Лекция 3 Кинематика материальной точки

ПЛАН

1. Прямолинейное движение: равномерное движений, равноускоренное, неравномерное. Кинематические уравнения.

2. Криволинейное движение. Кинематика вращательного движе­ния,

1. - В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

а) Равномерное прямолинейное движение- это такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения (г). Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т.е. |г| = =s. Для того чтобы найти переме­щение телаг за промежуток времениt, необходимо знать его скорость V. Скорость равномерного прямолинейного движения равна V=r/t - отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение. Направление V в прямолинейном движении совпадают с направлениемг, Из определения равномерного прямолинейного движения следует, что скорость такого движения является величиной постоянной, т.е. V = const. По модулю |V| =s /t [1].

Пусть ось ОХ системы координат; связанной с системой отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а Х_о- координата начальной точки движения. Вдоль оси ОХ направлены и перемещениег и скорость V движущегося тела. Из формулы V =г /t. следует чтог = Vt. Согласно этой формуле, векторыг и Vt равны, поэтому равны и их проекции на ось ОХ : r_х= v_xt [ 2 ].r = v t.

Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т.е. найти выражение для координаты тела в любой момент времени. Так как х = х₀+ г_х, а г_х=V_Xt , то х = х₀+V_xt [ 3 ].

Из формулы [3] видно, что для нахождения положения тела (материальной точки) в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении нужно знать начальную координату тела (точки) Хо и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело. Но необходимо помнить, что проекция вектора скорости может быть как положительной, так и отрицательной.

Формула [3] позволяет выяснить, какой смысл имеет величина «скорость». Из нее следует; что Vx = (х-х_о) /t; проекция скорости на ось равна изменению соответствующей координаты за единицу времени. Подчеркнем еще раз, что для решения основной задачи механики необходимо знать не только модуль скорости, но и ее направление.

б) Равноускоренное прямолинейное движение - это такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Вспомним, что быстроту изменения скорости называют ускорением а.

[ 4 ] a =(V-V_o) /t , где V_o- начальная скорость тела, т.е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; V - мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени. Из формулы [ 4 ] и определения равноускоренного движения следует, при таком движении ускорение не изменяется, т.е.а = const.В прямолинейном равноускоренном движении векторыV_o, Vианаправлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов; и поэтому формулу [ 4 ] можно записать так а = (V-V_o) /t [ 5 ]. Из [ 4 ] следует, что V = Vo + at - по этой формуле определяют мгновенную скорость V, если известны Vo - начальная скорость и ускорение а. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде: V = Vo + at [6].

Если Vo = 0, то V = at [ 7 ], Средняя скорость прямолиней­ного ускоренного равномерного движения может быть определена по формуле: Vcp = (Vo+ V) / 2, [ 8 ].

Где Vo - начальная скорость тела. ( материальной точки ),

V - скорость в данный момент времени.

Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого проинтегрируем выражение [6] и получим, что

s=Vot+at²/2 [ 9 ].

Если Vo=0 , то s=at²/2 [ 10 ]. По двум последним формулам [ 9 ] и [10] определяют путь, пройденный в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела. не изменяющего направления своего движения).

Для случая; когда тело движется по оси Ох из точки с координатой х₀из формулы [ 9 ] получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Т.к. х = х_о+ г_ха г_х=V_oxt+a_xt²/2, то:x=x_o+V_oxt+a_xt²/2 [ 11 ].

Формула [ 11 ] есть кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения. Следует помнить., что V_охи а_xмогут быть как положительными, так и отрицательными, т.к. это проекции векторовV₀ иана ось Ох.

Установим связь модуля перемещения тела r с его скоростью равноускоренного прямолинейного движения. Из формулы [ 4 ] находим, чтоt= (V-V_o) /a, подставим это выражение в формулу мгновенной скорости получим:

Vo+VV-V

S=, следовательно S=(V²- Vо²)/2a или

2 aV²= V_о²+2as если V_o=О, то V²=2as

в) Неравномерное прямолинейное движение- это движение, при котором за равные промежутки времени тело (материальная точка) совершает неравные перемещения. При таком движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения иcпользуются понятия средней и мгновенной скоростей. V_cp=г/t - средняя скорости - векторная величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени, за который совершено это перемещение. V_cpхарактеризует (переменное) неравномерное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная V_cpиt, можно определись перемещениеr=V_cpt. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней ско­рости нельзя.

Когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сто­рону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т. е. |r| =V_cpt. тогда V_cр=s/t, отсюдаs = V_cpt.

Для того, чтобы можно было определить положение, движущегося неравномерно тела, вводят понятие мгновенной скорости. Мгновенной скоростью неравномерного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времена и, следовательно, в данной точке траектории. На предыдущей лекции вводилось понятие мгновенной скорости; числовое значение которой равно первой производной пути по времени, V=ds/dt. Если аналитический вид зависимости перемещения от времени известен, с помощью правил дифференцирования можно определить мгновенную скорость в любой момент времени.

V_мгн= dr/dt - векторная форма,

2. Движение происходящее, по криволинейной траектории, называется криволинейным.

Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

При криволинейном движении мгновенная скорость материальной точки (тела) в каждой точке траектории криволинейного движения направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криво­линейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Поскольку скорость - величина векторная, изменение направления скорости даже при неизмененном модуле скорости означает, что скорость изменяется, т.е. тело движется cускорением. Значит; любое криволинейное движение, в том числе движение по окружности, является ускоренным движением. Криволинейное движе­ние происходит в том случае, когда вектор ускорения в любой точке траектории составляет с вектором скорости угол, не равный нулю или. Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов. Поэтому задача определения ускорения тела при произвольном криволинейном движении сводится к нахождению уско­рения при движения тела по окружности соответствующего радиуса.

Траектория криволинейного

движения

рис.3

В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и ускорением вводятся: угловая скоростьи угловое ускорение.Пусть точка движется по окружности радиуса R. Ее положение через малый промежуток времени зададим углом. Очень малые повороты можно рассматривать как векторы (будем эти векторы обозначать символамииd). Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела. Следовательно,dявляется не истинным вектором, а поездовектором.

Угловой скоростьюназывается векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени

 = lim/t=d/dt

t0

Направление вектора угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению поступательным движением острия винта, головка которого вращается по часовой стрелке.

Размерность угловой скорости [ ]= Т^-1, а ее единица в системе СИ - рад/с. Линейная скорость точки

V = lim s/t = lim R /t = Rlim /t= R, т.е. V=R

t0 t0 t0

Если =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2.

Т.к. промежутку времени t=Т соответствует=2, то=2/Т, откуда Т = 2/(т.к. при равномерном вращении=/t). Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении его по окружности, в единицу времени называетсячастотой вращения. n= 1/T =/(2), откуда= 2n.

Используя формулы : V=R; а_ц=V²/R, получим : а_ц=²Rили:

4²R

а_ц= ------------ = 4²n²R

T²

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (изменение угловой скорости по направлению).

Угловым ускорениемназывается векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:=d/dt. Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор | |, при замедленном – антипараллелен. а_= =dv/dt,V=Rи а_=d(R)/dt=Rd/dt=R;a_n=V²/R=²R²/R=²R. Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следую­щими формулами.

s=R;V=R; а_=R;a_n=²R. В случае равнопеременного движения точки по окружности,=const,=₀+t,=₀ + ₀t+t²/2,

₀- начальная угловая скорость. С помощью последней формулы можно в любой момент времени найти положение точки, равномерно переменно движущейся по окружности. Это значит, что данная формула выражает собой кинематический закон движения, т.е. является уравнением этого движения.