2 3 1 A mр 2 3 1 м а 2 3 1 м а 2 3 1 m a 2 3 1 м а 2 3 1 м Аисунок 3.2

Р

2

3

1

М

А

1

3

2

М

А

2

1

3

М

А

A

3

1

2

M

1

3

2

М

А

исунок 3.3

1

2

А

3

M

3

1

2

М

А

3

1

2

М

А

Рисунок 3.4

3

1

2

A

M

3

1

2

A

M

2

3

1

М

А

2

3

1

М

А

2

1

М

А

3

2

1

М

А

3

Рисунок 3.5

3.1 Приклад виконання завдання

Для механізму (рис. 3.6) знайти швидкість і прискорення точок А і М при t₁=1с якщо тіло 2 рухається за законом ₂=8t³-3t² (R₂=0,1м; R₁=0,4м; r₁=0,15м).

Рисунок 3.6

Розв’язання.Знайдемо кутову швидкість та кутове прискорення тіла 2

При t₁=1c ,

.

3найдемо швидкість V₂₁ точок контакту тіл 2 та 1

Визначимо швидкість точки А

.

Прискорення точки А

де .

Величина прискорення точки А

.

При t₁=1с; ,

Визначимо швидкість та прискорення тіла М, що переміщується поступально

При t₁=1с ,

.

Показуємо на рис.3.6 вектори

К.4 Кінематичний аналіз плоского механізму

Визначити для заданого положення механізма швидкість та прискорення точок А і В, кутову швидкість та кутове прискорення ланки АВ. Схеми механізмів приведенно на рис.4.1 – 4.5, а дані для розрахунку приведені в табл. 4.1

4.1 Приклад виконання завдання

Для механізма, зображеного на рис. 4.6, знайти швидкість і прискорення точок А, В та кутову швидкість, кутове прискорення ланок АВ і ВС. Прийняти: ОА = 0.3 м; ОА=ОВ; ВС = 0.5 м; = 5 с^-1;= 3 с^-2.

Розв’язання.Визначимо швидкості точок А, В та кутові швидкості ланок АВ і СВ.

Таблиця 4.1

Варіант	r, м	l, м	, с-1	, с-2
1	0,1	0,6	1	2
2	0,3	0,4	1,2	3
3	0,2	0,3	1,5	2
4	0,1	0,3	1,8	3
5	0,3	0,2	1,0	2
6	0,1	0,8	1,1	3
7	0,2	0,3	1,2	2
8	0,3	0,6	1,3	3
9	0,2	0,4	1,4	2
0	0,1	0,6	1,5	3

Швидкість точки А направлена перпендикулярно до ланки ОА у напрямку кутової швидкості .

По лінії, яка перпендикулярна до ланки ВС, буде направлена швидкість точки В (лінія b-b, рис.4.6). Тоді миттєвий центр швидкостей ланки АВ буде в точці О.

Напрямок швидкості точки В визначається напрямком кутової швидкості _АВ (рис. 4.6).

Рисунок 4.1

Р

3

1

А

1

М

А

2

3

1

M

A

2

3

1

М

А

2

3

1

М

А

2

3

1

A

M

исунок 4.2

Р

3

1

М

1

3

М

2

1

3

М

А

A

3

1

2

M

1

3

2

М

А

исунок 4.3

Р

1

2

А

3

M

3

1

2

М

А

3

1

2

М

А

исунок 4.4

Рисунок 4.5

.

Кутова швидкість ланки ВС

.

Знайдемо тепер прискорення точок А, В та кутові прискорення ланок АВ та ВС.

Точка А належить тілу ОА, що обертається навколо нерухомої осі. Тоді:

,

,

,

.

Рисунок 4.6

Приймемо точку А за полюс. Тоді розглядаючи рух ланки АВ, запишемо:

, (4.1)

, (4.2)

.

де АВ = 2·ОА·cos30^o= 0.52 м

Прискорення направлене по прямій АВ від точки В до полюса, а прискорення- перпендикулярно до прямої АВ (лінія а-а, рис. 4.6).

Оскільки точка В належить ланці ВС, то

, (4.3)

.

Прискорення направлене по прямій b-b.

Вираз (4.1), враховуючи (4.2) та (4.3), запишеться:

. (4.4)

Спроектуємо векторне рівняння (4.4) на осі ОХ та ОY.

