координаты положения и ориентацию схвата в системе координат основания (прямая задача кинематики) и наоборот (обратная задача кинематики). В данной работе рассмотрены примеры решения обратной задачи кинематики с помощью нейронных сетей и недоопределенных моделей, а также показано применение на практике недоопределенных моделей для вычислений местоположения робота по маякам. Метод недоопределенных моделей основан на построении обобщенной вычислительной модели, каждому объекту которой сопоставлены универсум и его начальное значение, функция присваивания и функция проверки корректности. Этот метод достаточно пригоден для применения его на практике, но для решения обратной задачи кинематики не слишком полезен, в частности из-за получения слишком грубых диапазонов решений в некоторых ситуациях. Поэтому на практике лучше применять метод решения с помощью нейронных сетей. Принцип действия нейронных сетей состоит в следующем: в построении математических моделей по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей – сетей нервных клеток живого организма. Решение же задачи заключается в нахождении обратной матрицы Якоби, в рассматриваемом случае – это производная выходов нейронной сети по ее входам и значения ее элементов могут быть вычислены тем же способом, как это делается при методе обратного распространения ошибки. Таким образом, рассмотрев методы применения численных методов можно сказать, что для ИИ они будут важным звеном его существования. И манипулируя различными численными методами, он сможет решать любые задачи, поставленные им самим.

292

УДК 004.272.2

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОМ РОЯ ЧАСТИЦ НА GPU

Григорьев И.В., Мустафина С.А.

Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак, Россия

Проблема поиска глобального минимума функций многих переменных, возникающая в самых различных задачах, достаточно актуальна. С увеличением точности решения поиска экстремума требование к производительности вычислительной машины может возрастать чуть ли не экспоненциально. Поэтому необходимо использовать нестандартные подходы к написанию программ, основанные на использовании технологии параллельного программирования.

В данной работе разработан алгоритм, основаный на методе оптимизации роя частиц [1]. В методе оптимизации роя частиц агентами являются частицы в пространстве параметров задачи оптимизации. Каждая частица имеет определенное местоположение и скорость, которая меняется на каждой итерации в пространстве поиска и характеризует определенное решение. Движение частицы определяется по следующей формуле:

v v С1 rnd() ( pbest x) С2 rnd() (gbest x),

число от 0 до1 включительно. Подобно птицам, перемещающимся в окружающей среде в поисках пищи или при уклонении от хищников, частицы пролетают через пространство поиска, изыскивая высококачественные решения. На основе разработанного алгоритма реализована программа. Для тестирования метода и проведения экспериментов использовалась функция Сферы и функция Растригина.

В работе было выполнено сравнительное исследование скорости сходимости параллельного и последовательного алгоритмов метода роя частиц для исследуемых функций. Проведенные исследования эффективности распараллеливания показали, что использование кластерных систем позволяет значительно снизить временные затраты (до 12 раз).

Литература

1. J Kennedy, R Eberhart Particle swarm optimization. // Proceedings of IEEE International conference on Neural Networks. — 1995, pp 1942—1948.

Григорьев И.В., Мустафина С.А., 2014 г.

293

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИКА»

УДК 519.876.2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОЦЕНКИ РИСКА БАНКРОТСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ

Амирова Г.Ф.

Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак, Россия

Существует достаточно большое количество различных моделей оценки риска банкротства. Рассмотрим основные из них:

Модель Альтмана имеет вид [1]:

по рыночной стоимости собственного капитала; К5 –отдача всех активов. Если Z 1,23 предприятие признается банкротом, при значении Z в диапазоне от 1,23 до 2,89 ситуация неопределенна, значение Z более 2,9 присуще стабильным и финансово устойчивым компаниям [2].

Модель Давыдовой-Беликова имеет вид:

где К1 –оборотный капитал/сумма активов; К 2 –чистая прибыль/собственный

Литература

1. Давыдова Г.В., Беликов А.Ю. Методика количественной оценки риска банкротства предприятий // Управление риском, 2011 г., No3, с. 13-20.

294

АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ В СТРАХОВАНИИ ЖИЗНИ И ЗДОРОВЬЯ

Арсланова Р.Р.

Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия

Страхование жизни медленно, но верно становится частью нашей жизни. Все большее число россиян понимают, что это действенная и эффективная защита себя и членов своей семьи от неожиданностей, на которые так щедра наша жизнь. А ведь страхование жизни - не только способ материальной поддержки самого себя на случай непредвиденных событий, а еще и прекрасный способ приумножить собственные доходы.

