Лекция 5 Основы динамики

ПЛАН

1. Классическая механика. Границы ее применимости.

2. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета.

3. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона.

4. Третий закон Ньютона.

1. Как уже говорилось, кинематика изучает движение тел, не рассматривал причин, обуславливающих это движение. Динамика же рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют.

В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 году.

Законы Ньютона (как и все остальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их (хотя и для обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Ньютоновская механика достигла в течений двух столетий та­ких огромных успехов; что многие физики XIX столетия были убеж­дены в ее всемогуществе. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты подучили свое объяснение в новых теориях - специальной теории относительности и квантовой механики. В специальной теории относительности, созданной Эйнштейном в 1905 году; подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Это привело к созданию «механики больших скоростей» или; как ее называют, релятивистской механики. Новая механика не привела, однако, к полному отрицанию старой ньютоновской механики. Уравнения релятивистской ме­ханики в пределе (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) переходят в уравнения классической механики. Та­ким образом, классическая механика вошла в релятивистскую меха­нику как ее частный случай и сохранила свое прежнее значение для описания движений, происходящими со скоростями, значительно меньшими скорости света. Аналогично обстоит дело и о соотноше­нием между классической и квантовой механикой, возникшей в 20-х годах нашего века в результате развития физики атома. Уравнения квантовой механики также дают в пределе (для масс, больших по сравнению с массами атомов) уравнения классической механики. Классическая механика вошла и в квантовую механику в качестве ее предельного случая. Таким образом, развитие науки не перечеркнуло классическую механику, я лишь показало ее ограниченную применимость. Классическая механика, основывающаяся на законах Ньютона, является механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) масс, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света).

2. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить ее это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него дру­гих тел называется инерцией. Поэтому I закон называется такжезаконом инерции.Непосредственно проверить I закон Ньютона, строго говоря, невозможно, однако обобщение ряда экспериментальных фактов; а также совпадение вытекающих из закона следствий с опытными данными доказывает его справедливость. Часто наблюдаемое состояние покоя окружающих нас тел обусловлено тем, что воздействия различных тел компенсируют друг друга. При движении тело тем дольше сохраняет свою скорость, чем слабее на него действуют другие тела: например, скользящий по поверхности камень тем дольше движется, чем ровнее поверхность, то есть, чем меньше на него воздействие этой поверхности. Механическое движение относительно, ^ его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Те системы отсчета, по отношению к которым он выполняется, называютсяинерциальными системами отсчета.

Инерциальной системой отсчета является такая, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета. В этой системе тело отсчета - Солнце, координатные оси, представляющие собой три взаимоперпендикулярных направления, ориентированные на три произвольно выбранные звезды. Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностыо (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), пренебрежимо малы, поэтому при решении многих задач ее можно считать инерциальной.

Никакими механическими опытами и наблюдениями, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, нельзя установить, движется эта система отсчета равномерно и прямолинейно или покоится. Это заключение называется принципом относительности Галилея-Ньютона в механике. Теория относительности Эйнштейна обобщает этот результат и распространяет его на все явления природы.

3. Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы). Всякое тело противится попыткам изменить состояние его движения. Это свойство тел называется инертностыо. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, навиваемая массой тела. Масса тела- физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гра­витационная масса) свойства. С помощью точных экспериментов ус­тановлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим,m_ин=m_гр. Поэтому в дальнейшем будем говорить просто о массе тела.

Чтобы описать воздействия, упоминаемые в I законе Ньютона, вводят понятие силы.Под действием сил тела либо изменяют скорость, то есть приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, то есть изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры (обозначим силу буквойF).

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступатель­ного движения - отвечает на вопрос; как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил a ~ F (m=const)[1] (равнодействующая сила - сила, равная геометрической сумме всех приложенных к телу сил). При действии одной и той же силы на различные тела их ускорения оказываются различными. Чем больше масса тела, то есть чем больше его инертность, тем меньшее ускорение под действием данной силы оно приобретает, то естьa~ 1/m(F=const) [2]. Используя выражения (1) и (2) и учитывая, что сила и ускорение- величины векторные, можем записать а = kF/m [ 3]. Полученное соотношение выражаетII закон Ньютона:ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом) совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки (тела). В системе единиц СИ К=1, тогда

a=F/mF=ma=mdv/dt[ 4 ]

Учитывая, что масса тела (материальной точки) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (4) ее можно внести под знак производной: F= d(mv)/dt [5]. Векторная ве­личина P=mV[ 6 ], численно равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости; называетcяимпульсом этого тела(материальной точки). Подставив (6) в (5) получим F=dP/dt [ 7 ]. Выражение (7) - более общая формулировкаIi закона Ньютона: производная импульса материальной точки (тела) по времени равна действующей на нее силе. Из формулы (4) следует определение: за единицу силы принимают силу, которая единице массы сообщает ускорение, равное единице. Единица силы - ньютон (Н) : 1Н - сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1м/с², в направлении действия силы: 1Н= 1кг м/с².

В механике большое значение имеет принцип независимости сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласноII-му закону Ньютона, как будто других сил не было.

Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения за

дач. Например, на рис.1 действующая сила F=mаразложена на два компонента наF_ (направлена по касательной к траектории) иF_n(направлена по нормали к центру кривизны).

Используя выражение a_=dv/dt и a_n=V²/R и V=R, можно записать:

F_ = m a_ = m dv/dt; F_n = ma_n = mV²/R = m  R²

4. Третий закон Ньютона.

Характер взаимодействия между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия; силы с которыми действуют друг на друга тела (материальные точки), всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела: F₁=-F₂[ 8 ]. Рассмотрим например, два тела массамиm₁иm₂, которые действуют друг на друга с силамиF₁иF₂. Под действием силF₁иF₂тела приобретают ускоренияa₁иa₂.

Согласно второму закону Ньютона, можно записать :

F₁=m₁a₁иF₂=m₂a₂[ 9 ].

Используя выражения (8) и (9), получим m₁a₁ = -m₂a₂илиa₁ = -m₂a₂/m₁, т.е. ускорения двух взаимодействующих тел обратно-пропор-циональны их массам и направлены в противоположные стороны.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: если действующая сила всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно; их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под воздействием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение. Третий закон Ньютона так же как и первый, и второй законы динамики, выполняется только в инерциальных системах отсчета.