Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

9.2 Броуновское движение • 261

Условная вероятность события А при заданном событии В обозначается Р(А/В). Формальное определение марковского процесса:

P(X(tk)<xk

= P(X(tk) < xk

где

h <t2--- <tk.

Величина приращений.

Теорема 9.2.1. Пусть X(t) — броуновскоедвижение наинтервале [а,Ь].Тогдаматематическое ожидание приращения равно

Доказательство. Если случайная величина X имеет плотность вероятности f(t), то математическое ожидание функции г(Х) равно [10, п.4.1]:

E[r(X)} = I r{t)f{t)dt.

—оо

Соответственно, при ti > t\,

+оо

ты -

+оо

После подстановки s = u/y/2cr2(t2 — t{) и упрощения получаем:

+ОО

E[\X(t2) - Х(и)\] = y/2~/^<ry/t2 - h I 2sexp(-s2)ds

о

•I лава У / случайные д>риктилы

Рис. 9.6. Броуновская поверхность

случае, двумерное броуновское движение почти наверное недифференцируемо. Фрактальная размерность двумерного броуновского движения равна d = 2,5. Доказательство этого факта проводится аналогично доказательству для одномерного случая (упр. 1 в конце параграфа).

Поверхность, изображенная на рис. 9.6, фактически является графиком функции тах(Х, 0), где X — броуновская поверхность. Она напоминает горный массив, поднимающийся над поверхностью моря. В п. 9.4 мы покажем, как можно моделировать более реалистичный горный ландшафт с меньшей фрактальной размерностью (равной d — 2,2). Труднее ответить на вопрос, чему равна фрактальная размерность береговой линии (линии уровня) двумерного броуновского движения. Ответ таков: d - 1, что равняется 1,5 в данном случае [1].

Упражнения 9.2.

1.Докажите, что размерность поверхности двумерного броуновского движения равна d — 2,5, по аналогии с доказательством для размерности в одномерном случае (d = 1,5).

у.з upecfuHHoe смещение •

2.Докажите, что одномерное броуновское движение X(t) не монотонно (почти наверное) на любом интервале.

3.Докажите, что если X(t) — одномерное броуновское движение и О < А < 1/2, то X(t) удовлетворяет (почти наверное) условию равномерности Гельдера

4.Пусть Xi(t) и X2(t) — независимые одномерные броуновские движения, определенные для 0 < t < 1. Докажите, что путь на плоскости, заданный в виде f(t) = (A"i(<),.X2(£)), 0 < t < 1, имеет фрактальную размерность d = 2 (почти наверное).

5.Пусть X\(t),X2(t) и Xs(t) — независимые одномерные броуновские движения, определенные для 0 < t < 1. Докажите, что путь

9.3. Срединное смещение

Возникновение метода случайного срединного смещения, применяемого как для моделирования, так и для конструктивного доказательства существования броуновского движения, восходит к работам Винера, выполненным в 20-х годах. Он может показаться несколько более сложным по сравнению с рассмотренным выше методом суммирования гауссовских случайных чисел. Однако, этот метод необходим, когда фрактальная кривая должна проходить через заданные точки — своего рода фрактальная интерполяция. Метод также обобщается на случай двух и более измерений, то есть на случай n-мерных броуновских движений.

В следующем алгоритме реализация X(t) вычисляется на диадических рациональных числах, то есть в точках к/2п интервала [0,1]. Реализация X(t) строится последовательно в конечных точках 0 и 1, затем в 1/2, потом в 1/4 и 3/4 и так далее, причем таким образом, что закон дисперсии для приращений (9.3) выполняется для этих точек. Первая и вторая итерации представлены на рис. 9.7. Параметр а выбирается заранее и просто определяет масштаб по вертикальной оси, не воздействуя на фрактальную размерность реализации. В тексте программы каждое появление буквы g в формуле означает новый

9.3 Срединноесмещение • '267

Теорема 9.3.3. Значения X(t), полученные в результате работы алгоритма срединного смещения (9.3.1), удовлетворяют закону дисперсии (9.3).

Доказательство. Начиная с Х(0) = 0 и Х(1) =ад, получаем

D[X(1) - Х(0)} =D[ag] = а2.