Страхование жизни - это вид личного страхования, в соответствии с которым страховщик за плату в виде страховой премии обязуется при наступлении страхового случая, наступление которого произойдет обязательно и который не обусловлен причинением вреда имущественным интересам страхователя (застрахованного лица), предоставить страхователю (застрахованному лицу) дополнительный доход в виде оговоренной страховой суммы.

Как в любой хозяйственной деятельности, в страховании страховщик нуждается в определении размера расходов, необходимых на страхование того или иного объекта. Расходы, необходимые для страхования определяются в процессе актуарных расчетов.

Основными задачами актуарных расчетов являются:

1.Исследование и группировка рисков в рамках страховой совокупности.

2.Определение вероятности наступления страхового случая, определение частоты и степени тяжести последствий причинения ущерба в отдельных рисковых группах и в целом по страховой совокупности.

3.Математическое обоснование необходимых расходов на ведение дел страховщиком и прогнозирование тенденций их развития.

4.Математическое обоснование необходимых резервных фондов страховщика, предложение конкретных методов и источников формирования этих фондов.

Решение этих задач позволяет определить тарифные ставки и размер участия каждого страхователя в создании страхового фонда.

В практике актуарных расчетов широко используется страховая статистика, которая представляет собой систематизированное изучение и обобщение наиболее массовых и типичных страховых операций, стоимостных показателей, характеризующих страховое дело.

При этом – чем больше число объектов наблюдения, тем точнее оценка вероятности наступления того или иного случая.

295

Вероятностью события А – Р(А) – называется отношение числа благоприятных для него случаев М к общему числу всех равновозможных случаев N:

P( A) MN (1)

Например, возьмем 100 застрахованных объектов. Статистика показывает, что ежегодно 3 из них подвергаются страховому случаю. Вероятность того, что с любым из этих 100 объектов произойдет реализация риска, равна 0,03 или 3 %.

Литература

1.Гвозденко А.А. Основы страхования. М.: Финансы и статистика,

2007;

2.Корчевской Л.И, Турбиной К.Е. Основы страховой деятельности,

2007;

3.Сплетухов Ю.А., Дюжиков Е.Ф. Страхование: Учеб. Пособие. - М.:ИНФРА-М, 2007 - (Высшее образование);

4.Рябикин В.И. Актуарные расчеты М: Финстатинформ, 1996.

©Арсланова Р.Р., 2014 г.

296

УДК 517.85 534.83+532.552

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ

Файзуллин Алмаз Ренатович, Сафина Гульнара Фриловна Нефтекамский филиал БашГУ, г. Нефтекамск, Россия

Уравнение свободных колебаний балки под действием постоянной продольной силы имеет вид [1]:

Здесь: y у(х) − прогиб балки, m и EJ − масса и жесткость балки, N −

продольная сила.

Стандартными преобразованиями уравнение приведено к виду:

означающие свободные опоры обоих концов балки (при х 0 и , l − длина балки).

Решение уравнения (2) имеет вид:

X C1shs1x C2chs1x C3 sin s2 x C4 coss2 x ,

(4)

в котором s1 и s2 содержат частоту колебаний балки. Подставляя решение

(4) в краевые условия (3) получим систему уравнений, решив которую относительно ненулевых значений C1,C2 , C3 , C4 , найдем частотное

уравнение колебаний балки с учетом продольной силы:

(s12 s22 )shs1l sin s2l 0 .

По решению прямой задачи показано, что увеличение массовых характеристик балки ведет к уменьшению частот колебаний ее колебаний, а увеличение жесткостных характеристик – к увеличению частот колебаний. Поставлена и решена обратная задача диагностирования характеристик балки по известным частотам ее свободных колебаний.

Литература

[1] Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Физматгиз,

1959. – 440с.

297

УДК 544.431.8

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ОРЕГОНАТОРА КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ РЕАКЦИИ БЕЛОУСОВА-ЖАБОТИНСКОГО

Икрамов Рустам Джамолович, Мустафина Светлана Анатольевна Стерлитамакский филиал Башкирского Государственного Университета, г. Стерлитамак, Россия

Среди многочисленных колебательных химических и биохимических реакций наиболее известным является класс реакций, впервые открытых российским ученым Б.П. Белоусовым (1958) и А.М. Жаботинским.

В 1972 г. Филд, Кереш, Нойес представили абстрактную и простую модель, которая сохраняла наиболее важные черты реакции БелоусоваЖаботинского. Их упрощенная модель, называемая Орегонатор[1], выглядит следующим образом:

dXdt k1 AY k2 XY k3 BX 2k4 X 2 dYdt k1 AY k2 XY fk5 Z

dZdt k3 BX k5 Z.

