Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

9.4 Фрактальноеброуновскоедвижение • 271

ское движение совпадает с классическим. Как будет показано ниже, реализация одномерного ФБД с параметром Н имеет размерность d = 2 — Н. Графическим изображением двумерного ФБД является поверхность, имеющая размерность d = 3 — Н. Таким образом, параметр Н соответствует степени изрезанности графика. Как видно из рис. 9.9, при малых Н и О график получается сильно изрезанным, а при больших Н и 1 — весьма плавным (хотя и негладким).

Существование ФБД доказано Мандельбротом и Ван Нессом [33] с использованием стохастических интегралов. Как и в случае классического броуновского движения, мы дадим определение, основанное на нескольких аксиомах, которые характеризуют процесс. Большинство из приведенных утверждений относятся кодномерному случаю, хотя имеют аналоги для ФБД в высших размерностях.

Определение. Гауссовский процесс X(t) называется фрактальным броуновским движением с параметром Н, О < Н < 1, если он обладает следующими свойствами.

1.Х(0) = 0 и функция X(t) почти всегда непрерывна.

2.Свойство гауссовости приращений: случайная величина

АХ = X(t2) - X(h)

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией o2{ti —t\)2H, где t% > t\, a — положительная константа, то есть

ехр Н

Фрактальное броуновское движение с параметром Н = 1/2 совпадает с классическим броуновским движением.

Закон дисперсии и стационарность. Извторого свойства следует закон дисперсии для фрактального броуновского движения:

для любых <i и <2 в интервале [а,Ь]. Так как дисперсия сг2|t2 — ti\2H зависит только от разности <i и <2, а не от самих значений, то приращения стационарны.

272 • Глава 9 / Случайные фракталы

Зависимость приращений. В отличие от классического броуновского движения, приращения которого независимы, фрактальное броуновское движение с параметром Н Ф \/2 не обладает этим свойством.

Теорема 9.4.4. Пусть X(t) — фрактальное броуновское движение с параметром Н, 0 < Н < 1. Приращения X(t) независимы тогда и только тогда, когда Н = 1/2.

Доказательство. Если X(t) имеет независимые приращения, то случайные величины X(t) - Х(0) и X(t + At) - X(t), At > О, независимы. Это означает, что

E{(X(t) - X(0))(X(t + At) -

= E[X(t) - X{0)] • E[X(t + At) - X(t)} = 0.

Так как Х(0) = 0, то

(X(t)-X(0))(X(t + At)-X(t)) =

= \{{X{t + At) - X(0))2 - (X(t) - X(0))2 - (X(t + At) - X(t))2},

и следовательно, по закону дисперсии (9.8):

E[(X(t) - X(0))(X(t + At) - X(t))} =

Последнее выражение отрицательно при Н < 1/2, равно нулю при Н — 1/2 и положительно при Н > 1/2 (см. упр. 1 в конце параграфа). Утверждение доказано. •

Немарковское свойство. Из вычислений, приведенных при доказательстве теоремы 9.4.4, можно извлечь большее. Если Н > 1/2, то

в прошлом. Если же Я < 1/2, то X(t) - Х(0) и X(t + h) - X(t), скорее всего, имеют различные знаки, а значит функция X(t) обычно убывает в будущем, если она возрастала в прошлом. Вместе эти факты говорят о том, что фрактальное броуновское движение не является марковским процессом, за исключением случая Н = 1/2.

9.4 Фрактальное броуновское движение • 273

Величина приращений. Пусть X(t) — фрактальное броуновское движение с параметром Н, 0 < Н < 1. Тогда математическое ожидание приращения равно

Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 9.2.1, в которой рассматривается специальный случай Я = 1/2.

Недифференцируемость. Как и в случае классического броуновского движения, следует ожидать, что фрактальное броуновское движение почти наверное недифференцируемо. Доказательство проводится аналогично доказательству для классического случая. Как было отмечено в п. 9.2,Мандельброт и Ван Несс дали полное доказательство этого утверждения в [33].

Статистическое самоподобие.

Теорема 9.4.5. Приращения фрактального броуновскогодвижения обладают свойством статистического самоподобия, то есть

r"

для любого г > 0.

Доказательство. Доказательство полностью аналогично соответствующему доказательству для классического броуновского движения с заменой г на г2Н (см. упр. 3 в конце параграфа). •

Размерность реализации. Фрактальная размерность реализации одномерного броуновского движения вычисляется также, как и для классического броуновского движения. Основное отличие состоит в том, чтооценка числа квадратов (9.5) заменяется новой оценкой

N(At) и a/At2-",

что приводит к значению

о ^ 2 Я .

оlog At

Подробные вычисления оставлены читателю в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа).

274 • Глава 9 / Случайные фракталы

Определение размерности большинства фрактальных кривых обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, не составляет труда вычислить размерность d = 2 — Н графика реализации ФБД. Параметр Н можно найти из закона дисперсии (9.8). Извлекая квадратные корни и затем логарифмируя обе части (9.8), получаем

(9.11)

где arms(AX) — стандартное среднеквадратичное отклонение приращений АХ, соответствующих интервалу At, с — константа. Алгоритм 9.4.2 вычисляет logarms(AX) для нескольких величин интервалов At и затем использует алгоритм 5.2.1 для определения параметров с и Я в (9.11).

Алгоритм 9.4.2. (HCALC)

Назначение: вычисляет параметр Н одномерного ФБД.

Внешние функции:

функция STD вычисления среднеквадратичного отклонения; функция вычисления МНК-прямой (алгоритм 5.2.1).

