Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

292 • Глава 9 / Случайные фракталы

Фильтрация. Применим метод Фурье-фильтрации длямоделирования ФБД с параметром Н, О< Н < 1. Идея состоит в следующем. Построим сначала преобразование Фурье предлагаемого ФБД вчастотной области, задавая случайные фазы и подбирая амплитуды, удовлетворяющие свойству спектральной плотности теоремы 9.6.7. Затем получим требуемое ФБДво временной области с помощью обратного преобразования Фурье.

На самом деле мы моделируем не непрерывное ФБД, а его дискретный аналог. Моделирование начинается с создания вектора, который является ДПФ предполагаемого ФБД. После этого осуществляется ОДПФ этого вектора, что и дает требуемое ФБД, которое обозначается как {Хп}^~^. Для того чтобы величины Хп были вещественными, необходимо, чтобы удовлетворялся дискретный аналог формулы (9.15). Тоесть в дискретном случае должно быть (упр. 2в конце параграфа):

(9.21)

XQ = XQ.

Фильтрация относится к той части моделирования, когда мы заставляем коэффициенты преобразования удовлетворять степенному закону (9.16), илив дискретном виде:

Алгоритм 9.7.6 осуществляет эту процедуру для п = 1,2,..., iV/2, a затем использует условие сопряженной симметрии для вычисления остальных коэффициентов.

Алгоритм 9.7.6. (КРИВАЯ ФБД)

Назначение: строит кривую ФБД с помощью Фурье-фильтрации.

Вход:

Н (параметр ФБД: размерность кривой равна d = 2 — Н) level (определяет длину выхода)

Выход:

X (N = 2level значений ФБД)

9.7 Фильтрация Фурье • 293

Инициализация:

N = 2leve*

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к иозначает разыгрывание равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Шаги:

Х(0)=д

for j=l to N/2-1

end for

X(N/2) =

for j = N/2 + 1 to ЛГ - 1

X{j)=X{N-j) end for

Х = ОДПФ(Х)

Для построения поверхности ФБД с помощью Фурье-фильтрации мы используем ту же процедуру, чтоив одномерном случае, заменив Хп наХп,к- Условие степенной зависимости спектральной плотности в этом случае принимает вид [38]:

Условия симметрии посопряженности принимают вид (упр. 3):

294 • Глава 9 / Случайные фракталы

Алгоритм 9.7.7. (ПОВЕРХНОСТЬ ФБД)

Назначение: строит поверхность ФБД с помощью Фурье-фильтрации.

Вход:

Н (параметр ФБД: размерность поверхности равна d = 3 — Н) level (определяет размер выходного массива)

Выход:

X (массив 2level х 2level)

Инициализация:

N =

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к и означает разыгрывание равномерно распределенной наотрезке [0,1] случайной величины.

Комментарий: по определению (а+ib) = a — ib.

Шаги:

for j = 0 to j = N/2 fork = 0 to k = N/2 iftf + 1)(* + 1) > 1

/

else

г = 0 end if

Y(j,k)=rexp(2iriu) end for

end for

for j = 1 toj = N/2 for к = 1 to к = N/2 _

Y(N-j,N-k) = end for

end for

9.7 Фильтрация Фурье • 295

for к = 1 to к = N/2

Y(N-k,0) =

end for

for j = 1 to j = N/2 - 1 for к = 1 to к = N/2 - 1

//

, N - k)=r ехр(2тгш)

Y(N - j) = r exp(—2-jriu) end for

end for

Y(0,0)=0

Im(y(JV/2,0))=0 1т(У(0,ЛГ/2)) = 0 Im(F(iV/2, N/2)) = 0

X = двумерное ОДПФ (У)

Упражнения 9.7.

1.Докажите, что матрица А в выражении (9.19) удовлетворяет равенству

АА= N1,

где / есть единичная матрица N х N, и поэтому

Убедитесь в справедливости формулы (9.20):

fc=0

Указание. Сначала докажите, что

1 + С3 + С?3 + • • • + С( Л Г ~1 Ъ = (1 - С^')/(1 - Cj) = о. 2. Докажите, что если

_Х"о = XQ,

то величины Х„ вещественны при п = 0,1,... ,N — 1.

296 • Случайные фракталы

3.Докажите, что если выполняются условия сопряженной симметрии

то величины Хп^ вещественны при n, к = 0,1,..., N — 1.

Приложение А.

Дополнительные сведения из анализа

АЛ. Полнота и компактность

Критерий Коши и полнота. Пусть (X,d) — метрическое пространство (см. п. 3.2). Последовательность {хп}^=1 из X сходится

СХОДИМОСТЬ последовательности {хп}^=1 можно установить, не вычисляя предел х, при помощи критерия Коши. Именно, последовательность {жп}^-! сходится в том и только в том случае,

если для каждогое > 0 существует такой номер N > 0, что из п,т> N следует d(xn,xm) < 0.

Такая последовательность называется последовательностью Коши. Например, если X — открытый интервал (0,1) в R и

то последовательность {xn}%Li удовлетворяет критерию Коши (см. упр. 1 в конце параграфа). Ее предел х = 1 содержится в R, но не принадлежит X. Таким образом, критерий Коши указывает на существование предела даже в том случае, когда он не принадлежит исходному множеству.

Метрическое пространство (X,d) называется полным, если любая последовательность Коши из X сходится к некоторой точке из X. Можно показать, что пространство R n с евклидовой метрикой является полным. Кроме того, подмножество X пространства R n с евклидовой метрикой полно тогда и только тогда, когда X замкнуто. Более подробно полнота рассматривается в [5] и [42].

