Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

312 • Приложение 1 / Дополнительные сведения из анализа

Е + В£(0), будучи объединением шаров, открыто и содержится в Е + е.В соответствии с упр. 12 в конце параграфа, если пересечение последовательности упорядоченных по убыванию компактных множеств содержится в открытом множестве, то компактные множества сами содержатся в открытом множестве. Таким образом, компактные множества Еп содержатся в Е + е. •

Данное следствие имеет непосредственное отношение к фракталам, которые образуются последовательным устранением открытых множеств. Например, это классическое множество Кантора, получаемое последовательным выбрасыванием открытых срединных третей интервалов. Используя это следствие, получаем, что аппроксиманты (рис. 2.20) сходятся к множеству Кантора в метрике Хаусдорфа. В качестве другого примера можно привести построение ковраСерпинского (рис. 2.5).

Теорема А.3.9. Пусть К, есть совокупность всех непустых компактных подмножеств Rn , a H — метрика Хаусдорфа. Тогда метрическое пространство(/С,Н) полное.

Доказательство. Пусть {AnJJJLj — последовательность множеств в К, которая удовлетворяет критерию Коши для метрики Хаусдорфа. По упр. 3 из прил. А.1, существует такая константа М, что Н(А\, Ап) < М при п = 1,2,3,..., и поэтому

Ап С Ах + М.

Зададим

Еп = (Ап U An+1 U Ап+2 U• • •)•

Тогда Еп являются замкнутыми и ограниченными, а следовательно, компактными подмножествами Rn . Пусть

Так как множества Еп упорядочены по убыванию, то из следствия А.3.4 вытекает, что Еп —•Е в метрике Хаусдорфа при п —*оо. Мы покажем, что Е также является пределом исходной последовательности в метрике Хаусдорфа, то есть

А.З Метрика ХаусдорфаII • 313

Пусть е > 0. Существует целое N\ такое, что из п > N\ следует

Е С Еп + е и Еп С Е + е.

В частности, из второго условия при п > N\ следует

(Ап UAn+1 UАп+2 U• • •) С Е + е,

то есть Ап С Ат + е. Так как {AnJ^Lj удовлетворяет критерию Коши в метрике Хаусдорфа, то существует такое целое ЛГг, что из п, т > N2 следует

метрическое пространство (К.,Н), где Н — метрика Хаусдорфа, компактно.

Упражнения 1.3.

1.Пусть 5 — периметр квадрата с вершинами (0,1), (1,0), (1,1) и (0,1). Нарисуйте расширение 5 + 0,25, используя манхэттенскую метрику на R2 . Сравните результат с ответом к упр. 3.5.1.

2.Найдите расстояние Хаусдорфа Н(А,В) в пространстве, оснащенном манхэттенской метрикой:

В = {(х,0) : -1<х< 1}.

Сравните результат с ответом к упр. 3.5.2.

314 • Приложение 1 / Дополнительные сведенья из анализа

3.Пусть d(x,y) — манхэттенская метрика на R2 . Вычислите d(x, В), где х — точка (1,1),

В = {(х,у) € R2 : (х - 1/2)2 + у2 < 1/4}.

10.Покажите, что если Е ф F, то d(E, F) ф 0 или d(F, Е) Ф 0.

11.Предположим, что Е, F и G суть компактные множества в R n с евклидовой метрикой. Покажите, что

d{E UF,G) = d(£, (?) Vd(£, G).

12. Убедитесь в верности следствия А.3.4. Если множество Е является пересечением компактных множеств Е\ D Ег D Ез D ...

и содержится в открытом множестве G, то Еп С G при всех достаточно большихга.

13. Покажите, что для A,B,C,D € X

Н(А U В, С UD) < Н(А, С) V Н(В, D).

А.4 Топологическая размерность • 315

А.4. Топологическая размерность.

Теория топологической размерности — развитая область математики. Мы, однако, ограничимся только определением инесколькими основными свойствами топологической размерности. Превосходной книгой, содержащей сведения о топологической размерности и размерности Хаусдорфа, является книга Гуревича и Вольмана [22]. Более современное изложение принадлежит Эдгару [13].

Топологическая размерность определяется индуктивным способом и поэтому иногда называется индуктивной размерностью. Более точно, рассматриваются малая и большая индуктивные размерности. Но ониобе совпадают для подмножеств Rn , рассмотрением которых мыограничимся. До конца этого приложения термин «размерность Е» будет означать топологическую размерность <Итт(Е).

Для пустого множества 0 положим:

dimT(0) =- 1 .

Размерность любого непустого множества отлична от —1. Множество Е имеет размерность А\та.т{Е) = 0 в томслучае, если

для каждого х € Е и для каждого относительно открытого множества U, содержащего х, существует такое относительно открытое множество V, что х € V С U и dV ПЕ = 0. (Напомним, чтоdV обозначает границу V.) Примером множества размерности 0 является множество рациональных чисел Q навещественной оси R. При данном относительно открытом множестве U, содержащем х, V есть пересечение Q с открытым интервалом, имеющим иррациональные конечные точки и содержащемся в U. Граница V состоит из двух иррациональных граничных точек, которые непринадлежат Q.

Размерность произвольного счетного подмножества пространства R n равна нулю (упр. 1 в конце параграфа). Более важный с точки зрения фрактальной теории результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема А.4.11. Топологическая размерность классического множества Кантора равна нулю.

