8.2. Классификация методов оптимизации.

Методы оптимизации исторически развивались независимо с

использованием различных концепций, математических аппаратов и т.д., что объясняет определённую сложность их классификации. Рассмотрим классификацию методов оптимизации в трактовке работы которая, хотя и носит условный характер, даёт возможность ознакомиться с их особенностями и областями применения.

Исходя из возмож­ности нескольких под­ходов к классификации, следует различать мето­ды определения экстре­мума функции и функционала (рис.). Являясь частным случа­ем функционала, функ­ция отличается более простыми методами отыскания экстремума.

Современная прак­тика оптимизации производственных про­цессов требует приме­нения как аналити­ческих, так и численных методов поиска экстремума. Преимущество аналитических методов заключается в возможности определения качественной картины поведения опти­мальной системы при изменении её параметров и структуры. Применение численных методов обеспе­чивает получение конкрет­ных числовых значений параметров управления производственным процес­сом.

Особое место занимают человеко-машинные методы оптимизации, использующие возможности работы оператора в режиме диалога с ЭВМ. Это даёт возможность повторять вычисления при разных условиях, использовать аналитические методы, представленные в виде стандартных программных блоков и, что самое важное, оперативно включать в процедуру отыскания оптимального решения интеллектуальные способности человека. Весьма важно, что при таком способе оптимизации исходный критерий оптимальности может быть нестрого математически формализован в виде функции или функционала. Так, он может состоять из нескольких положений, сформулированных достаточно чётко на словесном, содержательном уровне, что при наличии диалога человек - машина вполне допустимо.

Методы отыскания экстремума функции получили широкое развитие из-за вычислительных трудностей решения алгебраических уравнений вида

,j=1,2,…n,

особенно при наличии ограничений на переменные .

Увеличение числа переменных и ограничений на них ведет к резкому возрастанию сложности решения уравнений. В связи с этим широкое распространение получили прямые методы отыскания экстремума функции, методы линейного и нелинейного программирования, дискретные принципы максимума и динамическое программирование. Методы динамического программирования и принципа максимума с успехом применяются для отыскания экстремума функционала и функции. Прямые методы вариационного исчисления (методы Ритца, Эйлера и др.), как дискретный вариант уравнения Эйлера, сводят задачу отыскания экстремума функционала к экстремуму функции. Методы поиска экстремума функционала включают в себя как классические (методы Эйлера-Лагранжа-Гамильтона), так прямые и различные специальные методы, а заканчиваются динамическим программированием и принципом максимума .

Во многих областях практики, в том числе и в машиностроении, возникают задачи оптимизации применяемых решений, имеющих следующие характерные черты:

• показатель эффективности представляет собой линейную функцию от элементов решения;

• ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Такие задачи составляют круг задач линейного программирования.

Вопросы для самопроверки

1. Какова роль системного подхода в решении задач оптимизации технических систем?

2. Чем занимается прогрматика как наука?

3. Дайте определение семиотики и математической лингвистики.

4. Приведите примеры наиболее распространенных видов критериев оптимизации и областей их применения.

5. Какие задачи составляют круг задач линейного программирования?

Рекомендуемая литература.

1. Аверченков, В.И. Основы математического моделирования технических систем: учеб. пособие / В.И. Аверченков, В.П. Федоров., М.Л. Хейфец – Брянск: Изд-во БГТУ, 2004.

2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.:Советское радио, 1972.

3. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1998.

4. Фёдоров, В.П. Математическое моделирование в машиностроении:

учебное пособие. / В.П.Фёдоров – Брянск: БГТУ, 2013.= 112 С.