Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

Доказательство. Во-первых, заметим, чтомножество Е связно в том итолько втом случае, если оно неявляется объединением двух непустых непересекающихся относительно открытых в Е множеств (упр. 2 в конце параграфа).

Предположим, чтомножество f(A) несвязно. Тогда f(A) = CUD, где С и D — непустые непересекающиеся относительно открытые в f(A) множества. По следствию А.2.1, множества f^~l\C) и f(~*\D) относительно открыты в А и не пересекаются, а значит множество А = f(~x\C) U /(~X)(Z)) не является связным, что противоречит условию. •

Топологические инварианты. Если функция / отображает Ана

В взаимно однозначно, то существует обратная функция /("*):

/ < - % ) = х, где у = /(х).

Например, функция f(x) = ex отображает вещественную прямую R на R + взаимно однозначно. Обратной функцией для нее является f(~^(x) = log ж. В общем случае обратная функция может быть и разрывной, даже если функция / непрерывна (упр. 3 в конце параграфа). Однако, если А компактно, то функция /(- 1 ) непрерывна (теорема А.2.5 ниже). Взаимно однозначная непрерывная функция, обладающая непрерывной обратной, называется гомеоморфизмом

или топологическим отображением. Вэтом случае множества А и В называются гомеоморфнымиили топологически эквивалентными.

Свойства множеств, которые сохраняются пригомеоморфизме, называются топологическими инвариантами. Двумя такими свойствами являются компактность и связность. Упомянем также полную несвязность и совершенность множеств.

Теорема А.2.5. Если f : А —* В есть взаимно однозначное непрерывное отображение компакта А наВ, тообратнаяфункция /(- 1 ) : В —* А также непрерывна,то есть / является гомеоморфизмом.

Доказательство. По следствию А.2.2, достаточно показать,что образ f(F) каждого замкнутого множества F С А замкнут. Пусть у„ = /(xn ) e F и уп -»• у при п -* оо. Докажем, что у G f(F).

Из этого следует, что у = /(х), и поэтому у G/(F). •

Теорема А.2.6. Свойство быть канторовым множеством является топологическим инвариантом. Это означает, что если А гомеоморфноВ, причем А компактно, совершеннои вполне несвязно, то В также компактно, совершеннои вполне несвязно.

Доказательство. Пусть / — гомеоморфизм из А на В. Так как множество А компактно, а отображение / непрерывно, то по теореме А.2.3 множество В = f(A) также компактно.

По теореме А.2.4, связность является топологическим инвариантом. Если С — компонента f(B), то f^~:\C) есть связное множество в А. Так как А вполне несвязно, то его составляющими являются отдельные точки. Таким образом, С должно быть отдельной точкой. Отсюда следует, что В также вполне несвязно.

Так как А совершенно, то А замкнуто и не имеет изолированных точек. Мы уже знаем, что В компактно, поэтому оно также замкнуто. Предположим, что у = f(x) — изолированная точка В. Тогда существует множество U, относительно открытое в В, которое не содержит никаких других точек из В, кроме у. Но тогда /(~г\и) будет относительно открытым множеством в А, не содержащим никаких других точек из А, кроме х, что противоречит условию (множество А совершенно). Следовательно, множество В не имеет изолированных точек, а значит совершенно. •

Топология и фрактальный анализ. Топологические отображения (гомеоморфизмы) не сохраняют метрические свойства множеств. Наглядной иллюстрацией этого обстоятельства может служить фрактал, нарисованный на резиновой пленке, которая затем неравномерно растягивается по разным направлениям. Получаемая в результате конфигурация гомеоморфна оригиналу, но такие свойства, как самоподобие и фрактальная размерность, не сохраняются. В теории фракталов соображения, связанные с непрерывностью, несмотря на их важность, ограничиваются анализом свойств, которые могут быть описаны в терминах открытых и замкнутых множеств. И

А.3 Метрика Хаусдорфа II • 305

хотя содержание теоремы А.2.6относится к фрактальному анализу, но посути оначисто топологическая. Такие метрические свойства, как фрактальная размерность, оказываются утерянными. Еще меньше можно сказать ометрических свойствах множеств, которые представляют собой просто непрерывные образы классического множества Кантора. Можно показать, что каждое компактное метрическое пространство является таким множеством [21].

Условия, болеа сильные, чемнепрерывность, например, условие Липшица (п. 3.3), часто используются в фрактальном анализе. В главе 5 было доказано, что если А отображается на В с помощью взаимно однозначного преобразования, удовлетворяющего условию Липшица, причем обратное отображение также удовлетворяет этому условию, то А и В имеют одну и ту жефрактальную размерность.

Упражнения 1.2.

1.Докажите следствия А.2.1 и А.2.2.

2.Докажите, чтомножество А связно в том и только в том случае, если оно неявляется объединением двух непустых непересекающихся множеств, которые относительно открыты в А.

3.Покажите, что функция /(ж) = егх, 0 < х < 2тг, взаимно однозначна и непрерывна, но обратная к нейфункция не является непрерывной.

4.Пусть Т\,...,Тт — сжимающие отображения на Rn , К — ком-

пактное множество в Rn , T(K) = Ti(K)\J.. XiTm(K) (как вп. 4.1). Докажите, что Т(К) компактно.

