Лекция 8-9 Механические колебания и волны

ПЛАН:

1. Гармонические колебания и их характеристики.

2. Математический маятник. Период колебаний математического маятника.

3. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

4. Распространение механических волн в упругих средах. Продольные и поперечные волны.

5. Интерференция и дифракция волн.

1. Колебаниями называются процессы или движения, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колеба­тельные процессы широко распространены в природе и технике. Ко­леблются мосты под действием проходящих по ним поездов, колеблются вращающиеся валы машин и детали летящих самолетов, дрожат части зданий в больших городах и т.д. Таковы примеры вредных механических колебаний с которыми борется техника. Колеблются маятники различного рода в часах и других приборах, вибрируют струны звучащей скрипки, колеблются напряжение и ток в электрической цепи. Колеблются части нашего тела при движении. С определенной периодичностью происходят многие процессы в биосистемах.Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др.При всем разнообразии колебаний имеются общие законы, которым они подчиняются.

Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся Д.У. Рэлеем; А.Г. Столетовым; П.Н. Лебедевым. Большой вклад в раз­витие теории колебаний внесли Л.И. Мандельштам и его ученики.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободныминазываются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равнове­сия. (Пример: колебания маятников).

Вынужденныминазываются такие колебания; в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периоди­чески изменяющейся силы. (Пример: колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой - система сама управляет внешним воздействием.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты про­хождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебанияхза счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра систе­мы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания. Простейшим типом колебаний являютсягармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

а) колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

б) различные периодические процессы (процессы, повторяющие­ся через равные промежутки времени) можно представить как нало­жение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины Sописываются уравнением типаS=A∙ сos(ω₀t+φ),(1) где А - максимальное значение колеблю­щейся величины, называемойамплитудой колебаний,ω₀- круговая (циклическая) частота,φ- начальная фаза колебаний в момент времениt=0, (ω₀+φ) - фаза колебаний в момент времениt. Т.к. косинус изменяется в пределах от +1 до -1, тоSможет принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т,называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает прираще­ние 2π, т.е.ω₀(t+T) +φ= *ω₀t+φ) + 2π, откуда Т=2π/ω₀(2).

Величина обратная периоду колебаний: (3) *v=l/T, называетсячастотой – число полных колебаний в единицу времени.

Единица частоты - герц (Гц): 1Гц - частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса. Из формул (2) и (3) следует, что ω₀ = 2πv*.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармони­чески колеблющейся величины S; получим выражения для скорости и ускорения:V=dS/dt=-*A∙sin(ω₀t+φ=A∙ω₀ ∙cos(ω₀t+φ+π/2), (4)

a=d²S/dt² =-A∙ω₀² ∙ cos(ω₀t+φ)=A∙ω₀² ∙ cos(ω₀t+φ+π), (5) т.е.

Имеем гармонические колебания той же циклической частоты. Амп­литуды скорости и ускорения соответственно равны А ω₀и Аω₀².

Фаза скорости отличается от фазы величины S на π/2, а фаза ускорения отличается от фазы величины S наπ. Следовательно, в моменты времени, когдаS=0,dS/dtприобретает наибольшие значе­ния; когда же S достигает максимального отрицательного значения, тоd²S/dt²приобретает наибольшее положительное значение (см.рис.1)

Из формулы (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний.d2S/dt2 +ω02S=0 (6) (где учтено, чтоS=A∙cos(ω0 +φ). Решением уравнения (6) является выражение (1). Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдолъ оси координат Х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты Х от времени tзадается уравнением, аналогичным уравнению (1), гдеS=Х: Х=А∙соs(ω0t+φ) (7). Тогда скоростьVи ус­корение а колеблющейся точки соответственно равны:*V=A∙ω02 ∙ соs(ω0t+φ) =A∙ω02 ∙ cos(ω0t+φ+π/2); a= -A∙ω02 ∙ cos(ω0t+φ)=A∙ω02 ∙ cos(ω0t+φ+π) (8) СилаF=m∙a, действующая на колеблющуюся материальную точку массойm, с учетом уравнений (8) равнаF=-m∙ω02 X. (F=-KX, гдеK=ω02 ∙m,F-квазиупругая сила, т.е. подобная упругой силе, хотя физическая природа этой силы может быть другой).

