Федеральное агенство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет Финансы и кредит

Специальность Бакалавр экономики

Контрольная работа

по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант №6

Выполнила:

Студентка Лапоухова Н. А.

Курс III (второе высшее)

Группа 21 БЭ

Личное дело № 11 ФЛД 60586

Преподаватель: Проф. Горбатков С.А.

Уфа – 2012 г.

Содержание

стр.

Задача 1………………………………………………………………….3-20

Задача 2………………………………………………………………...21-28

Список литературы……………………………………………………….29

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области.

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с Х.

2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного c Y.

4. Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

5. По модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представьте графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆-коэффициентов.

Таблица 1. Исходные данные

Номер наблюдения	Y - цена квартиры (тыс. долл.)	X3 - общая площадь квартиры (кв.м)	Х5 - этаж квартиры	Х6 - площадь кухни (кв.м)
41	38	41,9	12	9,5
42	62,2	69	9	10
43	125	67	11	8
44	61,1	58,1	10	10,6
45	67	32	2	6
46	93	57,2	1	11,3
47	118	107	2	13
48	132	81	8	11
49	92,5	89,9	9	12
50	105	75	8	12
51	42	36	8	8
52	125	72,9	16	9
53	170	90	3	8,5
54	38	29	3	7
55	130,5	108	1	9,8
56	85	60	3	12
57	98	80	3	7
58	128	104	4	13
59	85	85	8	13
60	160	70	2	10
61	60	60	4	13
62	41	35	10	10
63	90	75	5	12
64	83	69,5	1	7
65	45	32,8	3	5,8
66	39	32	3	6,5
67	86,9	97	10	14
68	40	32,8	2	12
69	80	71,3	2	10
70	227	147	2	20,5
71	235	150	9	18
72	40	34	8	11
73	67	47	1	12
74	123	81	9	7,5
75	100	57	6	7,5
76	105	80	3	12
77	70,3	58,1	10	10,6
78	82	81,1	5	10
79	280	155	5	21
80	200	108,4	4	10

РЕШЕНИЕ:

1. Для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции используем инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel):

• выберем команду Сервис Анализ данных  Корреляция ОК;

• в диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал введем диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Так как введены заголовки столбцов, то установим флажок Метки в первой строке;

• выберем в качестве параметра вывода Новый рабочий лист и нажмем ОК.

В результате получим матрицу парных коэффициентов корреляции (табл.2).

Таблица 2. Матрица парных коэффициентов корреляции

	Y	X3	X5	X6
Y	1
X3	0,892	1
X5	-0,071	-0,026	1
X6	0,616	0,727	0,008	1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (табл. 2) показывает, что зависимая переменная (Y) - цена квартиры, имеет:

• с общей площадью квартиры - прямую, тесную связь =0,892), т.к. , :[0,7-0,9];

• с этажом квартиры – связь обратная, слабая (связи практически нет, = - 0,071) , т.к. , :[0-0,3];

• с площадью кухни - связь умеренная =0,616), т.к. , :[0,5-0,7].

2. Строим поле корреляции результативного признака (цена квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора (общая площадь квартиры), используя Мастер диаграмм в Excel, тип диаграммы – точечная (рис.1).

Рис.1 Поле корреляции

3. Для расчета параметров линейной парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного c Y проведем регрессионный анализ, выполняя следующие действия:

• выберем команду Сервис Анализ данных  Регрессия  ОК;

• в диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введем адрес диапазона ячеек, которые содержат значения независимых переменных, в нашем случае это будет Х₃ . Так как введены заголовки столбцов, то установим флажок Метки в первой строке;

• выберем в качестве параметра вывода Новый рабочий лист;

• В поле Остатки поставим флажок и нажмем ОК.

Результат регрессионного анализа представлен в табл.3,4,5,6.

Вывод итогов для однофакторной модели регрессии:

Таблица 3. Регрессионная статистика

Множественный R	0,892
R-квадрат	0,796
Нормированный R-квадрат	0,791
Стандартная ошибка	26,207
Наблюдения	40

Таблица 4. Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	101909,516	101909,516	148,377	1,082∙10-14
Остаток	38	26099,478	686,828
Итого	39	128008,994

Таблица 5.

