КДМ Колобок

Мінімізація логічних функцій за допомогою діаграми Вейча .

Якщо заповнені всі клітинки 1, то при склеюванні мінімізована функція = 1 якщо 4 обеднали то дана імпліканта залишаеться одніею змінною якщо 2 обеднали , то залишаеться у вигляді добутку 2-х змінних якщо нычого не обеднуем то описуэм добуток 3-х змінних.

Мінімізація логічних функцій за методом Квайна Мак-Класкі

Метод будуеться на використані ДДНФ форми запису лог. Функції використані спеціалізованих таблиць, за якими проводиться склеювання імплікант, що відрізняеться одніею змінною, яка формуе доповнення появної змінної до 1.

Алгоритм.

1. записуем ДДНФ заданої функції.

2. Скласти таблицю квадратного виду, розмір якої = кількості імпликант лог. Функції. Кожна імпліканта формуе один стовпець і один рядок таблиці імпліканта головної

діагоналі = 1

3. проводиться склеювання по рядках і стовбцях таблиці із замком скороченої імпліканти у відповідних комірках таблиці.

4. Будуеться нова таблиця квадратного вигляду, в рядках і стовпцях якої записуеться ті імпліканти попередньої таблиці, які не піддалися склеюванюта отримані скороченої імпліканти. Проводиться склеювання по рядках і стовпцях таблиці з визначеням нових скорочених імплікант. Цей пункт проводиться циклічно до тих пір поки подальше скороченя імплікант є неможливим.

5. Будуеться таблиця прямокутного вигляду, де кількість стовбців визначаеться кількістю стовпців визначаеться кількістю імплікант початковою.немінімізованої функції, а кількість рядків визначаеться кількістю рядків заданих скорочених імплікант. Комірка в таблиці галочками позначаються ті комірки в стовпцях яких присутне значеня скорочених імплікант відповідного рядка.

Отримана таблиця аналізується : якщо в якомусь із стовпців є тільки одна позначка, що імпліканта записана в цьому рядку наз. Істиною . Якщо позначки в рядку якоїсь імпліканти перекривається позначкою в інших рядках інших імплікант, то така імпліканта вважаеться зайвою і викреслюеться з таблиці. У кінцевому варіанті у табл. Залишаються лише істиною імпліканти які формують запис мінімалізованої лог. Функції.

Історія розвитку комбінаторики

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо[1]. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.

Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается ещё в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н. э.).[2]. Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона[2]. Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна .

Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до н. э.) и Гиппарх (II век до н. э.) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом; методика подсчёта нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха — более 100000[3]. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах.[3] Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы, вероятно, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки и др.).

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику[4]. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement).

После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.[5]

Правило суми. Приклад

якщо М є обеднаням М1 М2 .......Мn які по парно не перетинаються то кількість ел. Такої множини визначаються за правилом суми

|M|=|M1|+|M2|+.......+|Mn|

Правило добутку - важаються основним правилом комбінаторики якщо

|M|=|M1|*|M2|*.......*|Mn| та вибір елементів ні яким чином не впливає то таку вибору визначається за формулою якщо множину задано у вигляді списку де кількість М1=м1.......мн то визначеня вибору заг.кількості ел. Множин формуеться кортежами то формування загальної множини знаходиться дикартовим елементом.

Розміщеня і перестановка без повторень

Нехай множина N з елементами а1,а2,......,аn є фіксованою множиною Упорядковані підмножини з k елементів називаеться розміщенями з n по k у випадку, коли трема розмістити обрану кількість k елементів у повному порядку

А^k_n = n*(n-1)*(n-2)*.......*(n-k+1)= n! /(n-k)! -//- риска дробу замість діленя

При розміщені без повторень керуються правилом виключення попередньо обраних об”єктів. Якщо в процесі розміщення був обраний І-ий елемент, то при розміщені наступного елемента аналізується (n-1) елементи множини i j; k-ого порядку — (n-k) елемента множини.

Якщо n=k

A^k_n = n!