Так как

Х(1/2) = ±(Х(0) +Х(1)) + -ад,

1 1 [Х(1/2) - Х(0)] = -(Х(1) - Х(0)) + -ад.

Два слагаемых в правой части представляют собой независимые события, ипоэтому

D[X(l/2) - Х(0)} = j

1 9 1 9 1

= Г +Г =2

что согласуется с (9.3). Подобным же образом

D[X(1) - Х(1/2)] = \а\

На шаге 2 получаем

Х(1/4) - Х(0) = |[Х(1/2) - Х(0)]

и следовательно,

[

— 1 2 -i. 1 2 — - 2

Аналогично:

D[X(l/2) -

= D[X(l)-X(3/4)]

268 • Глава 9 / Случайные фракталы

Продолжая таким же образом до n-го шага, получаем

2") - Х(0) = \[Х{\/2п-1) - Х(0)] +

Дисперсии, соответствующие интервалам [&/2п, (& + 1)/2"], вычисляются аналогично.

Итак, закон дисперсии (9.3) выполняется для всех интервалов вида [к/2п, (к+ 1)/2п]. Осталось показать, что он выполняется также и для интервалов вида [к/2т,р/2п], 0 < к/2т < р/2п < 1. Без потери общности можно положить т = п и к < р. Для упрощения введем U —i/2n. Получаем

р-1

X(tp) - X(tk) = ^2(X(xt+1) - Х(хг)),

так что

p-i

D[X(tp) - X(tk)} =

г=к

р - 1

•п 2п

г=к

то есть закон дисперсии (9.3) выполняется. •

Алгоритм срединного смещения может быть обобщен для моделирования броуновского движения на плоскости и в пространстве. Изображение двумерного броуновского движения В(х, у) в виде броуновской поверхности приведено на рис. 9.6.

Алгоритм для двумерного броуновского движения представляет собой частный случай алгоритма 9.5.5, приведенного в п. 9.5. В качестве значения X в середине квадрата берется среднее по его вершинам плюс случайное смещение дг, где д — нормальная случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а г — величина смещения, которая зависит от текущего шага построения.

D

Рис. 9.8. Построение броуновской поверхности

Присваивания осуществляются вдва этапа: квадраты состоронами, параллельными осям координат, чередуются с квадратами, образованными диагоналями. Это поясняет рис. 9.8, гдевеличины Х(А), Х(В), Х(С), X(D), X(E) и X(F) предполагаются уже заданными. На первом этапе мы определяем X{G) и Х(Н) по формулам

X(G) = -

где

г =r/V2.

После этого приступаем ко второму этапу:

Х{1) =\[X{G) + Х{В) +Х(Н) + Х(Е)\ + gr.

В граничных точках формулы изменяются: производится усреднение поимеющимся граничным точкам сдобавлением соответствующих случайных смещений.

9.4. Фрактальное броуновское движение

Классическое броуновское движение, рассмотренное выше, представляет собой хорошую модель марковских случайных фракталов, для которых условная вероятность того, что Xfa) достигнет определенного значения призаданном X(t\) {t\ <t2),зависит только от t\

270 • Глава 9 / Случайные фракталы

Рис. 9.9. Реализации ФБД: Я =0,2; 0,4; 0,6 и0,8

и *2,а не от поведения X(t) приt < t\. Ясно, что существует необходимость введения такого случайного процесса, который обладал бы некоторой памятью. Такой процесс получил название фрактального броуновского двмокения (ФБД) и был исследован Мандельбротом и Ван Нессом в 1968 году [33].Какотмечается в [33],ФБД в неявном виде рассматривалось ещеКолмогоровым в 1940 году [27].

Для аппроксимации фрактального броуновского движения нет простого метода, вроде суммирования гауссовских случайных величин, как в случае классического броуновского движения. С математической точки зрения наиболее логичным представляется использование аппарата Фурье. Этот подход будет описан в п. 9.6. Многие исследователи и в этом случае использовали метод срединногосмещения, но при этом не получается настоящее ФБД. Такой подход и его недостатки рассматриваются в п.9.5.

Фрактальное броуновское движение удобно определить при помощи параметра Н, 0 < Н < 1. ПриН = 1/2 фрактальное броунов-