A.I Полнота и компактность • 299

Можно показать, что d(f, д) является метрикой в X и что (X, d) представляет собой полное метрическое пространство. Более того, последовательность функций {/n}£Li из X сходится к / в d-метрике

втом и только в том случае, если сходимость равномерная. Как мы видим, критерий Коши равномерной сходимости есть в точности переформулировка критерия Коши для последовательностей в (X, d). Основное утверждение, заключающееся в том, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций сам есть непрерывная функция, эквивалентно полноте пространства (X, d). Доказательства приведенных выше утверждений и дальнейшую информацию о равномерной сходимости читатель может найти

в[5] или [42].

Компактные метрические пространства. Подмножество пространства R n с евклидовой метрикой компактно в том и только в том случае, если оно замкнуто и ограничено. В случае произвольного метрического пространства множество называется компактным, если

из каждой последовательности точек {arnJJJLj из X можно выделить подпоследовательность {xnk}j£=i» сходящуюся кнекоторой точке х € X.

Это определение эквивалентно данному выше, если X С Rn . Достаточно легко показать, что если (X, d) компактно, то оно

является полным и ограниченным. В общем случае для доказательства обратного утверждения необходимо условие полной ограниченности. Метрическое пространство (X, d) называется вполнеограниченным, если для любого г > 0 множество X содержится в объединении конечного числа шаров радиуса г. Напомним, что множество X называется ограниченным, если X содержится в одном шаре некоторого радиуса г. Теорема А.1.1 суммирует все вышесказанное (см. [21, 44]).

Теорема А.1.1. Метрическое пространство (X,d) является компактным в том и только в том случае, если оно полное и вполне ограниченное.

Упражнения 1.1.

1.Покажите, что последовательность {п/(п + l)}£Li в R является последовательностью Коши.

300 • Приложение 1 / Дополнительные сведения из анализа

2.Пусть d(x, у) и р(х, у) — эквивалентные метрики в X. Покажите, что если {#„}£?_! есть последовательность Коши в d-метрике, то она является последовательностью Коши в метрике р инаоборот.

3.Пусть {xn}^-i — последовательность Коши в метрическом пространстве (X,d). Покажите, что существует константа М > 0 такая, что

d(xi,xn) < М, п = 1,2,3,

А.2. Непрерывные отображения

Пусть функция / определена на подмножестве А пространства R n и принимает значения в R m . Говорят, что/ непрерывна в точке хо £ А, если

lim /(x) = /(xo),

X—*Хо

то есть

для каждого е > О существует такое число 6 > 0, что из

||х - хо ||2 < 6, х € А, следует ||/(х) - /(хо )||2 < е.

Другими словами, функция / непрерывна в точке хо € А, еслидля каждой последовательности {х„}£?_!, сходящейся к хо, существует предел (см. упр. 8 в п. 3.2):

Отображение f : А —*• R n называется непрерывным на А,или просто непрерывным,если / непрерывно во всех точках А.

В общем случае функция / ставит в соответствие элементам одного метрического пространства (X,d\) элементы другого метрического пространства (У, di). Определения и теоремы данного раздела остаются практически без изменений, за исключением того, что следует использовать более общее определение компактности, приведенное в прил. АЛ.

Раздел математики, изучающий непрерывные отображения,называется топологией.

Инварианты непрерывности. Насинтересуют свойства исходного множества А, которые при непрерывном отображении / сохраняются без изменений у множества f(A) = {/(х) : х € А}. Такие свойства будем называть инвариантаминепрерывности.

А.2 Непрерывные отображения • 301

Множество Е в А С R n называется относительно открытым в А, если можно указать такое открытое множество G в Rn , что

Е = АГ\С Соответственно, Е называется относительно замкнутым в А, если можно указать такое замкнутое множество F в Rn , что Е = А ПF. Аналогичные определения применимы и в случае общих метрических пространств. Например, полуоткрытый интервал [0,1/2) является относительно открытым в множестве А = [0,1]. Относительно замкнутым множеством в А = (0,1) является полуоткрытый интервал (0,1/2].

Пусть Е — подмножество области значений /. Прообразом Е при отображении / называется множество

{ х б А : /(х) € Е).

Например, если /(ж) = ж2, ж € R, то /(-1)([0,1]) = [-1,1].

Теорема А.2.2. Отображение f из А С R n на В С R m непрерывно в том и только в том случае, если прообраз f(-1\E) каждогомножества Е, относительно открытого (относительно замкнутого) в В, относительно открыт (относительно замкнут) в А.

Доказательство. (Случай относительно открытых множеств.) 4=: Пусть хо G А и уо = f(xo)- Множество Е = Ве(уо) Г\В, е > О, относительно открыто в В. Так как /^^(Е) по условию относительно открыто в А, то существует такое открытое множество G в Rn , что f(~x\E) = AnG. Выберем 6 > 0 так, чтобы В6(х.о) С G. Тогда /(Вг(хо) ПА) С -Ве(уо). Следовательно, отображение / непрерывно.

=>•: Пусть хо € f(~l\E) и уо = /(хо). Так как множество Е относительно открыто в В, то существует такое открытое множество Н

непрерывности / в точке хо. Определим открытое множество G в Rn как объединение шаров B^(xo), хо 6 /^^(Е). Тогда /(G ПА) С Ь1, и поэтому f(~^(E) = AnG . Следовательно, f^~^(E) относительно открыто в А. Ш

Два специальных случая теоремы А.2.2 вполне достаточны для наших целей. Они приводятся ниже в виде двух следствий.