Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

5.2 Вычисление размерности • 141

*

Рис. 5.2. Фрактал, размерность которого находится численно

Пример. Обозначим через 5 фрактал, изображенный на рис. 5.2. Это самоподобный фрактал (N = 4, г = 0,37), теоретическая размерность которого составляет d = log(4)/log(l/0,37) = 1,3943. Как рисунок, так и данные для моделирования были получены с помощью алгоритма детерминированной СИФ (глава 4).

В результат работы алгоритма 5.2.2 были получены следующие результаты:

142 • Глава 5 / Размерность

Рис. 5.3. Зависимость log N{L) от logL

Зависимость logN(L) от logL приведена на рис. 5.3. Угловой коэффициент МНК-прямой в этом случае равен —1,3460, а значит численное значение размерности Минковского d = 1,3460.

Точечный метод. Точечный метод представляет собой альтернативный подход к вычислению размерности фрактала [45]. Рассмотрим сетку, покрывающую весь фрактал. Ее узлы будем называть ячейками. Каждую ячейку, имеющую с фракталом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно, что именно эта схема реализуется при графическом выводе фрактала на экран как массива пикселов. В этом параграфе «подсчет числа точек в клетке» означает подсчет числа ячеек (или пикселов) в клетке. Это не то же самое, что считать действительное число геометрических точек в клетке — ведь их бесконечно много. Точечный метод принципиально отличается от клеточного; в первом подсчитывается число точек в клетке, а во втором — число клеток, необходимых для покрытия фрактала.

5.2 Вычисление размерности • 143

Для упрощения вычислений будем считать клетки квадратными. Размер L клетки означает число ячеек по каждой стороне. Ограничимся нечетными значениями L; в этом случае центральная ячейка клетки будет равноудалена от всех сторон. Сначала вычислим вероятности Р(т, L) того, что клетка размера L содержит т точек (ячеек) фрактала. Для этого вокруг каждой точки фрактала, считая ее центральной, построим клетку размера L и подсчитаем число точек, попавших в нее. Предположим, что фрактал содержит М точек. Тогда Р(т, L) равно числу клеток, содержащих т точек, т = 1,...,М, деленному на М. Заметим, что сумма всех вероятностей равна единице:

м

m =l

Как и в предыдущем алгоритме, N(L) есть число клеток размера L, необходимых для покрытия фрактала. Как подсказывает интуиция, число клеток размера L, содержащих т точек, равно (Mlm)P(m,L). Поэтому оценка числа клеток, покрывающих все изображение, равна

где К — возможное число точек в клетке. Следовательно,

к

N(L)=

m=l

также пропорционально L~d и может быть использовано для оценки фрактальной размерности d.

Алгоритм 5.2.3. (РАЗМЕРНОСТЬ МИНКОВСКОГО II)

Назначение: вычисляет d через P(m,L).

Вход:

S (бинарная матрица J х К фрактала) J, К (размеры S)

Lmax (максимальный размер клетки, нечетное целое)

Выход:

d (оценка размерности Минковского)

if m > 0, P(m, L) = P(m, L) + 1, end if end for

end if end for

end for

Замечание: для удобства вместо Р(т, L) вычисляется аР(т, 2L +1), где а — несущественная константа.

for j = 1 to LM2 s =0

for i = 1 to Lluu.

s = s + P(m,L)/i end for

N(j) = s end for

for L = 1 to LM2 a = log(2L + 1) VL = log(7V(L))

end for

найти МНК-прямую по точкам (£/,, гц,), L = 1,..., Lmax d = модуль углового коэффициента МНК-прямой

Практически, как в клеточном, так и в точечном методе не удается определить размерность Минковского с точностью более одного или двух десятичных разрядов, что, конечно, не всегда приемлемо. Тем не менее, численная оценка размерности Минковского может применяться для распознавания образов. Например, с помощью

5.2 Вычисление размерности • 145

Рис. 5.4. Зависимость logN(L) от logL

фрактальной размерности можно отличить контур дерева от очертания гор на фоне неба. В первом случае обычно d a 1,5, а во втором

— d a 1,2.

Точность вычислений может быть проиллюстрирована следующим примером. Численно оценивалась фрактальная размерность ковра Серпинского, теоретическое значение которой нам известно из построения: d = log 3/log 2 а 1,5850. Использовалось изображение фрактала размером 300 х 300 пикселов, причем вокруг него был оставлен белый фон — граница в 20 пикселов шириной, так что полное изображение занимало 340 х 340 пикселов. Размер клетки L пробегал все нечетные значения от 3 до 21. На рис. 5.4 приведен график зависимости log N(L) от log L.

На первый взгляд, график почти не отклоняется от прямой. Однако если провести МНК-прямую (алгоритм 5.2.1) для всех наборов из четырех последовательных точек, то получим следующие значения d (угловые коэффициенты, взятые с обратным знаком):

146 • Глава 5 / Размерность

1,6555

1,6147

1,5888

1,5744

1,6105

1,6301

1,5959

Таким образом, оценка фрактальной размерности имеет лишь один верный десятичный разряд (с!= 1,6).

Упражнения 5.2.

1.Отложим классическое множество Кантора надиагонали единичного квадрата [0,1] х [0,1]. Нанесем сетку с шагом l/3n , n — 1,2,3,..., как по горизонтальной, так по и вертикальной оси. Определить размерность Минковского множества Кантора.

2.Следующие результаты были получены приопределении размерности Минковского некоторого фрактала. Построить наилучшую в смысле среднеквадратичных отклонений прямую log(iV(L)) от log(L). Определить значение размерности Минковского.

L N(L)

22502

31270

4854

5622

6447

7354

8309

9246

10208

11178

3.Вывести систему уравнений (5.11) (задача об МНК-прямой).

40N

30N

40

x

Рис. 6.1. Аттрактор Лоренца

уравнений:

dx/dt = а(—х + у), dy/dt = rx — у — xz, dz/dt = —bz + xy.

В дальнейших расчетах параметры а, г и b постоянны и принимают значения а = -10, г = 28 и 6 = 8/3.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого

6.1 Аттрактор Лоренца • 149

Рис. 6.2. Результаты численного эксперимента Лоренца

момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (см. рис. 6.1, 6.2).

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий — основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долго-