Розміщеня і перестановка обовязково враховують порядок елементів при їх розташувані

Розміщеня і перестановка з повторенями

При розміщені елемента з повторенями аналіз кожного елемента в кортежах здійснюеться k разів

A^k_n = n^k

Якщо елементи в множині групуються в певну кількість підмножин то формулу можливих розміщень інтерпретують у вид:

P(n₁ , n₂,......, n_n) = n!/ n₁! * n₂!*......*n_n! --//-- риска дробу

Сполученя без повторення

В тих випадках коли нас не цікавить порядок елементів комбінації, а цікавить лише факт складової частини комбінації, то використовують формули склеювань. Склеювання з n елементів по k називають будь яке рівняння з цих елементів в якому враховуються змістовна частина елементів.

C^k_n= A^k_n / k! = n! / k!(n-k)!

C^k_n=P(n₁,n₂)- P(n-k₁k)=n! / k!(n-k)!

Сполученя з повторенням

___

С^k_n= С^k_n+k-1= (n+k-1)! / (n-k)'k!

(дивився по 3 конспектах то тільки формулу найшов)

Історія розвитку теорії графів

Розвток Теорії графів почався з 1736 року Леонардом Ейлером, який проводив пошук шляхів за обраним маршрутом без повторень. Тому граф який дозволяє обійти всі свої вершини і повернутись в початкову точку без повторень називаеться Ейлеровим .

Ейлер розвязував класичну задачу про кенігсберзькі мости В 1736р, Ейлер намагався знайти розвязок пошуку шляху такого, що пролягае через усі мости без їх повторень і повернувшись в початкову точку Формалізувавши зображеня задачі до виду графа Ейлер зобразив берега и острови у вигляді вершин графа а мости — в вигляді ребер і довів що задача розвязків не має.

Наступним кроком у розвитку графів 1847р. коли Кірхгоф запропонував зобразити монологію електро мереж за допомогою засобів теорії графів. В 1857р хімік Келлі запропонував зобразити структури ізотопів за допомогою дерева графа.

Ейлеровий Граф

Задача про кенігсберзькі мости

Сім мостів Кеніґсберґа — видатна історична задача з математики. Доведення неможливості її розв'язання Леонардом Ейлером в 1735 призвело до створення теорії графів і передувало ідеї топології.

Місто Кеніґсберґ в Пруссії (нині Калінінград у Росії) було на берегах річки Преголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови — Кнайпгоф і Ломзе, що поєднувалися сімома мостами: Бакалійним, Зеленим, Гноєвим, Кузенним, Дерев'яним, Високим і Медовим.

Необхідно було знайти такий маршрут через місто, щоб кожним мостом проходити рівно один раз. На острів не можна було потрапити інакше як через міст, і кожен з мостів мав бути пройденим за один раз (тобто не можна було пройти на середину мосту і повернутиcя назад, а потім з іншого берега пройти другу половину). Ейлер довів, що розв'язку не існує.

Задача про чотири фарби. Розвязок Хівуда

Проблема чотирьох фарб - математична задача, запропонована Ф. Госрі (англ. Francis Guthrie) в 1852 році.

З'ясувати, чи можна будь-яку, розташовану на сфері карту, розфарбувати чотирма фарбами так, щоб будь-які дві області, що мають загальний ділянку кордону у вигляді дуги, були розфарбовані в різні кольори.

К. Аппель і В. Хакен довели в 1976 р., що так можна розфарбувати будь-яку карту. Це була перша велика математична теорема, для доказу якої був застосований комп'ютер. Не дивлячись на наступні спрощення, доказ практично неможливо перевірити не використовуючи комп'ютер.

Розфарбовуючи географічну карту природно користуватися по можливості меншою кількістю квітів, однак так, щоб дві країни, які мають спільну частину кордону (не тільки спільну точку), були пофарбовані по-різному. У 1852 році, Френсіс Гутрі (Guthrie), складаючи карту графств Англії, звернув увагу, що для такої мети цілком вистачає чотирьох фарб. Його брат, Фредерік, повідомив про це спостереженні відомому математику О. Де Моргану (DeMorgan), а той - математичної громадськості. Точна формулювання гіпотези опублікована А. Келі (Cayley, 1878).

(Розвязок не найшов хто мае добавте на перед дякую)