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения: E=E_nmax=KX²/2; при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии., которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения:E=E_kmax=m∙V^2*max/2=m∙A²ω₀²/2. Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания.

* E_k=mV²∙ ω₀²/2 ∙Sin² (ω₀t+φ), (9)

Е_n =КХ²/2=mА² ∙ω₀²/2 ∙ cos² (ω₀t+φ), (10)

Сложив (9) и ('10), получим формулу для полной энергии:

E=E_k+E_n=mA²ω₀²/2. Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной. Из формул (9) и (10) видно, чтоE_kиE_n. Изменяются с частотой 2ω₀, т.е. с час­тотой, в два раза превышающей частоту гармонического колеба­ния. (см. рис. 2). Т.к.<sin²α> = <cos² α> = 1/2, то <E_k>= <E_n>=E/2.

2. В физике под маятником понимают твердое тело, совершаю­щее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математический маятник -идеализированная система, состоя­щая из материальной точки массойm, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хо­рошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать угломφ, образованным нитью с вертикалью (рис.3). При отклонении маятни­ка от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величинеmglsinφ(m- масса, 1 - длина маятника).

рис.2

Он имеет такое нап­равление, что стремится вернуть маятник в положение равновесие, аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смеше­нию и квазиупругой_силе, моменту М и угловому смещению φ нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно: M = -mgl ∙ sinqi* (1). Напишем для маятника уравнение динамики враща­тельного движения. Учитывая, что уг­ловое ускорение –d²φdt^{2 *}, а момент инерции маятника равенml², получа­ем:

ml²d²φ/dt² = -mgl∙siφ.

J F_τ

Последнее уравнение можно привести к виду

d²φ/ dt²+g/l∙sinφ= 0. (12). Ограничимся рассмотрением малых колебаний, в этом случае можно положитьsinφ≈φ. Обозначимg/l=ω₀², придем к уравнениюd²φ/dt² +ω₀²φ= 0 (13), решение которого из­вестно:

φ=φ₀∙cоs(ω₀t+α) (14). Следовательно,при малых колебаниях математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотойω₀ и периодом Т=2π/ω₀=2π√1/g(15).

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.. При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника. (ω₀²=mgI/J), поэтому период колебания физического маятника определяется выражением Т = 2π√J/mgI(16).

Из сопоставления формул (15) и (16) следует, что математический маятник с длиной lnp=J/ml(17) будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величинуlпр. называют приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приве­денная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка 0' на продолжении прямой 00, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведёной длины, называется центром качаний физического маятника (см. рис.4 т. 0'). Точка под­веса 0 и центр качаний 0' обладаютсвойствами взаимозаменяемости:если ось подвеса сделать проходящей через центр качаний, то точка 0 прежней оси подвеса станет новым центром ка­чаний и период колебаний физического маятника не изменится.

рис. 4

3. Свободные колебания математического маятника, как и любые другие свободные колебания, с течением времени затухают. (см. рис. 5)

Для того, чтобы колебания были незатухающими, энергия колеблющегося тела должна по­полняться. Это может происходить, если на тело действует внешняя сила. Колебания тела или системы совершаемые под действием внешней, периодически пзменяющейся силы за счет работы этой силы называют вынужденными. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы, действующей на тело, а амплитуда таких колебаний зависит от амплитуды этой силы.

рис. 5

Резонанс.

Очень важным является случай возникновения вынужденных колебаний в системе, которая способна совершать свободные колебания. Рассмотрим следующий опыт. К горизонтальной рейке, укреп­ленной на стойках, подвешены математические маятники с нитями разной длины (рис.6) 1₁,1₂ ,1₃,1₄.