А.З. Метрика Хаусдорфа II

Мы продолжим обсуждение расстояния Хаусдорфа между двумя множествами в Rn , начатое в п. 3.5. Через К.обозначим совокупность всех непустых компактных подмножеств Rn . Несмотря на то, что в качестве основной метрики на R n мы принимаем евклидову метрику, определения и теоремы настоящего раздела применимы и к произвольной полной метрике, включая ир-метрики наRn . Иначе говоря, каждой полной метрике соответствует некоторая метрика Хаусдорфа на/С. Упражнения содержат примеры использования так называемой манхэттенской метрики.

306 • Приложение 1 / Дополнительные сведения из анализа

Рис. A.I. d(x,E)

Определим расстояние между точкой х € Rn имножеством Е С Rn следующим образом (рис. А.1):

=min{\\x-y\\2:y€E}. (А.4)

Предостережение: расстояниездесь идалее в этом приложении не должно автоматически интерпретироваться как метрика в соответствии с определением из п. 3.2. Некоторые расстояния, которые мы рассмотрим, не удовлетворяют аксиомам метрики.

Строго говоря, следует использовать inf вместо min в определении d(x, Е). Однако, так как множество Е предполагается компактным, тоinf{||x — у||2 : у Е Е} фактически означает то же самое, что и min{||x — у||2 : у € Е} (упр. 5 в конце параграфа).

Обобщим понятие расстояния от точки х до компактного множества Е. Определим расстояние между двумя компактными множе-

А.З Метрика Хаусдорфа II • 307

Е

Рис. A.2.d(E,F)

Строго говоря, следует использовать sup вместо max, но вследствие того, что оба множества компактны,корректно и использование max. Более того, всегда существуют такие точки хо € Е и уо € F, что d(E,F) = ||хо — уоЦг (упр. 6 в конце параграфа).

Естественно задать вопрос: является ли расстояние d(E,F) метрикой? Очевидно, нет. В частности, если Е С F, причем Е Ф F, то d(E,F) = О (упр. 8 в конце параграфа), что нарушает одно из свойств метрики.

Так что же, поиск метрики для К обречен на неудачу? К счастью, нет. Фактически, мы остановились слишком рано. Нам потребуется еще несколько новых понятий.Для вещественных чисел а и Ьвведем:

aVb — max{a,6}, аЛб = min{a, ft}.

31U • Приложение 1 / дополнительные свеоения из

Так как это неравенство верно при любом е € Е, то

d(E, G) < d(E, F) + d{F, G). m

Рассмотрим, как можно использовать метрику Хаусдорфа. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Напомним, что последовательность {жп}^.х из X сходится к точке х € X в d-метрике, если

lim d(xn,x) — 0.

п—>оо

Если «точки» — непустые компактные множества Еп и Е, причем используется метрика Хаусдорфа, то утверждение о сходимости принимает вид:

На практике определить расстояние Хаусдорфа между двумя множествами бывает непросто. К счастью, имеется альтернативный подход, позволяющий глубже понять метрику Хаусдорфа. Он связан с понятием расширения (дилатации), введенным в п. 3.5.

Для заданного множества Е в R n и радиуса г > 0 расширение Е радиуса г, обозначаемое как Е + г, определяется как векторная сумма Е + Вг(0), где Д-(О) — замкнутый шар радиуса г с центром в начале координат (рис. 3.2). Это можно записать и в следующем эквивалентном виде:

Предостережение: в некоторых книгах расширения определяются с помощью открытых шаров, в то время как мы используем замкнутые шары. Наше предпочтение связано с незначительным упрощением доказательства следующей теоремы.

в том случае, если Е С Е + е. Из соображений симметрии такое же

IX,\J ±ГЛЫ1Ьу1ЛП,1А " U J. J.

рассуждение приводит ктому, что d(F, Е) < е в том и только втом случае, если F С Е+ е. Предположим, что d(E, F) < е.Тогда для любой точки х € Е имеем d(x, F) <е, откуда следует, что х € F +е. Поэтому Е С F + е.

Обратно, если i? С F +е, тогда для каждой точки х € F существует точка у € F такая, что d(x,y) < e. Из этого следует, что d(x, F) < е для всех х € F и поэтому d(£, F) < е. Ш

Следствие А.3.3. Пусть Е и Еп, п = 1,2,3,... —компактные

множества. Тогда limn_,Oo-E'n = Е в метрике Хаусдорфа в том и только в том случае, если для каждого £ > 0 существует такой номер N, что из п> Nследует

ЕпсЕ + е и ЕсЕп + е.

Следствие А.3.4. Пусть Еп, п = 1,2,3,... —непустые компактные множества, упорядоченные по убыванию:

Пусть

E=f)En.

Тогда Е непусто и компактно, и существует предел

lim En = E

п

в метрике Хаусдорфа.

Доказательство. Множество Е непусто и компактно вследствие стандартной теоремы окомпактных множествах [42]. В соответствии со следствием А.3.3 надо показать, что для любого е > О существует целое N такое, что из п > N следует

ЕпсЕ + е и Е сЕп + £.

Так как множества упорядочены по убыванию, то Е С Еп, а значит нам необходимо рассмотреть только первый случай. Множество