Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

Оглавление

Предисловие

Казалось бы, два таких разных математических объекта, как фракталы и хаос, следует изучать независимо друг от друга: ведь теория фракталов опирается на геометрию и теорию размерности, а теория хаоса есть развитие теории динамических систем. С другой стороны, между ними существует определенная взаимосвязь, которая часто теряется в деталях изложения каждой из теорий.

Данная книга, во-первых, представляет собой вводный курс теории фракталов и теории хаоса, а во-вторых, рассматривает вопрос о том, какнекоторые фракталы (аттракторы систем итерированных функций) могут порождать хаос.

В главах 2-5 рассматривается ряд важных идей и понятий, связанных с детерминированными фракталами: самоподобие, системы итерированных функций и размерность. Здесь же описаны L-системы, использование которых существенно облегчает графические построения, особенно в случае фракталов, напоминающих по форме растения.

Изложение теории детерминированного хаоса разбито на двеглавы. Глава 6, «Хаотическая динамика I», дает представление о предмете на элементарном уровне, причем такие сложные понятия, как символическая динамика, раскрываются в основном на примерах. Глава 7,«Хаотическая динамика И», в большей мере предназначена для студентов с хорошей математической подготовкой иможет быть опущена, если курс предполагается упростить. С другой стороны, именно здесь проявляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса.

Глава 8, «Комплексная динамика», посвященная множествам Жюлиа иМандельброта, выдержана в упрощенном стиле. Результаты, опирающиеся на сложные теоремы из теории функцийкомплексного переменного, не доказываются, но должным образом выделяются иинтенсивно используются. Помимо результатов теории функций комплексного переменного, изложение охватывает многие важные вопросы, например, вопрос о том, является ли множество Жюлиа связным или вполне разрывным, ответ на который дает множество Мандельброта.

6 • Предисловие

Другой, не менее важный для понимания подход развит в главе 9, посвященной случайным фракталам, в частности фрактальному броуновскому движению. Такие обобщения классического броуновского движения находят широкое применение в моделировании природных явлений. В принципе,материал этой главы можно читать

влюбое время после главы о размерности.

Воснову книги лег односеместровый курс, который я читал в университете Миссури-Колумбия в 1989-1993 гг. Слушателями были

восновном студенты, специализирующиеся по математике, естественным наукам, техническим специальностям и некоторым другим дисциплинам. Я рекомендовал им прослушать сначала продвинутый курс математического анализа и линейной алгебры, но обычно допускал к занятиям заинтересованных студентов, у которых был какой-то опыт математических исследований, будь то чистая или прикладная математика.

Вотличие от традиционного формата многих математических курсов теорема-доказательство-пример-задача, большую роль при изучении фракталов и хаоса играет компьютерное моделирование. В самом деле, большинство студентов впервые узнают о существовании фракталов, увидев потрясающие воображение картинки на дисплее компьютера. Данная книга предлагает использовать компьютерные эксперименты и теорию в совокупности, для чего в нее включены двадцать компьютерных алгоритмов. Эти алгоритмы даны в обобщенном виде, тоесть независимо от синтаксиса какого-либо конкретного языка. По моим наблюдениям, не существует языка программирования или программного пакета, который удовлетворял бы всех. Студенты, с которыми я общался, программировали на Паскале, Си, C++, Фортране, в системах Matlab и Mathematica. Одним из лучших программных продуктов для экспериментирования с фракталами является свободно распространяемая программа Fractint. Она позволяет строить разнообразные фракталы и работает замечательно быстро.

Солидная часть материала, необходимого для изучения фракталов ихаоса, включена в основной текст книги. Кратко изложены введение в теорию множеств, аффинные преобразования, метрические пространства, множества Кантора и кривые Пеано. За исключением материала седьмой главы, книга содержит только несколько доказательств, требующих серьезной подготовки науровне продвинутого курса математического анализа. Такие доказательства помечены

liptirutjiuaut - i

значком (*). Они могут быть опущены, но рекомендуется, чтобы студенты запомнили формулировки теорем. Другие, более сложные параграфы вынесены в прил. А. В результате, книга может быть использована в качестве основы для курсов разной степени сложности.

Изложение, которое придерживается глав 1-6 и 8-9, то есть исключает главу 7, «Хаотическая динамика II», и обращается к прил. Атолько всправочных целях, рекомендуется вкачестве элементарного курса. В разных семестрах яуспевал пройти часть седьмой главы и избранные параграфы прил. А, вчастности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изучения части предыдущего материала.

Черно-белые изображения в этой книге напечатаны с использованием графической подсистемы Postscript. Многие изображения созданы в программе Matlab, в которой особенно удобно строить кривые втрехмерном пространстве. Matlab также хорошо подходит для программирования и визуализации L-систем (п. 2.2), паутинных диаграмм (глава 6) и фрактального броуновского движения (глава 9). Изображения, вкоторых требовалась заливка областей, ограниченных кривыми, получены спомощью пакета Mathematica. Изображения, для которых необходима точечная графика (для данного пиксела вданный момент времени определяется его цвет, черный или белый), были сгенерированы на Фортране с последующим преобразованием выходного файла в формат Postscript. Таким способом было получено графическое представление систем итерированных функций из четвертой главы и комплексной динамики из восьмой главы. Цветные вклейки были сделаны спомощью программы Practint.

Я хочу выразить признательность за плодотворное общение моим коллегам, которых также интересует теория хаоса, фракталы и математика, связанная с этими понятиями. Во-первых, я хотел бы поблагодарить Дж. Келлера, познакомившего меня с фракталами в 1984 году, когда ему понадобилась помощь в работе над проектом по исследованию фракталов, а также его аспирантку С. Чен, замечательно владеющую предметом. Впоследствии я очень много почерпнул из оживленных дискуссий сК. Альбрандтом, К. Чиконе, Д. Петти, П. Пфайфером и П. Спекманом. Я благодарен Р.Делавару за его лекционные заметки по поводу теоремы Шарковского, а также П. Хагерти, который был моим студентом в 1993 году, за его профессиональную помощь при создании иллюстраций в пакете Mathematica.

8 • Предисловие

Большое спасибо Э. Бельтрами, А. К. Клайни, Р. В. Истону, а также М. Дж. Филду, Р. Д. Найдингеру, А. Нортону и К. Шорту, просмотревшим рукопись. Их взвешенная критика и предложения, без сомнения, положительно повлияли на окончательную редакцию.

Яочень признателен К. Хеслеру-младшему, вице-президенту компании «Jones and Bartlett Publishers», за его энергичную помощь

всоздании этого учебника. Большое спасибо П. Кэррол и М. Сервантес из «Jones and Bartlett Publishers», а также М. Финли из отдела печати, за их работу по выпуску книги.

Яхочу особенно поблагодарить мою жену Мэри, за ее терпение и поддержку в течение всего времени, пока писалась эта книга.