Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

1.3 Хаос и фракталы • 201

на символьном пространстве, наиндуцированное отображение, действующее на аттракторе. Детали наиболее просто воспринимаются в том случае, когда аттрактор вполне несвязен, то есть является канторовым множеством.

Рассмотрим итерированную систему функций,состоящую из полного метрического пространства X и сжимающих отображений 7\, Т<1, ..., T/v, действующих на X. Будем предполагать, что коэффициенты сжатия равны Si,S2,-.. ,Sjv? соответственно, и что s = max{si, S2,.. •, SN}. ПО теореме 4.1.2 (Хатчинсона), итерированная система функций

EQ = компактное множество (произвольное)

сходится к единственному компактному аттрактору Е.

Мы связываем с этой системой итерированных функций символьное пространство £ на N элементах, описанное в п. 7.2. В первую очередь рассмотрим отображение множества £ нааттрактор Е.

Теорема 7.3.8. Пусть а — а\О2&ъ--- € S. Для каждого х € X предел

существует и его значение не зависит отвыбора х GX. Функция Ф отображает Е на аттрактор Е.

• Доказательство. Пусть Т — оператор Хатчинсона (см. (4.1)):

Т(А) =ТХ{А) U T2(A) U• • • U TN(A),

где А — любое компактное подмножество X. Выберем х G X и обозначим через {х} множество, состоящее из единственной точки х. Определим

Cx = {x}UT({x})UT2({x})U---.

Из теоремы 4.3.3следует, что множество Сх можно рассматривать как аттрактор СИФ со сгущением, причем множеством сгущения является множество {х}. Роль Сх в данном случае заключается в том, чтобы заменить возможно некомпактное множество X на

202 • Глава 7 / Хаотическая динамика II

компактное множество, на котором Ti,...,TV действуют как СИФ. Отметим, что Сх является инвариантным множеством для каждого Тг и что основной аттрактор Е является подмножеством Сх. Для любых положительных целых I > к,

где 6(СХ) есть диаметр Сх. Это следует из повторного применения неравенств сжатия

Неравенство (7.6)справедливо длялюбого х GЕ, а значит последовательность {Та1ТС2 • ••Tak(x)}^L1 удовлетворяет критерию Коши (см. прил. АЛ) сходимости в полном метрическом пространстве Сх, то есть призаданном е > 0 существует целое К > 0 такое, что если

/ > К и к > К, то

\\ТахТ^ ... Та1(х) - Т^Т^ ... TCTfc(x)||2 < e.

Таким образом, сходимость к пределу в выражении (7.5) доказана. То, что этот предел принадлежит аттрактору Е, следует из теоремы Хатчинсона. Для доказательства независимости этого обстоятельства от выбора х GЕ положим, что х\ и х% — две начальные точки из X. Будем теперь рассматривать множество {жь^г} какмножество сгущения, а через С обозначим результирующий аттрактор СИФ со сгущением. Рассуждая как и выше, получаем

\\Та1Т„2...Г^Оп) - Т а х Т п . ..Т„к(х2)\\2 < sk6(C).

Правая часть стремится к нулю при к —+• оо. Из этого следует

Осталось показать, что Фотображает S на Е. Пусть е € Е. Так как

Е = Тг(Е)иТ2(Е) l)---UTN(E),

то существуют а\ € { 1 , . . . , N} и t\ GЕ такие, что

1.3 Хаос и фракталы • 203

Аналогично, существуют индексы сг2,сгз,... и точки ег,ез,... в Е, для которых

откуда следует, что если а = аустгог • • -, то Ф(х) = е.

Теорема 7.3.9. Отображение Ф : S —»• Е, определенное формулой (7.5), непрерывно.

• Доказательство. Пусть ф(о~) = е и пусть дано е > 0. Найдем 6 > 0 такое, что если Ф(т) = / и d(a, т) < 6, то ||е - /||2 < е.

Пусть о = o\o~%az... и г = Т1Г2Т3... Если для некоторого к > 0

то должно иметь место равенство аг = г,, г = 1,2,...,/: (упр. 7 из п. 7.2). Более того, из неравенства (7.6) следует

« е -

Найдем к из условия s ^ C ^ ) < е, а,6 выберем таким, чтобы выполнялось неравенство 6 < l/(N + 1)к. ш

Пример. В качестве простейшего примера отображения Е нааттрактор рассмотрим СИФ, определенную преобразованиями:

Ti(x) = |ж,

206 • Глава 7 j Хаотическая динамикаII

Но множества в правой части неимеют общих точек, так какаг — тг для г = 1,2,... ,k — 1 и каждое TCt{= TTt) отображает непересекающиеся множества на непересекающиеся множества. Таким образом, Ф(о-) ф ф(г). •

На основании теоремы 7.3.10 можно определить функцию (3:

Это определение не очень информативно. Конечно, его достаточно для того, чтобы представить, что/3действует наточках Е точнотак же, как обратный сдвиг действует на символьном пространстве £. Оказывается, можно задать функцию /3 в терминах отображений Т\, Тг,..., Тдт и аттрактора Е.

