3.2. Моделирование технических систем на основе алгебры логики.

Моделирование процессов и объектов машиностроения предполагает, наряду с численными методами, широкое использование математических операций с высказываниями, которые имеют свою специфику и свои законы, рассматриваемые алгеброй логики. Модели алгебры и исчисления высказываний рассматривают связи между высказываниями, которые воспринимаются через выражающие их предложения соответствующего предметного языка.

Овладению им способствует усвоение понятий о простых и составных высказываниях, элементарной алгебры логики. Для спешного решения задач, возникающих при этом, необходимо знание порядка моделирования логических высказываний и технических систем на основе синтеза комбинационных схем. Выражение значительной части знаний, относящихся как к математике, так и к естественному разговорному языку, возможно на основе логической системы – исчисления предикатов первого порядка.

В соответствии с теоретико-множественным подходом в алгебре высказываний в качестве элементов множества выступают простые высказывания,операции над которыми и являются содержанием этой алгебры.

Простое высказывание – каждое утверждение, которое в определенных условиях времени и места может быть истинным или ложным.

Высказывания рассматриваются по отношению к элементам некоторого универсального множества . Отдельные элементы этого множества будут обладать различными свойствами и в соответствии с этим могут образовывать различные группы, представляющие собой подмножества множества. Так,если – множество инструмента, то его подмножествами могут быть:– множество резцов;– множество сверл;– множество зенкеров и т.д.

Высказывания будем обозначать строчными латинскимибуквами и приписывать каждому из них численные значения:(если высказываниеистинно) и(если оноложно). Пустьозначает высказывание «это резец». Его численные значения будут равны:

Логической операциейнад простыми высказываниями называется построение из них нового составного высказывания.Совокупность таких логических операций получила название алгебры высказываний, или булевой алгебры.

Приняты три способа изображения булевых функций:

1. Формула, указывающая в явном видепоследовательность логических операций,производимых над высказываниями_,и имеющая вид соотношения.

2. Таблица, указывающаязначения истинности составного высказывания в зависимости от значений истинности исходных высказываний.В левой части таблицы перечисляются все возможные комбинации значений истинности исходных высказываний, а в правой части – значения истинности составного высказывания. Если имеетсяNисходных высказываний, то число строк таблицы будет равно.

3. Логическая схема, представляющая собойусловное графическое обозначение логической операции.

В вычислительной технике и автоматике отдельные высказывания обычно представляются в виде сигналов, имеющих два уровня (0 и 1), или в виде устройств, которые могут принимать два состояния (реле, триггер, транзистор и др). Состояние сигналов в ЭВМ или приборов в системах автоматики определяют значения истинности соответствующих высказываний.

При таком подходе логическая схема представляет собой преобразователь сигналов, который можно использовать для целей управления различными процессами.

Логические операции можно интерпретировать с помощью диаграмм Эйлера – Венна, напоминающих диаграммы геометрической интерпретации тождеств алгебры множеств.

Вопросы для самопроверки.

1. Определение графа и способы его представления.

2. Какие задачи могут решаться с помощью теории графа?

3. Как математически могут представляться графы?

4. Как формируются простые высказывания в алгебре логики?

5. Как изображаются булевы функции?

6. Какие логические операции используются в элементарной алгебре высказываний?

Рекомендуемая литература

1. Аверченков, В.И. Основы математического моделирования технических систем: учеб. пособие / В.И. Аверченков, В.П. Федоров., М.Л. Хейфец – Брянск: Изд-во БГТУ, 2004

2. Коршунов, Ю.М. Математические основы кибернетики: учебн. пособие для вузов / Ю.М. Коршунов. –М.: Энергия, 1987.

3. Кузин, Л.Т. Основы кибернетики: В 2 т. Т.2. Основы кибернетических моделей: учебн. пособие для вузов / Л.Т. Кузин. – М.: «Энергия», 1973.

4. Фёдоров, В.П. Математическое моделирование в машиностроении:

учебное пособие. / В.П.Фёдоров – Брянск: БГТУ, 2013.= 112 С.