Вісь ОХ:

. (4.5)

Вісь ОY:

(4.6)

У формулах (4.5) та (4.6) дві невідомі величини та.

Знаходимо кутові прискорення ланок АВ та ВС.

Напрямок кутових прискорень тавизначаються напрямком векторіві.

К5. Визначення швидкостей і прискорень точок багатоланкового плоского механізму. На рис.5.1 – 5.5 приводяться схеми багатоланкових плоских ме-ханізмів по варіантах від 1 до 30, де ведучою ланкою є кривошип О₁А, який обертається з постійною кутовою швидкістю  . Значен- ня  , довжина кривошипа та інших ланок механізму задані в табли-ці 5.1 по варіантах.

При заданому положенні механізму визначити:

1. Швидкості точок А, В, С, D, а також точки М, за допомогою миттєвого центра швидкостей (МЦШ) . 2. Побудувати для заданого положення механізму план швидкостей. 3. Прискорення точок А, В, М а також положення миттєвого центра прискорень (МЦП) для ланки АВ.

Таблиця 5.1

Вказівка: графічні побудови виконуються в певному масштабі із збереженням даних умови задачі.

Рисунок 5.1

Рисунок 5.2

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Рисунок 5.5

5.1 Приклад виконання завдання Умова задачі. На рис. 5.6 зображено плоский багатоланковий ме- ханізм, в якого ведуча ланка О₁А = r₁ = 20см обертається з постій- ною кутовою швидкістю  = 5c^-1 і приводить в рух ланки АD =DB=

= l₁ = 50см, O₂B=r₂= 40см, DE=l₂= 40см , O₃E=r₃=25см, BM = MD= =25см. Кути між ланками задані на рисунку.

Рисунок 5.6

Визначити швидкості і прискорення точок механізма згідно умови завдання К5 (пункт 1). Розв’язання. Знайдемо швидкість точки А. Її модуль зайдемо добутком: V_A =  ₁A = 5 20 = 100 см/c. Напрямок вектора V_A перпендикулярний до кривошипа О₁А, що вкажемо на рис.5.7.

Знаходження швидкостей за допомогою плана швидкостей

Побудова плана швидкостей базується на теоретичному поло-женні, що в плоско-паралельному русі (ППР) швидкість будь-якої точки тіла є геометричною сумою швидкості полюса і обертової швидкості цієї точки навколо полюса. В механізмі на рис.5.6 ланка АВ здійснює ППР, швидкість точки А відома, тому беремо її за по- люс. Тоді

V_B = V_A + V_BA (5.1)

Виконуємо побудову векторів згідно з формулою (5.1) на рис. 5.7. З довільної точки О, яка повинна знаходитись поряд з схемою механізма, будумо в масштабі вектор швидкості V_A, який перпенди-кулярний до кривошипа О₁А і цей вектор називаємо Оа. З точки О проводимо пряму, яка перпендикулярна до кривошипа О₂В, що від-повідає напрямку швидкості V_B. Щоб встановити де закінчується цей вектор з кінця вектора Оа точки а проводимо пряму, яка є пер- пендикулярною до ланки АВ на схемі механізма. Перетин названих прямих дає точку b. Вектор Ob відповідає вектору швидкості V_B в вибраному масштабі. Відрізок ab рівний обертовій швидкості точ-ки В навколо полюса А. Для того, щоб знайти швидкість точки D, яка ділить ланку АВ навпіл, ділимо відрізок ab точкою d також навпіл і з’єднуємо точку O і d. Вектор Od відповідає швидкості V_D.

Рисунок 5.7

Знаходимо швидкість точки E. Для цього з точки О проводимо пряму перпендикулярну до кривошипа О₃Е, а з точки d пряму пер- пендикулярну до ланки ED. Перетин цих прямих дає точку e. Век-тор O рівний швидкості V_E, а відрізок de є модулем обертової швидкості V_ED, тобто обертової швидкості точки E навколо по-люса D. Для заходження швидкості точки М, яка лежить між точками D і В на схемі механізму, знаходимо точку m між точками d і b. При цьому повинно зберігатись співвідношення: DM/MB = dm/mb. З’єд-нуємо точки O і m. Вектор Om відповідає швидкості V_M. Виміря- ємо довжини векторів швидкостей і переведемо їх через масштаб в одиниці швидкості. Результати графічних побудов такі:

