Лекция 4 Механика твердых тел

ПЛАН:

1. Движение твердого тела. Момент инерции.

2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение динамики вращательного движения тела.

3. Момент импульса (количества движения) и закон его сохранения.

4. Свободные оси. Гироскоп.

1. Всякое движение твердого можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное. Поступательное движение- это такое движение, при котором любая прямая,cвязанная с движущимся телом, остается параллельна самой себе. Значит, при поступательном движении все точки тела движутся с одинаковымиvиа. Примером такого движения может служить движение кабины "колеса обозрения".

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела. (см. рис. 2 б).

При поступательном движениивсе точки тела получат за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, центpa инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движениивсе точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Так как любое движение твердого тела можно представить, как наложение двух выше указанных видов движения, рассмотрим случай плоского движения, то есть такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости.

Разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол . Элементарное перемещение точки тела dr можно разложить на два перемещенияdr_в, причемdr_nдля всех точек тела одно и то же.

Перемещение. dr_восуществляется поворотом тела на один и тот же угол dотносительно различных осей). Разделив dr на соответствующий промежуток времени dtполучим скорость точки.

V=dr/dt=dr_n/dt=dr_в/dt =V_o+V' , V' - скорость относительно данной оси вращения, гдеV_о- скорость поступательного движения (одинаковва для всех точек тела ),V'- различная для разных точек тела скорость обусловленная вращением. Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений -поступательного со скоростьюV_о и вращательного с угловой скоростью(вектор которой направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс nматериальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

n

J=m_ir _i ²

i=1

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу J=∫r²dm, где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с

координатами X,Y,Z. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис 4). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним - (г + dr).

Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r²dm(так как dr<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), гдеdm- масса элементарного цилиндра. Объем элементарного цилиндра = 2rhdr. Если- плотность материала, то его масса:dm=2rhdrиdJ= 2hr³dr/

Тогда: RR

момент инерции сплошного цилиндра J=∫dJ= 2rh∫r³dr=1/2hR⁴

0 0

так как R²h- объем цилиндра, то его масса m=R²h, а момент инерцииJ= 1/2mR²

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции, относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера J=J_c+md²: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту инерции J_cотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния d между осями. В заключение приведем значение моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m - масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b<<1где l- длина стержня. Момент инерции относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, равен

J=1/12ml²

рис.5

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к 1. Момент инерции относительно оси, совпадающей с осью симметрии.

J= 1/2mR²

рис.6

3. Тело - тонкий диск (Ь << R).

Ось вращения совпадает

с диаметром диска

J = 1/4 mR²

4. Шар радиуса R, ось вращения

проходит черев центр шар,

J = 2/5 mR²

2. Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси 00, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие элементарные объемы о элементарными массами m₁, m₂, …m_n, находящимися на расстоянииr₁,r₂, …r_n, от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_nопишут окруж-

ности различных радиусов r_nи будут иметь различные линейные скоростиV_n. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:=V₁/r₁=V₂/r₂= …= V_n/r_n

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергии его элементарных объемов

Т_вр=m₁v₁²/2 +m₂v₂²/2 + … +m_nv_n²/2,

n n n

Т_вр=m_iv_i²/2 ; Т_вр=m_i²r_i²/2=²/2m_ir_i² =J²/2;

i=1 i=1 i=1

Таким образом Т_вр=J²/2- Кинетическая энергия

вращающегося тела.

Сравнивая формулы для кинетической энергии тела, движущегося поступательно и кинетической энергии тела, движущегося вращательно, видим что (mV²/2 иJ²/2) момент инерции вращательного движения -мера инертности тела

Чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости. Полученная формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела, катящегося по горизонтальной плоскости (колесо), энергии движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

T=mV²/2 +J²/2; где m - масса тела, V- скорость поступательного движения, J- момент инерции,- угловая скорость.

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой либо системой, то кинетическая энергия вращения возрастает на величину затраченной работы. Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии г, d - угол между направлениям силы и радиусом - вектором. Так как тело

абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dточка прило­жения. В проходит путь dS=rdи работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещенияdA=Fsinr d. Величина, равная произведения силы на ее плечо называетсямоментом силыM=F l, l=r sin.