Среди них два маятника имеют одинаковую длину нити (1₂=1₄). Согласно формулеω₀= √g/1, это означает, что частоты собственных колебаний этих маятников одинаковы, т.е.ω₀₂ =ω₀₄. Если вывести из состояния равновесия маятник 2, то его колебания через рейку передадутся остальным маятникам. При этом маятники 1 и 3 будут покачиваться лишь слегка, а маятник 4 начнет раскачиватьсяcильно, с большой амплитудой колебаний.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тела, происходящее при совпадении частоты изменения ωдействующей на это тело внешней силы с собственной частотой ω0 свободныхколебаний данного тела, называют механическим резонансом.

рис. 6

На рис. 7 изображены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний двух тел 1 и 2 от частоты изменения действующей на эти тела внешней периодически из­меняющейся силы. Из рисунка видно, что амплитуда вынужденных колебаний возрастает с приближением частоты ωк

собственной частоте тела ω0и стано­вится максимальной приω = ω0 (резонанс). Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе тем больше, чем меньше трение в системе. При малом трении резонанс "острый" (кривая 1 на рис.7), при большем трении - "тупой" (кривая 2). В системе с малым трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе может стать очень большой даже при малой вынуждающей силе.

рис. 7

Амплитуда Х_mвынужденных колебаний при резонансе определяется по формуле:

Х_m =F_m/ω₀, гдеF_m- амплитудное значение внешней силы;-коэффициент трения. Возможность возникновения резонанса приходится обязательно учитывать в технике, особенно при создании машин и механизмов с движущимися частями, а также при строительстве мостов, зданий и других конструкций, испытывающих вибрацию под нагрузкой. Известно много случаев, когда неучёт явления резонанса приводил к серьёзным авариям: разрушались мосты, самолеты, происходили поломки валов двигателей и турбин, гребных винтов кораблей и т.д. Однако явление резонанса имеет и большое практическое применение. Его используют во многих меха­нических, акустических и радиотехнических приборах.

Незатухающие колебания могут происходить в системе и при отсутствии внешней силы, если данная система содержит в себе источник энергии и устройство, регулирующее поступление к ко­леблющейся части системы порций энергии, компенсирующих потере, вызванные трением. Такие системы называют автоколебательными.Примерами подобных систем являются часы, сердце живого организ­ма и т.д. В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний зависят от свойств автоколебательной системы.

4. Процесс распространения колебаний с течением времени называют волной. Волны, распространяющиеся за счёт упругих свойств среды, называютупругими.Упругие волны бывают поперечными и продольными.

Поперечный- называют волну, в которой колебания частиц происходят перпендикулярно направлению распространения волны. По­перечные упругие волны могут распространяться только в твердых телах и на свободной поверхности жидкости. В газообразных обе­дах поперечные волны существовать не могут.

Продольной- называют волну, в которой колебания частиц сре­ды происходят в направлении распространения волны. Продольные упругие волны могут распространяться и в твёрдых, и в жидких в газообразных средах.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества. Волна обладает периодичностью свойств в пространстве и во времени. Чтобы выявить фазовые соотношения в волне рассмотрим рис.8, на котором изображены в один и тот же момент времени положения колеблющихся точек среды, через которую проходит поперечная упругая волна, распрост­раняющаяся вдоль оси Оу.

рис. 8

Две точки колеблются в одинаковых фазах, если они, двигаясь в одном направлении, одновременно проходят через положение рав­новесия и одновременно достигают одинаковых по модулю и знаку амплитудных отклонении. Данному условию удовлетворяют точки 0 и 4; 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8, следовательно, эти пары точек колеблются в одинаковых фазах, т.е. у них ₁=₂. Сдвиг фаг между любыми двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах, равен₁-₂= 2k(k=0,1,2,...). Две точки колеблются в противоположных фазах если они, двигаясь в противоположных направлени­ях, одновременно проходят через положение равновесия и одновре­менно достигают равных по модулю, но противоположных по знаку амплитудных отклонений. (См.рис.8, точки: 0 и 2; 2 и 4; 3 И 5; 4 и 6; 5 и 7; 6 и 8). Сдвиг фаг между любыми двумя точками, колеблющимися в противоположных фазах, равен₁-₂=(2k+1), гдеk=0,l, 2… Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны ().

