Раздел 4: «Методы компьютерного моделирования машиностроительных производств, математические и имитационные модели.» (3 часа)

Лекция 5.«Основные понятия. Цель и задачи имитационного моделирования»(1час)

План лекции:

5.3. Основные понятия. Цель и задачи имитационного моделирования.

5.4. Блок-схема решения задач имитационного моделирования.

5.3. Основные понятия. Цель и задачи имитационного моделирования.

Особым видом моделей являются имитационные модели. Имитаионное моделирование проводится в тех случаях, когда исследователь имеет дело с такими математическими моделями, которые не позволяют заранее вычислить или предсказать результат. В этом случае для предсказания поведения реальной сложной системы необходим эксперимент, имитация на модели при заданных исходных параметрах. имитация представляет собой численный метода проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями , описывающими поведение сложной системы в течении заданного или формируемого периода времени. Поведение компонентов сложной системы и их взаимодействие в имитационной модели чаще всего описывается набором алгоритмов, реализуемых на некотором языке моделирования. Термин «имитационная модель» используют в том случае, когда речь идет о проведении численных расчетов и в частности о получении статистической выборки на математической модели, например, для оценки вероятностных характеристик некоторых выходных параметров. Моделирование на

Ответственный этапсоздания имитационной модели представляет собойсоставление формального описания объекта моделирования сложной системы. Цель этапа – получение исследователем формального представления алгоритмов поведения компонентов. При составлении формального описания модели исследователь использует тот или иной язык формализации. В зависимости от сложности объекта моделирования и внешней среды могут использоваться три вида формализации: аппроксимация явлений функциональными зависимостями, алгоритмическое описание происходящих в системе процессов, комбинированное представление в виде формул и алгоритмических записей.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. В результате по исходным данным получают сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность определить характеристики системы.

5.4. Блок-схема решения задач имитационного моделирования.

Активный экспериментпозволяет получить статистические модели процессов формирования в технологической системе параметров состояния поверхностного слоя или их эксплуатационных свойств от условий обработки, а также эксплуатационных характеристик обрабатываемых поверхностей от параметров их качества, то естьзависимости типа «режимы обработки – параметры качества поверхности», «режимы обработки – эксплуатационные показатели поверхности», «параметры качества поверхности – эксплуатационные показатели поверхности». На основе таких моделей исследуется параметрическая надёжность технологических систем по обеспечению качества поверхностей и эксплуатационных свойств соединений.

Экспериментально установлено, что модели функций технологических процессов с достаточной для практических целей точностью можно представить в виде полиномиальной (аддитивной) модели

Y_i= ₀+ ₁ X₁+ … +_i X_i+ … +_k X_k,

где Y_i–i-й параметр состояния поверхностного слоя или эксплуатационных свойств соединения после обработки;X_i–i-й фактор технологического процесса;₀,_i– истинные значения коэффициентов регрессии.

Аддитивные модели этого вида строятся из предположения линейной связи между функцией Y_i и аргументами X_i. Такие случаи в технике и технологии встречаются достаточно редко. Чаще приходится иметь дело с нелинейной зависимостью оцениваемых пара­метров относительно рассматриваемых факторов. В таких случаях для упрощения полу­чения моделей исходные данные подвергают преобразованиям, глав­ное назначение которых состоит в линеаризации рассматриваемых зависимос­тей по оцениваемым параметрам. В частности, одним из таких мето­дов является логарифмирование исходных данных, которое позволяет получить модель процесса в виде функции Кобба-Дугласа (мультипликативная модель)

.

Логарифмирование приводит к линейной зависимости

ln Y_i = ln ₀+ ₁ ln X₁+ … +_k ln X_k.

Эти модели являются приближённой имитацией формирования показателей процесса в технологической системе. Одним из их недостатков является неудовлетворительная точность и отсутствие адекватного отклика на изменяющиеся условия протекания моделируемого процесса.

Если же в этих моделях случайными являются один или несколько факторов X_i, то для оценок М{Y_i} и S²{Y_i}, аналитические выражения найти не удаётся. В этом случае их оп­ределение связано с обработкой массива, данных Y_iN, полученных в результате машинного эксперимента (МЭ) путём N прогонов соответствующих имитационных моделей по схеме Монте-Карло (рис.).

В качестве исходных данных используются результаты построения имита­ционных моделей, конструкторские и технологические ограничения.