Теорема 7.3.11. Для каждого х 6 Е значение 0(х) определяется следующим образом:

где г — единственный индекс, для которого х € Тг(Е).

Доказательство этой теоремы оставлено в качестве упражнения (упр. 2 ниже).

Приведенная ниже теорема обобщает факты, связанные с полностью несвязным случаем.

Теорема 7.3.12. Положим, что взаимно однозначные сжимающие отображения Т\, Т%, ..-, Тм определяют вполне несвязную СИФ, имеющую аттрактор Е. Пусть S — символьное пространство, определенное на N символах. Отображение Ф, определенное формулой (7.5), есть взаимно однозначное отображение S на Е. Индуци-

(5 : Е —» Е становится топологически сопряженным по отношению

7.4 Подъем • 207

Упражнения 7.3.

1.Докажите, что аттрактор Е вполне несвязной СИФ представляет собой вполне несвязное множество.

2.Докажите теорему 7.3.11, заключающуюся в том, что длякаж-

дого х € Е значение /3(х) определяется как /3(ж) = Т~г(х), где i

—единственный индекс, для которого х € Тг{Е).

7.4.Подъем

Хаос: не полностью несвязный случай. В предыдущем параграфе мы показали, как вполне несвязная СИФ индуцирует хаотическую функцию на своем аттракторе. В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда СИФ не является вполне несвязной. Основной результат заключается в том, что такая СИФ может быть поднята в высшую размерность, где онабудет уже вполне несвязной, а получающийся аттрактор и динамическая система проектируются назад в пространство меньшей размерности.

Не полностью несвязный случай может быть реализован двумя способами. Первый из них называется случаем чистого касания, а

второй называется случаем наложения.

Пример 1. Пример СИФс чистым касанием выглядит следующим образом:

ад = \х,

Аттрактором в этом случае служит интервал [0,1]. Термин чистое касание происходит из-за того, что

Ti([0,l]) ПТ2([0,1]) = [0,1/2] П [1/2,1] = [1/2].

Так как Т]~1(ж) = 2х и Т2~1(:г) = 2х — 1, то невозможно определить единственное значение для /3(1/2), которое бы давало

74 Подъем • 209

новая функция / является взаимно однозначной и содержит в себе всю информацию о функции /.

Применим эту методику подъема к функции Ф : S —•Е, заданной

Теперь нам осталось сделать принципиальный шаг. Мы должны изменить исходную СИФтаким образом, чтобы ее аттрактором стало множество Ё. Для этого поднимем отображения Т\,..., TN с X (через X обозначен аттрактор Е) на X = S х Е.

Тогда (X, d) есть компактное метрическое пространство, поднятые отображения

Л^ — 1

§ (ЛГ

К а к известно из упр. 7 п. 3.3, d является метрикой на X. Как следует из определения d, топология (X, d) представляет собой топологию произведения Е х X. Так как Е и X компактны, то компактно и их произведение. Это локачьжярт

210 • Глава 7 / Хаотическая динамикаII

Сжимающий характер Тг также следует из результатов упр. 7 п. 3.3. Коэффициент сжатия для Т, можно положить равным s^ = max{c, Sj}, где вг есть коэффициент сжатия Тг.

Остается определить аттрактор для поднятой СИФ. Как следует из теоремы 7.3.8, отображение из S в I , определенное как

переводит Е в аттрактор, а предел не зависит от выбора (т, х) € X. Фактически, это то же отображение, что и Ф,определенное формулой (7.10). По построению

ОхТ^ ... Так{х)).

Справедливо также

lim

fc—>оо

в силу того, что

сю I

d(a1a2...crfcT,<7)= ^

Приведенные утверждения доказывают, что предел в формуле (7.12) равен (<т, Ф(сг)), то есть Ф(а). Таким образом, аттрактор поднятой СИФ является графиком Ё функции Ф. Ш

Как и в случае исходной СИФ, мы ограничиваем действие отображений аттрактором. То есть преобразования Тг действуют лишь на Ё, а не на множестве S х Е, на котором они были первоначально определены. Рассмотрим диаграмму

Так как Ф взаимно однозначная функция, то поднятая СИФ является вполне несвязной, и по теореме 7.3.12 индуцированное отображение

хаотично на Ё.