-VT- длина волны - это расстояние, на. которое распространяется определенная фаза колебания за период. Т.к.T=l/v, гдеv- частота колебаний,V=v- скорость волны (фазовая скорость) - скорость перемещения в пространстве какой-либо фазы волны (например гребня или впадины в поперечной волне, сгущения или разрежения в продольной волне).

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси X, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т.е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.

Совокупность всех точек среды, которые в данный момент времени колеблются в одинаковых фазах, образует некоторую поверхность, называемую волновой. Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны. Волновой фронт в каждый момент времени один, а волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество. Волны принято называть по форме их волнового фронта. Если фронт имеет форму сферы; ее называет сферической. Такие волны создаются точечными источниками волн в однородной среде. Если фронт волны представляет собой плоскость, волну называют плоской. Плоскую волну можно, например, возбудить, если поместить в упругую среду плоскую пластину больших размеров и вызвать ее возвратно-поступательное движение.

При распространении в оплошной среде сферической волны пло­щади ее волновых поверхностей быстро увеличиваются по мере удаления от источника волн (т.к. площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату радиуса). Это приводит к рассеянию энергии волны в пространстве и уменьшению интенсивности волны (т.е. к уменьшению энергии, переносимой волной за единичное время через единичную площадь), что, в свою очередь, вызывает уменьшение амплитуды колебаний частиц среды, т.е. затухание колебаний. Такое затухание сферической волны при ее удалении от источника происходят независимо от того, действуют ли в данной среде силы трения, вызывающие уменьшение амплитуды колебаний в процессе перехода кинетической энергии колебательного движения во внутреннюю энергию среды. При распространении в сплошной среде плоской волны площадь ее волновой поверхности при удалении волны от источника практически не увеличивается; поэтому энергия плоской волны в пространстве не рассеивается и затухание колебаний может происходить только под действием сил трения в среде.

5, Распространение волн в пространстве нередко сопровождается явлениями интерференцииидифракцииэтих волн. Такие явления свойственны всем волнам независимо от их природы и являются характерными признаками любого волнового процесса.

Явление интерференции возникает при суперпозиции (т.е. наложении) когерентных волн. Когерентными называют волны, излучаемые такими источниками, у которых частоты колебаний одинаковы (т.е. v₁=v₂), сдвиг фаз между колебаниями с течением времени не изменяется (т.е.₁-₂=const) и колебания происходят в одной плоскости.

При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Если складываются колебания в одинаковых фазах, т.е. ₁=₂и, следовательно, сдвиг фаз между ними₁-₂=2К(К=0,1,2,...), то в результате происходит усиление колебаний образуется интерференционный максимум. При этом смещение (и амплитуда) результирующего колебания равно сумме смещений (амплитуд) наложившихся колебаний. Если же складываются колебания в противоположных фазах, т.е.₁=-₂, и, следовательно, сдвиг фаз между ними₁-₂=(2К+1)(К=0,1,2,...), то в результате происходит ослабление колебаний - образуется интерференционный минимум. При этом смещение (и амплитуда) результирующего колебания равно разности смещений (амплитуд) наложившихcя колебаний.

Дифракция волн - при распространении волны могут встретиться с различными препятствиями.

Если размеры препятствий намного превышают длину волны, за ними волны не распространяются. Если же размеры препятствий сравнимы с длиной волны или меньше ее, происходит дифракция волн, т.е. отклонение волн от первоначального направления распространения и сгибание волнами препятствий.