Доказательство. Классическое множество Кантора С является пересечением вложенных множеств С&,к = 0,1,2,..., причем каждое

«НО • Приложение 1 f Дополнительные свеоения из анализа

Ск представляет собой объединение 2к замкнутых непересекающихся интервалов длины 3~* (см. рис. 2.20).

Пусть х € С, a U — относительно открытое множество, содержащее х. Выберем к так, чтобы интервал / С Ск, в который попадает точка х, также принадлежал U. Пусть V — открытый интервал, который содержит /, но не имеет пересечения с любым из других интервалов, образующих Ск. Тогда 8V П С — 0. •

В основе определения индуктивной размерности лежит тот факт, что размерность границы шара в R n равна п —1. Требуется известная осторожность при преобразовании этой общей идеи в осмысленное определение, так как мы имеем дело как с относительно открытыми, так и с произвольными множествами.

Будем считать, что dinar (E) < п в том и только в том случае, если для любого х б £ и относительно открытого множества U, содержащего х, существует такое относительно открытое множество V, что х<= V CUw

dimr(dV ПЕ) < п - 1.

Другими словами,

Теорема А.4.12. Топологическая размерность вещественной прямой R равна

dimr(R) = 1.

Доказательство. Сначала докажем, что dimr(R) < 1. Пусть х € R, U — относительно открытое (и поэтому открытое) множество, содержащее х. Найдется окрестность В&{х) точки х, которая содержится в U. Границей В${х) является двухточечное множество {х — 6, х + 6} размерности <Итт(Вб(х)) = 0. Следовательно, dimT(R) < 1.

Чтобы исключить возможность dimr(R) = —1, покажем, что для каждого открытого множества V в R, отличного от 0 и R, имеет

«51» • Приложение 1 / Дополнительные свеОения из анализа

где точная нижняя грань ищется по всем таким покрытиям множества А. Определим d-мерную внешнюю меру множества А как

\\mSd

Предел в данном определении всегда существует, так как SdiS(A) убывает при е —• 0.

Вот некоторые свойства Sd{A). Доказательства первых двух мы оставляем читателю в качестве упражнений.

1. Если А С В, то Sd{A) < Sd(B).

2. Sd(a) субаддитивна, то есть:

n=l

3. Если А С R, то «Si(Л) совпадает с внешней мерой в смысле Лебега. Это утверждение не справедливо, если А С Rn , n > 1. Тем не менее, d-мера множества равна нулю в том и только в том случае, если внешняя мера Лебега равна нулю [22].

Теорема А.5.16. Любому множеству А С R n соответствует единственное число d, называемое размерностью Хаусдорфа множества А, для которого

e<d =*• Se(A) = оо, e>d =* Se(A) = 0.

Это число, обозначаемое dimu(A), удовлетворяетсоотношению

dimH(A) = sup{e: Se(A) = оо} = inf{e: Se(A) = 0}.

Доказательство. Покажем, что

Если это доказано, то можно определить

d = mf{e:Se(A) = 0}.

Как следует из (А.10), если е < d, мы должны получить Se = оо, а если е > d, то Se(A) = 0.

то существует е > О, для которого Se0)£(j4) < 5€о(А) + 1 < оо. Мы знаем, что существует последовательность шаров радиусов Г{ < е,

покрывающая А, для которой

Введем р = 7(е)/т(ео)- Для е >

(eo)rei0 < pee-eo(Seo(A) + 1). Устремляя е —> 0, получим 5е(А) = 0. •

Как и предполагалось, аналоги основных теорем и следствий п. 5.1 остаются справедливыми и для размерности Хаусдорфа. В частности, график гладкой функции одной или двух независимых переменных имеет размерность Хаусдорфа dim# = 1 или dim# = 2, соответственно. Размерность Хаусдорфа самоподобного множества с коэффициентами подобия г\, Г2 ..., гдг удовлетворяет соотношению:

причем

Nrd = 1,

если т\ = г2 = • • •— rpf = г. Размерность Хаусдорфа остается неизменной при переходе к эквивалентной метрике.

Основное отличие размерности Минковского от размерности Хаусдорфа состоит в следующем. Мы доказали в теореме 5.1.2, что размерность Минковского множества

равна <Итм(А) = 1/2. Это множество счетное и может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с положительными целыми числами. Мы уже говорили в п. 5.1, что размерность Хаусдорфа любого счетного множества равна dim# = 0, что мы сейчас и докажем.

А.6 Быстрое преобразование Фурье • 321

Так как матрица А содержит N х N элементов, то вычисление ДПФ по формуле (А.11) требует N2 умножений. В линейной алгебре большинство вычислений можно представить в виде скалярных произведений, как в случае вычисления Ах в выражении (А.11). Поэтому число необходимых умножений всегда приблизительно такое же, что и число сложений (включая вычитания). Для того чтобы получить представление о вычислительной сложности задачи, достаточно подсчитать число умножений. Поэтому говорят, что вычислительная сложность ДПФ равна ц = N2.

Такая сложность вполне приемлема, пока N не велико. В противном случае, а также когда вычислять ДПФ нужно многократно, как это приходится делать при решении уравнений в частных производных, обработке изображений и в некоторых других областях, сложность порядка N2 слишком велика. Одним из действительно важных достижений вычислительной математики было создание алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Современный подход основан на алгоритме Кули-Тъюки, хотя основная идея была известна еще Гауссу.

Для работы алгоритма БПФнеобходимо, чтобы число N раскладывалось на возможно большее число сомножителей. Это число максимально, когда N равно степени 2, то есть N —2Р для некоторого р.