Проблемы развития математики

Свой классический облик математика приобрела в XVII – XVIII вв., При этом у нее уже тогда имелась возможность отражать одновременно и «со-бытийные» и «процессуальные» грани движения. Однако такие ее возможности были востребованы наукой только в XX в. Но с первыми шагами неклассической науки в математике стали складываться тенденции становления ее постнеклассики. Под такой ступенью развития математики можно понимать становление ее унитарного облика, чему предшествовала бурная полемика по основаниям математики, связанная с парадоксами теории множеств Г.Кантора. В ходе полемики сложились три течения: логицисты (Б.Рассел, А.Н. Уайтхед), формалисты (Д.Гильберт и его сторонники), интуиционисты (Л.Э.Брауэр и др.).

Логицисты, пытавшиеся свести математику к логике, “спровоцировали” ряд теоретических работ (А.Чёрч, К.Гёдель, Д.А.Бочвар) по проблеме тождества и различия математики и логики. Четкое выяснение сути проблемы привело к современному пониманию единства логики и математики.

Работы формалистов, явившихся основателями метаматематики, также привели к целому ряду весьма показательных результатов. По сути дела, именно они заложили фундамент первого варианта унитарного облика математики (который и был, фактически, использован Бурбаки). Наряду с этим, формалисты указали на те области математических объектов, где инструментарий уже имеющейся аналитики «не срабатывал». Это т.н. «нефинитные» (бесконечные) последовательности.

С проблемой исследования такого рода последовательностей справились интуиционисты. Но прежде чем обращаться к работам интуиционистов, следует обсудить проблему единства линейности и нелинейности. Вообще, в науку понятие линейности и нелинейности пришло из математики и применения её методов. Складываться они начали, по существу, в математических исследованиях ряда физических задач (работы Дж.У.Рэлея, Ж.Л.Д’Аламбера, А.Пуанкаре и др.). На основе аппарата полученных нелинейных уравнений были, фактически, сделаны первые шаги в изучении неизолированных систем. В настоящий момент нелинейность основных параметров данных систем связывается с такой объективной характеристикой их «поведения», как неопределённость. В окружающем нас мире фактически нет изолированных систем. Мир пронизан всеобщей универсальной связью. Всё связано со всем. Но при этом некоторые системы могут в определённых условиях рассматриваться как изолированные. Другими словами, в мире должно наблюдаться диалектическое единство линейности и нелинейности. Собственно говоря, сейчас понятия линейности и нелинейности приобрели статус общенаучных, поскольку на основе единства линейных и нелинейных уравнений исследуется единство изолированных и неизолированных систем во всех сферах объективной и субъективной реальности, подвластных самым разным дисциплинам частнонаучного знания. Если же при этом иметь в виду, что математика своими специфическими для неё методами отражает окружающий мир, то единство линейности и нелинейности должно быть также представлено как в основаниях, так и в структуре самой математики. Правда, оно имеет здесь облик единства определённости и неопределённости, многозначности и вероятностности.

Что же, собственно говоря, предложили для обсуждения нелинейностей в математике интуиционисты. Основой их подхода явилась концепция т.н. «свободно становящейся последовательности». На базе такой методологии они выстроили один из наиболее эффективных и при этом очень наглядных подходов к рассмотрению в математике объективных оснований взаимодействия и развития именно нелинейных систем. В ходе такого взаимодействия все открытые, «перекрывающиеся», неизолированные системы влияют друг на друга. И из всего спектра возможностей коэволюционных кооперативных изменений метасистема «выбирает» ту, которая для неё в данный момент времени является наиболее оптимальной. Иными словами, действительно наблюдается свободно становящаяся последовательность выбора вариантов. Конечно же, в данном случае свобода выбора не абсолютна. В каждом конкретном случае у системы и всех ее подсистем есть веер возможных вариантов ее «поведения», который и определяет обсуждаемый выбор. Многофакторность, неизолированность, а следовательно, и высокая степень неопределённости приводят к неповторимости каждого свободно сложившегося шага в развитии систем (важнейшая грань процессов самоорганизации в материальном мире). Удачно и само название – интуиционизм, поскольку, как известно, интуиция построена на ситуативном мышлении, при котором только и можно «уловить» названные процессы.

Единство линейности и нелинейности в самом здании математики, естественно, обусловлено наличием такого единства в её основаниях. Но всё же здесь есть и принципиально иные моменты, имеющие свой особый вид. В настоящее время они представлены, в частности, современными процессами гибридизации структур, идущими по пути включения неопределённостных, многовариантных и вероятностных компонентов в формирующиеся гибриды. Весьма показательным примером такого рода является, например, дифференциальная динамика, сложившаяся на базе дифференциальной топологии, теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Гибридизация идёт также и по пути явно выраженного усложнения математических объектов и их отношений, что с необходимостью приводит к новому инструментарию в математических исследованиях - компьютерным моделям с неопределенностью. Процесс проникновения неопределённости в структуру математики даже предстаёт иногда как явление утраты математикой того, что всегда ей было характерно (определённости).

Ещё одной гранью обсуждаемой проблемы являются современные подходы к основанию и структуре математики. В качестве одной из них выступает теория нечётких множеств Л.Заде, которая с самого начала построена на неопределённости и вероятности. Другой вариант подхода составляет теория категорий и функторов, появлению которой в существенной мере, способствовали работы логицистов. Но это не единственный аспект. Именно на основе теории категорий и функторов в настоящий момент строятся поливариантные облики унитарности математики, что представляет зрелый этап постнеклассического развития математики, с помощью которого фактически и удается построить достаточно гибкую математическую модель меняющейся на каждый момент времени картину всеобщей универсальной связи как объективной основы всеобщей детерминации. Такие «глобальные» возможности современного постнеклассического облика математики соседствуют с менее глобальными, но очень эффективными решениями, которые стали возможны только на нынешнем этапе ее развития. Имеется в виду пространство обобщенных координат М.А. Гельфанда, которое нашло применение только уже в постнеклассической науке. Иными словами, в период развития неклассической науки в ее рациональности в облике рациональности математики и логики уже были мощные компоненты рациональности постнеклассики. И это существенно ускоряло развитие науки, поскольку уже был соответствующий инструментарий отражения всеобщей детерминации.