Здесь A и B – исходные реагенты, а X , Y , Z – промежуточные соединения: HBrO2 , Br и Ce(IV ) .

Для численного исследования моделей был выбран неявный метод Розенброка третьего порядка точности: Результаты интегрирования системы представленны на рис. 1:

Рис. 1. Колебания значений концентраций реагентов X , Y , Z

Литература

[1] Жаботинский А.М., Отмер Х., Филд Р. и др. Колебания и бегущие волны в химических системах : Пер. с англ. / Под ред. Р. Филда, М. Бургер.

– М.: Мир, 1988. 720 с.

298

УДК 681.5.015

АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ЗАДАЧЕ АНАЛИЗА СВЯЗНОСТИ СКВАЖИН

Хашпер Б.Л., Надеждин О.В., Ефимов Д.В. Башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия

При разработке нефтяных месторождений для увеличения добычи нефти необходимо поддерживать пластовое давление закачкой воды в продуктивный пласт. Воздействие на пласт осуществляется через систему нагнетательных скважин. Однако при применении таких систем вода в пласте распределяется неравномерно, что может снизить эффективность заводнения. Актуальной задачей является анализ связности скважин, заключающийся в определении воздействия нагнетательных скважин на добывающие по известным дебитам скважин. Математически данная задача сводится к задаче идентификации – построения математической модели системы и восстановления ее параметров по данным наблюдений за ее поведением [1]. Для решения поставленной задачи предлагается использовать метод обобщенного настраиваемого объекта измерения (ОНОИ), заключающийся в том, что входные и выходные сигналы пропускают через фильтры и получают обобщенную модель объекта, в которой неизвестные параметры линейно входят в обобщенную ошибку [2,3]. Оптимум полученного функционала обобщенной ошибки лежит в окрестности оптимума функционала явной ошибки, но не всегда совпадает с ним. Поэтому проводится bootstrap-анализ, позволяющий получить для системы множество моделей, из которых выбирается модель, обеспечивающая лучшее качество идентификации. Предложенный метод реализован в среде программирования Matlab и протестирован на примере многомерной динамической системы. Также проведен сравнительный анализ метода ОНОИ с методами идентификации Pem и N4sid, показавший эффективность предложенного метода.

Литература

1.Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.:Наука, 1991. – 432 с.

2.Надеждин О.В., Заминова А.Р. Анализ связности динамики нагнетательных и добывающих скважин // Управление большими системами.–М.: ИПУ РАН, 2009. – №25.– С. 35-47.

3.Катков M.C., Азаров M.M. Система параметрической идентификации математической модели движения самолета // Конгресс2000 "Фундаментальные проблемы естествознания и техники", Сб.трудов.– СПб., 2001.–№23. – С.511-518.

299

УДК 004.942

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОМОБИЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ АВТОДОРОГИ

Лысенко Д.В.

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак, Россия

В работе предложена имитационная модель, позволяющая изучать движение автотранспортных средств на прямых участках многополосных автодорог согласно правилам дорожного движения. Каждая полоса автодороги разбивается на условные ячейки фиксированных размеров, которые могут быть заняты сегментом дорожного полотна и автомобилями. При этом рядом с ячейками, содержащими полотно автодороги, могут присутствовать ячейки, содержащие дорожные знаки. Рассматриваемая модель представляет собой мультиагентную систему, в которой каждый автомобиль является сущностью, обладающей основными свойствами агента: активностью, реактивностью, автономностью, социальными чертами, целенаправленностью. Основными элементами моделируемой системы являются автомобили, поэтому под их взаимодействием понимается некоторое событие [1]. Построенная в работе система для моделирования дорожных ситуаций на прямолинейных многополосных участках автомобильных дорог может служить хорошим инструментом для прогнозирования развития ситуаций, связанных с образованием и развитием автомобильных пробок. Результаты моделирования показали, что даже если автомобилей на автодороге в избытке, то они способны передвигаться с приемлемыми скоростями.

Литература

1. Дмитриев В.Л., Ахмадеева Р.З. Некоторые подходы к моделированию динамики транспортных потоков // Сборник статей II Международной заочной научно-технической конференции «Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2012)» Ч.1. Тольятти: Изд-во Поволжского гос. ун-та сервиса, 2012. – С. 135-141.

Лысенко Д.В., 2014 г.

300