V_B = Od 20 = 8,8 20 = 176см/с,

V_D = Od 20 = 5 20 = 100см/с,

V_E = Oe 20 = 2,9 20 = 58см/с,

V_M= Om 20 = 6,7 20 = 134см/с

Кутові швидкості ланок знайдемо відношеннями

_AB = V_BA/AB = ab/AB = 10 20/100 =2 c^-1,

_V_B/O₂B = 176/40 = 4,4c^-1, _D V_DE/ED = de/ED = 5,75 20/40 = 2,875c^-1,

_ = V_E/O₃E = 55/25 = 2,2 c^-

¹ Діаграма, що побудована на векторах швидкостей поряд із схе-мою механізма на рис.5.7, є планом швидкостей. Для знаходження швидкості будь-якої точки механізму потрібно знайти відповідну точку на плані швидкостей, а потім з’єднати точку О з цією точкою. Перевівши через масштаб довжину вектора в одиниці швидкості, знайдемо швидкість відповідної точки.

Визначення швидкостей за допомогою миттєвого центра швидкостей (МЦШ)

Для ланки АВ, рис.5.7, МЦШ знайдемо на перетині перпенди-кулярів проведених до напрямків руху точок А і В. Це буде точка С₁. Навколо точки С₁ ланка АВ в даний момент виконує обертання з кутовою швидкістю _AB. Тому запишемо співвідношення:

_AB = V_A /C₁A = V_B /C₁B = V_D /C₁D = V_M /C₁M (5.2)

З трикутника АВС₁ одержуємо

C₁A = AB sin30^o = 100 0,5 = 50см,

C₁B = AB cos30^o = 100 0,866 = 86,6см,

C₁D = AD = 50см,

C₁M = ( (C₁B)² +(BM)² – 2 C₁B BM cos30^o)^0,5 = = (7500 + 625 – 2 86,6 25 0,866)^0,5 = 66,14см .

Після чого із співвідношення (5.2) знаходимо:

_AB = V_A /C₁A = 100/50 = 2c^-1 ,

V_B =_AB C₁B = 2 8,66 = 173,2см/с ,

V_D =_AB С₁В = 2 50 = 100cм/с , V_M = _AB C₁M = 2 66,14 = 132,26см/с

₂ = V_B /O₂B = 173,2/40 = 4,33c^-1 Знаходимо МЦШ для ланки ED. Це буде точка С₂, яка знаходить- ся на перетині перпендикулярів, що проведені до напрямків руху то- чок D і E . Для ланки ED записуємо :

_ED = V_D /C₂D = V_E /C₂E (5.3)

З трикутника EDC₂ знаходимо відрізки

C₂E = ED sin30^o = 40 0,5 = 20см,

C₂D = ED cos30^o = 40 0,866 = 34,36см, потім із співвідношення (5.3) знаходимо : _ED = V_D /C₂D = 100/34,36 = 2,9c^-1 ,

V_E =_ED C₂E = 2,9 20 = 58см/с . Якщо порівняти результати двох приведених методів визначення швидкостей, то видно, що значення швидкостей при користуванні МЦШ є більш точними. Неточність плана швидкостей обумовлена похибками графічних побудов. Наприклад, в першому випадку V_B = = 176 см/с, в другому V_B = 173,2 см/с, що складає 1,6%. Визначення прискорень Знаходимо прискорення точки А. Кутова швидкість кривошипа О₁А постійна,  = 5с^-1 , тому повне прискоренн точки А визначаєть- ся тільки його нормальною складовою

а_А = а_Аⁿ = ² О₁А = 5² 20 = 500см/с²

Прискорення точки В визначимо через полюс А.

а_В = а_А + а_ВА (5.4)

де а_В = а_Вⁿ + а_В^ , а_ВA = а_ВAⁿ + а_ВA^ Тому а_Вⁿ + а_В^ = а_А + а_ВAⁿ + а_ВA^ (5.5)

Покажемо вектори, які містяться в формулі (5.5), на рис.К5.8, де зоб-ражена тільки та частина механізма, що має необхідні ланки.