Вход:

X (вектор, представляющий ФБД) L (длина X)

Выход:

Н (параметр ФБД)

Инициализация:

•ртах = 10 (максимальная длина приращения)

Шаги:

for р = 1 to р = ртах

for i — 1 to i = L —ртах

end for

s{p) = STD (dX(i), i = 1 to i = L - ртах)

flip) = log(s(p)) end for

Найти МНК-прямую по точкам (£(p),Tj(p)),p = 1, -.. ,ртах Н — угловой коэффициент МНК-прямой

9.4 Фрактальное броуновское движение • 275

Рис. 9.10. Цены на акции компанииБоинг

В качестве примера использования алгоритма 9.4.2 для анализа практической задачи рассмотрим график заключительных цен на акции компании Боинг для 336 последовательных биржевых дней 1992-1993 года (рис. 9.10). Соседние точки на графике соединены отрезками прямых. Мы исследуем эту реализацию с целью установить, насколько хорошо она может быть смоделирована при помощи ФБД.

Обозначим через X(t) биржевую цену в конце t биржевых сессий. На рис. 9.11 построены нормализованная гистограмма для приращений (дневных флуктуации) AX(t) = X(t + 1) —X(t) и гауссовская кривая с таким же среднеквадратичным отклонением. Этот график в некоторой степени подтверждает, что X(t) удовлетворяет свойству гауссовости приращений (свойство 2) в определении ФБД. Строго говоря, для проверки гауссовости приращений следует применить Х2-критерий согласованности [10]. Найдем значение параметра Н с помощью алгоритма 9.4.2. На рис. 9.12 построена зависимость

logarrns(AX) от log|A£|. Значение Я, полученное по этой прямой, равно Н « 0,5023, а значит фрактальная размерность d « 1,4977.

Это довольно интересный результат, так как Н « 1/2, то есть ФБД

276 • Глава 9 / Случайные фракталы

Рис. 9.11. Гистограмма и гауссовская кривая для приращений

близко к классическому броуновскому движению. Таким образом, можно сделать вывод, что заключительная цена в нашем примере совершает гауссовское случайное блуждание.

Фрактальные броуновские поверхности. Рассмотрим теперь двумерное фрактальное броуновское движение.

Определение. Гауссовский процесс Х(х, у) называется двумерным фрактальным броуновским движением с параметром Я, 0 <

Н < 1, если он обладает следующими свойствами.

1.Х(0,0) = 0 и функция Х(х, у) почти всегда непрерывна.

2.Свойство гауссовости приращений: случайная величина

АХ = Х(х + Ах,у + Ау) - Х(х,у)

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2{\/Ах2 + Ау2)2Н, где ti > <ь <т— положитель-

9.4 Фрактальноеброуновское движение • 277

График двумерной броуновской поверхности имеет размерность d — 3 — Н. Это доказывается аналогично одномерному случаю и оставлено в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа). Как показано в [1], линии уровня имеют размерность d = 2 —Н.

Пример броуновской поверхности, соответствующей ФБД с параметром Н = 1/2, изображен на рис. 9.6.

Изображения поверхностей, приведенные на рис. 9.13 и 9.14, иллюстрируют влияние параметра Н на ФБД. Меньшие значения Н соответствуют поверхностям, имеющим большую размерность, и поэтому они выглядят более изрезанными. Соответственно, при больших Н поверхности выглядят менее изрезанными. Поверхность ФБД с параметром Н « 0,8 обычно используется для моделировании горных массивов.

9.5Срединное смещение и ФБД • 27У

5.Докажите, что если X(t) — одномерное ФБД с параметром Я,

О< Н < 1 и если 0 < А < Я, то X(t) удовлетворяет (почти наверное) условию равномерности Гельдера:

6.Пусть X(t) — ФБД с параметром Я, 0 < Я < 1,0 < t < 1.Определим усредненную константу Гельдера для данного приращения

At как

J

Покажите, что существует такая константа С, не зависящая от At, что:

log At

Указание.Используйте формулу:

оо

E[log\AX\]=^ M H J

Сделайте подстановку s — z/cAtH.

Комментарий: отметим, что для очень малых значений At параметр Я может быть приближенно заменен на а, и поэтому размерность реализации в этом случае равна dm 2 — бе.

9.5. Срединное смещение и ФБД

Алгоритмы случайного срединного смещения из п. 9.3 хорошо моделируют классическое броуновское движение. Попытки модифицировать их таким образом, чтобы можно было моделировать фрактальное броуновское движение с параметром Я, 0 < Я < 1, Я ф 1/2, ужепредпринимались. Как оказалось, полученные фракталы не обладают основными свойствами фрактального броуновского движения, тоесть не удовлетворяют закону дисперсии ине обладают стационарными приращениями.Тем не менее, эти алгоритмы широко используются для аппроксимации ФБД при моделирования естественных ландшафтов, таких, например, как горные массивы [16]. Фурнье, Фассел и Карпентер [16] использовали эти алгоритмы для

Рис. 9.14. Поверхность ФБД: Я = 0,8

создания фрактальных сцен для фильма «Звездное переселение II: гнев хана». Однако, из-за отсутствия указанных выше статистических свойств результаты такого моделирования подвергались критике со стороны других исследователей, включая Мандельброта [32].

Алгоритм одномерного броуновского движения (9.3.1) легко изменяется для учета параметра Н фрактального броуновского движения. Надо просто заменить величину смещения на уровне к

на

где

= л/1 - 22 "

Вместо того чтобы повторять алгоритм 9.3.1 с этими изменениями, приведем равносильный алгоритм, записанный в виде рекурсии.