Переменная		Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	а0	-14,888	10,395	-1,432	0,16	-35,932	6,155
X3	а3	1,592	0,131	12,181	0	1,328	1,857

Во втором столбец таблицы 5 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₃.

Уравнение линейной модели для фактора х₃ имеет вид:

ŷ =-14,888+1,592х₃

Таблица 6. Вывод остатка

Наблюдение	Yi		Предсказанное Y		Остатки ei=yi-ŷi
1	38		51,833		-13,833	0,364
2	62,2		94,987		-32,787	0,527
3	125		91,803		33,198	0,266
4	61,1		77,630		-16,53	0,271
5	67		36,069		30,932	0,462
6	93		76,197		16,803	0,181
7	118		155,499		-37,499	0,318
8	132		114,096		17,904	0,136
9	92,5		128,269		-35,769	0,387
10	105		104,542		0,459	0,004
11	42		42,438		-0,438	0,010
12	125		101,198		23,802	0,190
13	170		128,428		41,572	0,245
14	38		31,291		6,709	0,177
15	130,5		157,091		-26,591	0,204
16	85		80,656		4,344	0,051
17	98		112,504		-14,504	0,148
18	128		150,721		-22,721	0,178
19	85		120,466		-35,466	0,417
20	160		96,580		63,420	0,396
21	60		80,656		-20,656	0,344
22	41		40,846		0,154	0,004
23	90		104,542		-14,542	0,162
24	83		95,784		-12,784	0,154
25	45		37,342		7,658	0,170
26	39		36,069		2,932	0,075
27	86,9		139,575		-52,675	0,606
28	40		37,342		2,658	0,066
29	80		98,650		-18,65	0,233
30	227		219,195		7,805	0,034
31	235		223,972		11,028	0,047
32	40		39,253		0,747	0,019
33	67		59,955		7,045	0,105
34	123		114,096		8,904	0,072
35	100		75,879		24,121	0,241
36	105		112,504		-7,504	0,071
37	70,3		77,630		-7,330	0,104
38	82		114,255		-32,255	0,393
39	280		231,934		48,066	0,172
40	200		157,728		42,272	0,211
	Ʃ=4049,5	Ʃ=4049,5		Ʃ=0,000		Ʃ=8,216

4. Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и f-критерий Фишера.

1. Значение коэффициента детерминации находим в табл.3 «Регрессионная статистика».

Коэффициент детерминации по формуле определяется следующим образом:

Вывод: Вариация результата Y (цена квартиры) на 79,6% объясняется вариацией фактора х₃ (общая площадь квартиры).

2. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера (табл. 4 «Дисперсионный анализ»):

F_табл (; k₁; k₂)= F_табл ( = 0,05 ; k₁=m=1, k₂=n-m-1=38)= 4,098

Вывод: Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F_расч.>F_табл..

3. Оценку точности модели проведем на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации Е_отн.(табл.6 «Вывод остатка»).

Вывод: Т.к. допустимый предел не ˃ 8-15%, то в нашем случае Е_отн=20,5% - модель считается неточной. В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 20,5%.

5. По модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представьте графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

Максимальное значение фактора х₃:

х_max=155 кв.м

х_прогн=155·0,8=124 кв.м

Используя уравнение модели: ŷ = -14,888+1,592х₃, получаем:

ŷ_прогн= -14,888+1,592·124=182,520 тыс.долл.

Точечный прогноз: (124; 182,520).

Средняя квадратическая ошибка прогноза определяется по формуле:

- стандартная ошибка отклонений:

Стандартная ошибка отклонений для фактора х₃ находится в таблице 3 «Регрессионная статистика». В таблице 7 приведены данные для расчета средней квадратической ошибки прогноза.

Таблица 7. Данные для расчета

№			№
1	41,9	962,551	21	60		167,056
2	69	15,406	22	35		1438,306
3	67	35,106	23	75		4,306
4	58,1	219,781	24	69,5		11,731
5	32	1674,856	25	32,8		1610,016
6	57,2	247,276	26	32		1674,856
7	107	1161,106	27	97		579,606
8	81	65,206	28	32,8		1610,016
9	89,9	288,151	29	71,3		2,641
10	75	4,306	30	147		5487,106
11	36	1363,456	31	150		5940,556
12	72,9	0,001	32	34		1515,156
13	90	291,556	33	47		672,106
14	29	1929,406	34	81		65,206
15	108	1230,256	35	57		253,606
16	60	167,056	36	80		50,056
17	80	50,056	37	58,1		219,781
18	104	965,656	38	81,1		66,831
19	85	145,806	39	155		6736,306
20	70	8,556	40	108,4		1258,476
				72,925	Ʃ=40189,255

Интервальный прогноз:

Верхняя граница:

Нижняя граница:

Интервальный прогноз (136,392; 228,648).