В общем случае в число исходных данных входят:

1)имитационная модель для параметраY=f(₀,_i,X_i);

2)имитационная модель скорости изменения параметраYв процессе функционирования технологической системы=f(₀,_i,X_i);

Рис. Блок-схема расчёта показателей надёжности ТС

по показателям качества методом Монте-Карло

3)математические ожидания и средние квадратические отклонения ко­эффициентов и случайных факторов обработкиМ{_i},S{_i},М{_i},S{_i},М{X_i},S{X_i};

4)допустимые пределы изменения параметраY, заложенные в конструк­торской документации, и время безотказного функционирования тех­нологической системы, то естьY_max,Y_min,T;

5)допустимые пределы варьирования технологических факторов обра­боткиХ_{i max},Х_{i min};

6)доверительная вероятностьи допустимые абсолютные ошибки оп­ределения оценокМ{Y}, S²{Y} (величиныаиd).

Определяются номинальные значения технологических факторов X_i, обеспечивающие получение требуемого значения параметра Y₀. При этом в соответствующих имитаци­онных моделях используются коэффициенты b_i = M{_i}. При рас­чёте условий обработки, обеспечивающих получение величины Y в заданном интервале [Y_min, Y_max], обязательно анализируется выполнение технических тре­бований по точности размеров и погрешности формы обрабатываемой детали.

В дальнейшем осуществляется тактическоепланирование, связанное с эффективным использованием машинных ресурсов, обеспечением точности и достоверности (что особенно важно) результатов машинного эксперимента, формирующего массив данных поi-му параметру качества КПС или ЭСY_i.

Важным является вопрос о выборе числа прогонов модели N в процессе машинного эксперимента. Число прогонов N должно удовлетворять заданной точности оценки величин М{Y_i} и S²{Y_i} по результатам машинных экспериментов.

Для генерации случайных величин X_i, _0j, _ij, _0i, _ij в процессе машинного эксперимента исполь­зуется датчик псевдослучайных чисел. Сначала генерируются равно­мерно распределённые случайные числа в интервале (0, 1), а затем формируется нормально распределённое случайное число с парамет­рами M{_i} = b_i и S{_i}.

После расчёта N значений параметра Y_i проверяются статистические гипотезы, и оцениваются параметры распределения.

По полученным данным истроятся гистограммы распределений, включающиеинтервалов, и проверяются гипоте­зы о законе распределения (рассматриваются распределение Вейбулла, нормальное и логарифмически-нормальное распределения) с помощью критерия².

Если  для данного уровня значимости и числа степеней свободы, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, и принимается соответствующий ей закон распределения.

Затем, оцениваются вероятности выполнения заданий ТС по i-му параметру КПС или ПЭС. Эти вероятности характеризуют параметрическую надёжность ТС по обеспечению данного параметра в заданных границах.

Такая процедура повторяется для всех регламентируемых параметров и рассчитывается вероятность выполнения задания ТС в соответствии с по всем mобеспечиваемым параметрам качества:

P(t) = min{P₁(t), ..., P_i(t), …, P_m(t)}.

При исследовании показателей надёжности технологической системы методом имитаци­онного моделирования на статистических моделях следует чётко представлять, что моделируется только «прошлое», то есть при этом использу­ются данные, полученные экспериментально на этапе построения ими­тационных моделей. Следовательно, чтобы прогноз, сделанный на основе имитационного моделирования, оправдался, необходимо пред­положить, что основная форма распределения параметров ТС во времени остаётся неизменной и её особенно­сти, относящиеся к определенному промежутку времени, будут повто­ряться. Такие допущения следует принять для нормально функцио­нирующего технологического процесса. На случаи внезапных отказов ТС результаты предложенного подхода не распространяются.

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях проводится имитационное моделирование и что оно собой представляет?

2. Какими моделями удовлетворительно описываются функции технологических систем?

3. какие блоки входят в систему расчета показателей качества ТС методом Монте-Карло?

4. Что моделируется в процессе имитационного моделирования системы: ее «прошлое» или «будущее» и почему?

5. Перечислите основные этапы оценки параметрической надёжности технологических систем методом Монте-Карло.

6. Что такое «машинный эксперимент»? Как его организовать?

7. Как обеспечиваются заданные законы распределения параметров имитационной модели в процессе машинного эксперимента по схеме Монте-Карло?

Рекомендуемая литература.

1. Аверченков, В.И. Основы математического моделирования технических систем: учеб. пособие / В.И. Аверченков, В.П. Федоров., М.Л. Хейфец – Брянск: Изд-во БГТУ, 2004.

2. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1998.

3. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. –М.: Мир, 1978.

4. Фёдоров, В.П. Математическое моделирование в машиностроении:

учебное пособие. / В.П.Фёдоров – Брянск: БГТУ, 2013.= 112 С.

Лекция 6. (Окончание раздела 4)«Роль и место машинных экспериментов в процессе моделирования объектов машиностроения» ( 2 часа )

План лекции:

6.1. Планирование машинных экспериментов. Моделирование по схеме Монте-Карло.

6.2. Анализ результатов и принятие решений.