Величина M= Fr sin ,называетсямоментом силыотносительно оси вращения;rsin=1 есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения, и называетсяплечом силы- величина векторная, его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и определяется по правилу правого винта. Используя, полученные выражения, запишем:dA = M d- работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии : dA = dT, но dT=d(J²/2)=Jd, поэтому: Md=Jdили Md/dt=Jd/dt, учитывая, что=d/dt, получим M= Jd/dt=J, в векторной формеМ= J, - это уравнениепредставляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

3. При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Поступательное движение			Вращательное движение
Масса		m	момент инерции	J
	Путь	S	Угол поворота	
	Скорость	V=dS/dt	Угловая скорость	=d/dt
	Ускорение	a=dV/dt	Угловое ускорение	=d/dt
	Импульс	р=mv	Момент импульса	L=J
	Сила	F	Момент силы	M
	Основное уравнение динамики		Основное уравнение динамики '
	F=ma=dp/dt		M=J  =di/dt
	Работа	FdS	Работа вращения	Md
	Кинетическая энергия		Кинетическая энергия вращения
	mV2/2		J2/2

Момент импульса L_iотдельной частицы тела массойm_iназывается произведение расстояния r_iот оси вращения до частицы на импульс m_iV_iэтой частицы: L_i=m_iV_ir_i.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

n

L=m_iV_ir_i

i=1

n

Так как для вращательного движения V_i=r_i, то L =m_ir_i²=

n i=1

= m_ir_i²=J, то естьL = J

i=1

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент импульса твердого тела это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть конца вращение, происходящим по часовой стрелке.

Продифференцируем уравнение L=J

по времени: dL/dt= J , d/dt=J=M

или в векторной форме dL/dt=M- это уравнение еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна

моменту сил относительно той же оси. Если мы имеем дело c замкнутой системой, то момент внешних cил М=0 и dL/dt=0, или L=const, то есть J=const. Полученное выражение представляет собойзакон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяете течением времени. Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы. Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровне плеч руках гири, приведен во вращение с угловой скоростью (n)i. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результат чего возрастет угловая скорость его вращения. Аналогично гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

4. Опыт помазывает, что если тело привести во вращение вокруг некоторой оси, а затем предоставить его самому себе, то положение оси вращения в пространстве изменяется. Сохранить положение оси вращения неизменным можно с помощью подшипников. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяет своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями. Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, преходящие через центр масс тела, которые могут быть свободными осями. Например, свободные оси однородного прямоугольного параллелепипеда параллельны его ребрам. Для однородного цилиндра свободными осями являются его геометрическая ось и две взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости. перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Свободными осями шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс. Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из

свободных осей служит осью вращения. Опыт и теория показывает, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг своей оси 1 и 2 (см рис)

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец привести в быстрое вращение (с помощью центробежной машины), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной длине палочки и проходящей через ее середину (см.рис.). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей, то положение оси вращения в прост­ранстве некоторое время сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко примечается в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы- пассивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Рассмотрим одну ив разновидностей гироскопов - гироскоп на кардановом подвесе (см.слайд). Дискообразное тело - гироскоп – закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси СС. Все три оси пересекаются в одной точке Д, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом количества движения колец пренебрегаем. Так как трение мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменным. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения Д совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом силы трения мы также пренебрегаем. Поэтому, если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения: dl/dt =М, L-const, то есть момента количества движения гироскопа сохраняет свое значение и направление в пространстве. Неизменным будет и момент количества движения гироскопа относительно оси вращения, равный L=Jи

направленный вдоль оси вращения. Следовательно, при данном условии ось вращения гироскопа сохраняет свое положение в пространстве. Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, чтобы момент внешних сил был отличен от нуля. Если момент внешних сил, приложенный к вращающемуся ги-

роскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившего название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, чти под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа повора­чивается вокруг оси О₃О₃, а не вокруг оси O₂O₂как это бы казалось естественным на первый взгляд (O₁O₁и O₂O₂лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃и силы F перпендикулярной ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой O₂O₂- за время dt момент импульса L гироскопа подучит приращение dL=Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет равным L=L+dL. НаправлениеL₁совпадает с новым направлением оси вращения ги­роскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, xoтя момент сил М и велик, изменения момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени. Если ось гироскопа закреплена в подшипниках, то вследствие гироскопического эффекта возникает так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстро вращающи­еся массивные части (например, подшипники паровых турбин на корабле). Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и так, далее). Другое важное применение гироскопов - поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и так далее. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порывы ветра и так далее) положение оси гироскопа в пространстве сохраняются. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданового подвеса поворачиваются относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса о помощью определенных приспособлении включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу. Подобные же образом гироскопы могут применяться для автоматического управления движением самодвижущихся снарядов. Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко для доказательства вращения Земли.