На рис.2 представлены фактические и модельные значения, точки прогноза.

Рис.2 Прогнозирование

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Данные для построения множественной модели регрессии приведены в таблице 1 «Исходные данные».

Построение множественной модели регрессии проведем аналогичным образом с помощью инструмента Регрессия в Excel:

• выберем команду Сервис Анализ данных  Регрессия  ОК;

• в диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введем адреса диапазонов ячеек, которые содержат значения независимых переменных, в данном случае это будут все независимые переменные. Так как введены заголовки столбцов, то установим флажок Метки в первой строке;

• выберем в качестве параметра вывода Новый рабочий лист;

• В поле Остатки поставим флажок и нажмем ОК.

Результат регрессионного анализа представлен в таблицах 8,9,10.

Вывод итогов для множественной модели регрессии:

Таблица 8. Регрессионная статистика

Множественный R		0,895
R-квадрат		0,801
Нормированный R-квадрат		0,784
Стандартная ошибка		26,634
Наблюдения		40
Таблица 9. Дисперсионный анализ
	df		SS	MS		F	Значимость F
Регрессия	3		102471,813	34157,271		48,152	1,1E-12
Остаток	36		25537,181	709,366
Итого	39		128008,994

Таблица10.

Переменная		Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересе-чение	а0	-4,997	15,471	-0,323	0,749	-36,373	26,379
X3	а3	1,676	0,194	8,654	2,55E-10	1,283	2,069
Х5	а5	-0,708	1,138	-0,622	0,538	-3,015	1,599
Х6	а6	-1,117	1,825	-0,612	0,545	-4,818	2,585

Линейное уравнение трёхфакторной модели регрессии имеет вид:

ŷ = -4,997+1,672х₃ -0,708х₅ - 1,117х₆

Факторы считаются значимыми, если параметры при них значимы, при определённом значении α.

Проверяем значимость коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента приведены в таблице 10- t-статистика.

Табличное значение критерия Стьюдента:

t_табл(α; n-m-1)= t_табл(0,05; 36)= 2,028.

• для параметра а₃ = 8,654, > t_табл - параметр а₃ при факторе х₃ значим;

• для параметра а₅ = - 0,622, < t_табл - параметр а₅ при факторе х₅ не значим, фактор х₅ надо исключить из модели;

• для параметра а₆ = - 0,612, < t_табл - параметр а₆ при факторе х₆ не значим, фактор х₆ надо исключить из модели.

В модель включаем фактор х₃. Параметры линейной парной регрессии для фактора х₃ (общая площадь квартиры, кв.м) рассмотрены ранее и приведены в таблицах 3, 4, 5, 6.

Уравнение линейной парной регрессии для фактора х₃ имеет вид:

ŷ = -14,888+1,592х₃ – если фактор х₃ (общая площадь квартиры) увеличится на 1 кв. м, то цена квартиры увеличится на 1,592 тыс. долл.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆-коэффициентов.

Качество построенной модели оцениваем по выполнению предпосылок метода наименьших квадратов (МНК).

Остатки должны удовлетворять 5 предпосылкам МНК:

1. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

Е₂= - 32,787 - является поворотной точкой, т.к. -13,833˃-32,787˂33,197;

Е₃= 33,197 – является поворотной точкой, т.к. -32,787˂33,197˃-16,530;

Е₄= -16,530 – является поворотной точкой, т.к. 33,197˃-16,530˂30,932;

Е₅= 30,932 – является поворотной точкой, т.к. -16,530˂30,932˃16,803;

Е₆= 16,803 – не является поворотной точкой, т.к. 30,932˃16,803˃-37,499;

Е₇= -37,499– является поворотной точкой, т.к. 16,803˃-37,499˂17,904;

Е₈= 17,904 – является поворотной точкой, т.к. -37,799˂17,904˃-35,769;