Вектор а_А, нормальні складові а_Вⁿ , а_ВAⁿ мають цілком визначений напрямок: до відповідного центра обертання, а дотичні складові а_В^ і а_ВA^ перпендикулярні до своїх нормалей і направлені в довільну сторону. Визначимо модулі нормальних складових.

а_Вⁿ = ₂ ² О₂В = 4,33² 40 = 750см/с²,

а_ВAⁿ=  _AB ² АВ = 2² 100 = 400см/с²

Рисунок 5.8

Для визначення дотичних складових проектуємо векторне рівня- ння (5.5) на осі Вх і Ву, які проводимо на рис.5.8.

на Вх: а_Вⁿ сos30^o - а_В^ sin30^o= - a_A cos60^o+ а_ВAⁿ , (5.6)

на Ву: а_Вⁿ sin30^о+ а_В^ cos30^o= а_А sin60^o+ а_ВA^,  7

З рівняння (5.6) знаходимо а_В^

а_В^ = (а_Вⁿ сos30^o+ a_A cos60^o- а_ВAⁿ)/sin30^o = =(750 0,866+500 0,5-400)/0,5=998,9см/с².

З рівняння (5.7) знаходимо а_ВA^

а_ВA^ = а_Вⁿ sin30^о+ а_В^ cos30^o- а_А sin60^o = = 750 0,5 +998,9 0,866 – 500 0,866 = 807,2см/с². Прискорення точки В знайдемо теоремою Піфагора

а_В =( (а_Вⁿ)²+( а_В^) ²)^0,5 =(750 ²+998,9 ²)^0,5= 1249,12см/с².

За відомим а_ВA^ обчислимо _АВ – кутове прискорення ланки АВ. _АВ = а_ВA^/АВ = 807/100 = 8,07с^-2

Знайдемо прискорення точок D і M. Для цього скористаємось залежністю (5.4), запишемо її для цих точок.

а_M = а_А + а_MAⁿ + а_MA^ , (5.8)

а_D = а_А + а_DAⁿ + а_DA^ (5.9)

Складові обертових прискорень рівні а_MAⁿ =  _AB ² АM = 2² 75 = 150см/с² ,

а_MA^=_АВ AM = 8,07 75 = 605,25 см/с² , а_DAⁿ =  _AB ² АD = 2² 50 = 200 см/с² , а_DA^ = _АВ AD = 8,07 50 = 403,5 см/с²

Проектуємо векторні рівняння (5.7) і (5.8) на осі Вх і Ву, що вка- зані на рис.5.8 і знаходимо величини проекцій. a_Mx = - a_A cos60^o + а_MAⁿ = -500 0,5+150 = - 100 см/с² ,

a_My = a_A sin60^o + а_MA^ =500 0,866+ 605,25 = 1038,25 см/с² ,

a_Dx = - a_A cos60^o + а_DAⁿ = -500 0,5+200 = - 50 см/с² ,

a_Dy = a_A sin60^o + а_DA^ =500 0,866+ 403,5 = 836,5 см/с². Модулі прискорень точок D і М знайдемо за теоремою Піфагора a_M = ((a_Mx )²+( a_My )²)^0,5 =((-100)²+(1038,25)²)^0,5 = 1048 см/с² , a_D = ((a_Dx )²+( a_Dy )²)^0,5 =((-50)²+(836,5)²)^0,5 = 842,5 см/с² . Знайдемо положення миттєвого центра прискорень (МЦП) для ланки АВ. За відомими а_ВAⁿ і а_ВA^ визначимо кут  , який складає обертове прискорення а_ВA з напрямком до полюса обертання т. А.

tgа_ВA^ а_ВAⁿ = _АB / _AB ² = 8,07/2² = 2,0175 ,

Звідки  = arctg(2,0175) = 63^o38’

Навколо центра А повернемо вектор а_А в сторону напрямку век- тора а_ВA^ на кут  і проведемо пряму, на якій відкладемо точку Q, так, щоб довжина відрізка AQ була рівна:

AQ = а_А /( _АВ² + _AB ⁴)^0,5 = 500/(8,07² +2⁴)^0,5 = 55,51см

Точка Q є миттєвим центром прискорень ланки АВ. З’єднаємо точ- ку Q з точками B, M і D. Визначимо віддалі BQ, MQ і DQ для чого скористаємось теоремою косинусів.