Е₉= -35,769 - является поворотной точкой, т.к. 17,904˃-35,769˂0,458;

Е₁₀= 0,458 – является поворотной точкой, т.к. -35,769˂0,458˃-0,438;

Е₁₁= -0,438 – является поворотной точкой, т.к. 0,458˃-0,438˂23,802;

Е₁₂= 23,802– не является поворотной точкой, т.к. -0,438˂23,802˂41,572;

Е₁₃= 41,572 –является поворотной точкой, т.к. 23,802˂41,572˃6,709;

Е₁₄= 6,709 – не является поворотной точкой, т.к. 41,572˃6,709˃-26,591;

Е₁₅= -26,591 – является поворотной точкой, т.к. 6,709˃-26,591˂4,344;

Е₁₆= 4,344 - является поворотной точкой, т.к. -26,591˂4,344˃-14,504;

Е₁₇= -14,504 – не является поворотной точкой, т.к. 4,344˃-14,504˃-22,721;

Е₁₈= -22,721 – не является поворотной точкой, т.к. -14,504˃-22,721˃ -35,466;

Е₁₉= -35,466 – является поворотной точкой, т.к. -22,721˃-35,466˂63,420;

Е₂₀= 63,420 – является поворотной точкой, т.к. -35,466˂63,420˃-20,656;

Е₂₁= -20,656 – является поворотной точкой, т.к. 63,420˃-20,656˂0,154;

Е₂₂= 0,154 – является поворотной точкой, т.к. -20,656˂0,154˃-14,542;

Е₂₃= -14,542 – является поворотной точкой, т.к. 0,154˃-14,542˂-12,784;

Е₂₄= -12,784 – не является поворотной точкой, т.к. -14,542˂-12,784˂7,658;

Е₂₅= 7,658 – является поворотной точкой, т.к. -12,784˂7,658˃ -2,932;

Е₂₆= 2,932 – не является поворотной точкой, т.к. 7,658˃2,932˃-52,675;

Е₂₇= -52,675 –является поворотной точкой, т.к. 2,932˃-52,675˂2,658;

Е₂₈= 2,658 – является поворотной точкой, т.к. -52,675˂2,658˃-18,650;

Е₂₉= -18,650 – является поворотной точкой, т.к. 2,658˃-18,650˂7,805;

Е₃₀= 7,805 – не является поворотной точкой, т.к. -18,650˂7,805˂11,028;

Е₃₁= 11,028 – является поворотной точкой, т.к. 7,805˂11,028˃0,747;

Е₃₂= 0,747 – является поворотной точкой, т.к. 11,028˃0,747˂7,045;

Е₃₃= 7,045 – не является поворотной точкой, т.к. 0,747˂7,045˂8,904;

Е₃₄= 8,904 – не является поворотной точкой, т.к. 7,045˂8,904˂24,121;

Е₃₅= 24,121 – является поворотной точкой, т.к. 8,904˂24,121˃-7,504;

Е₃₆= -7,504 – является поворотной точкой, т.к. 24,121˃-7,504˂-7,330;

Е₃₇= -7,330 - является поворотной точкой, т.к. -7,504˂-7,330˃-32,255;

Е₃₈= -32,255 – является поворотной точкой, т.к. -7,330˃-32,255˂48,066;

Е₃₉= 48,066– является поворотной точкой, т.к. -32,255˂48,066˃ 42,272;

Таким образом, количество поворотных точек (р) на нашем графике остатков (рис.3) при n=40 равно 28 (табл. 11):

р˃[ (n-2)-1,96 ]=[20,225]=20

Неравенство выполняется (28˃20). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Данные для расчета предпосылок МНК приведены в таблице 11.

Рис.3 График остатков

Таблица 11. Данные для расчета предпосылок МНК

t	yt		et	p
1	38	51,833	-13,833		191,352		13,833	0,364	380,250
2	62,2	94,987	-32,787	1	1074,987	359,254	32,787	0,527	342,250
3	125	91,803	33,197	1	1102,041	4353,888	33,197	0,266	306,250
4	61,1	77,63	-16,530	1	273,241	2472,775	16,53	0,271	272,250
5	67	36,069	30,931	1	956,727	2252,547	30,931	0,462	240,250
6	93	76,197	16,803	0	282,341	199,600	16,803	0,181	210,250
7	118	155,499	-37,499	1	1406,175	2948,707	37,499	0,318	182,250
8	132	114,096	17,904	1	320,553	3069,492	17,904	0,136	156,250
9	92,5	128,269	-35,769	1	1279,421	2880,791	35,769	0,387	132,250
10	105	104,542	0,458	1	0,210	1312,396	0,458	0,004	110,250
11	42	42,438	-0,438	1	0,192	0,803	0,438	0,010	90,250
12	125	101,198	23,802	0	566,535	587,578	23,802	0,190	72,250
13	170	128,428	41,572	1	1728,231	315,773	41,572	0,245	56,250
14	38	31,291	6,709	0	45,011	1215,429	6,709	0,177	42,250
15	130,5	157,091	-26,591	1	707,081	1108,890	26,591	0,204	30,250
16	85	80,656	4,344	1	18,870	956,974	4,344	0,051	20,250
17	98	112,504	-14,504	0	210,366	355,247	14,504	0,148	12,250
18	128	150,721	-22,721	0	516,244	67,519	22,721	0,178	6,250
19	85	120,466	-35,466	1	1257,837	162,435	35,466	0,417	2,250
20	160	96,58	63,420	1	4022,096	9778,441	63,42	0,396	0,250
21	60	80,656	-20,656	1	426,670	7068,774	20,656	0,344	0,250
22	41	40,846	0,154	1	0,024	433,056	0,154	0,004	2,250
23	90	104,542	-14,542	1	211,470	215,972	14,542	0,162	6,250
24	83	95,784	-12,784	0	163,431	3,091	12,784	0,154	12,250
25	45	37,342	7,658	1	58,645	417,875	7,658	0,170	20,250
26	39	36,069	2,931	0	8,591	22,345	2,931	0,075	30,250
27	86,9	139,575	-52,675	1	2774,656	3092,027	52,675	0,606	42,250
28	40	37,342	2,658	1	7,065	3061,741	2,658	0,066	56,250
29	80	98,65	-18,650	1	347,823	454,031	18,65	0,233	72,250
30	227	219,195	7,805	0	60,918	699,867	7,805	0,034	90,250
31	235	223,972	11,028	1	121,617	10,388	11,028	0,047	110,250
32	40	39,253	0,747	1	0,558	105,699	0,747	0,019	132,250
33	67	59,955	7,045	0	49,632	39,665	7,045	0,105	156,250
34	123	114,096	8,904	0	79,281	3,456	8,904	0,072	182,250
35	100	75,879	24,121	1	581,823	231,557	24,121	0,241	210,250
36	105	112,504	-7,504	1	56,310	1000,141	7,504	0,071	240,250
37	70,3	77,63	-7,330	1	53,729	0,030	7,33	0,104	272,250
38	82	114,255	-32,255	1	1040,385	621,256	32,255	0,393	306,250
39	280	231,934	48,066	1	2310,340	6451,463	48,066	0,172	342,250
40	200	157,728	42,272		1786,922	33,570	42,272	0,211	380,250
=20,5	t=101,238
Ʃ=820	Ʃ=4049,505 Ʃ=4049,505		Ʃ=0,005	Ʃ=28	Ʃ=26099,400	Ʃ=58364,542	Ʃ=805,063	Ʃ=8,216	Ʃ=5330,000

2. При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей с помощью dw-критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

Т.к. _.dw ˃ 2, то перед сравнением с табличными данными dw-критерий следует преобразовать по формуле dw^/ = 4 – dw = 4 - 2,236 = 1,764.

Теперь сравниваем с табличными значениями d₁=1,44 и d₂=1,54 и можно сделать вывод, о выполнении свойства независимости, т.к. d₂˂ dw^/ ˂ 2.

Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS-критерия:

RS=(e_max-e_min)/S_е, где

e_max-максимальный уровень ряда остатков, e_max=63,420;

e_min-минимальный уровень ряда остатков, e_min= -52,675;

S_е-среднеквадратичное отклонение:

RS=(63,420-(-52,675))/25,869=4,488

Расчетное значение попадает в интервал (3,67; 5,16) при n=40, α=0,05, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков, М(е)=0, =0.

В нашем случае =0 (определено с помощью встроенной функции Excel «СРЗНАЧ» в табл.11), поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.