= 60^o+=60^o+63^o38’= 123^o38’, cos = - 0,5524. BQ =(AQ²+AB²-2 AQ AB cos)^0,5 = =(55,51²+100²+2 55,51 100 0,5524)^0,5 = 138,62 см ,

MQ =(AQ²+AM²-2 AQ AM cos)^0,5=

=(55,51²+75²+2 55,51 75 0,5524)^0,5 = 115,35 см ,

DQ =(AQ²+AD²-2 AQ AD cos)^0,5 = =(55,51²+50²+2 55,51 50 0,5524)^0,5 = 92,99 см

Запишемо співвідношення між прискореннями точок ланки АВ через МЦП (точку Q ).

a_A /AQ = a_B / BQ = a_M /MQ = a_D / DQ =( _АВ² + _AB ⁴)^0,5= 9,0069

Звідки a_B = 9,0069 BQ = 9,0069 138,62 = 1248,49см/с² ,

a_M = 9,0069 MQ = 9,0069 115,35 = 1038,96 см/с² ,

a_D = 9,0069 DQ = 9,0069 91,72 = 837,58 см/с². Якщо порівняти величини прискорень знайдених аналітично за допомогою векторних рівнянь і величин одержаних через МЦП, то

різниця досить мала. Найбільша абсолютна похибка має величина вектора a_M. Вона складає 0,96% . Похибка в обчисленнях виникла за рахунок заокруглень в числових операціях.

Графічний метод знаходження прискорень. Цей метод вима-гає точних графічних побудов із чітким збереженням масштаба. Покажемо ланкуАВна рис.5.9. З точкиА відкладемо вектора_А. З точкиВвідкладемо послідовно, згідно векторної рівності (5.5), вектора_А ,вектор а_Вⁿ, з кінця якого побудуємо вектора_ВAⁿ. З кін-ців векторіва_Вⁿ іа_ВAⁿпроводимо перпендикуляри на перетині яких міститься кінець вектораа_В. З’єднаємо кінці векторіва_Аіа_В. Помі-тимо одержаний відрізок точкамиа₁іb₁. Поділимо відрізока₁b₁точкамиm₁ іd₁у тому ж відношенні, що точкиМіDділять відрізокАВ. З’єднавши відповідно точкиМіm₁,Dіd₁, одержи-

Рисунок 5.9

мо Мm₁ = а_М , Dd₁ = a_D . Переведемо довжини відрізків через масш- таб в одиниці прискорення і одержимо значенняа_В , а_М іa_D .Резу-льтати графічного розрахунку такі:

а_В = Вb₁ 100 = 12,5 100 =1250 см/с² ,

а_М = Mm₁ 100 = 10,4 100 = 1040 см/с², a_D = Dd₁ 100 = 8,4 100 = 840см/с² .Порівняємо величини прискорень знайдені графічно з тими, що розраховані аналітично і знайдемо похибку. Найбільша абсолютна похибка дляa_D –2,42 см/с², що складає0,29%від842,5 см/с². Приведемо остаточні результати розрахунку швидкостей і при-скорень виконаного завдання К5: V_A = 100см/с , a_A = 500 см/с² ,

V_B = 173,2 см/с , a_B = 1249,12 см/с² ,

V_D = 100 см/с , a_D = 842,5 см/с² ,

V_M = 132,26 см/с , a_M = 1048 см/с² , V_E = 58 см/с .

К.6 Кінематичні характеристики тіла та його точок при сферичному русі

Тіло А котиться без ковзання по поверхні нерухомого тіла В (рис. 6.1-6.5), маючи нерухому точку О. Вісь тіла А обертається навколо нерухомої осі OZ і має при заданому положенні кутову швидкістьта прискорення.

Визначити кутову швидкість та кутове прискорення тіла А, швидкість та прискорення точки D тіла А для положення показаного на рисунку. Дані для розрахунку наведені в табл. 6.1

Таблиця 6.1

Варіант			ОС	CD
	c-1	c-2	м	м
1	3	1	0,35	0,10
2	4	2	0,45	0,15
3	5	3	0,55	0,20
4	2	-3	0,25	0,05
5	3	2	0,60	0,30
6	4	3	0,45	0,20
7	1	4	0,40	0,15
8	2	4	0,60	0,20
9	3	4	0,55	0,15
0	4	1	0,70	0,25