Лекция 7 Законы сохранения в механике

ПЛАН;

1. Законы сохранения импульса и момента импульса.

2. Механическая работа. Мощность. Энергия.

3. Кинетическая и потенциальная энергии.

4. Закон сохранения энергии.

1. Для вывода закона сохранения количества движения или импульса введем некоторые понятия.

Механическая система- совокупность материальных точек и тел, рассматриваемых, как единое целое.Силы взаимодействиямежду материальными точками механической системы называютсявнутренними.Силы, с которыми на материальные точки системыдействуют внешние тела, называются внешними.

Механическая система тел, на которую действуют внешние силы, называетсязамкнутой(или изолированной).

Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел то согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из nтел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂, ..., m_nиV₁,V₂, … ,V_n.

Пусть f - равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, аf - равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого изnтел механической системы:d/(m₁V₁)/dt=F₁+F₁,d/(m₂V₂)/dt=F₂+F₂, … ,d/(m_nV_n)/dt=F_n+F_n

Складывая почленно эти уравнения, получим:

d(m₁V₁+m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt= *F₁+F₂ +…F_n +F₁+F₂+…+ F_n. Но т.к. геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, тоd(m₁V₁+m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt=F₁+F₂ +…F_n , илиdp/dt=F₁+F₂ +…F_n.

Таким образом, производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Рассматривая замкнутую систему, можем записать F₁+F₂ +…F_n= 0. Таким образомdp/dt=d(m₁V₁+m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt= 0 или

n n

dp/dt = d(m₁V₁)/dt = 0 p = m_iV_i = const

i-1 * I-1*

Полученное выражение и является законом сохранения импульса; полный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Иными словами, внутренние силы не могут изменить полного импульса системы ни по модулю, ни по направлению.

Этот закон справедлив, не только в рамках классической меха­ники. Он является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения количества движения связан с определенным свойством симметрии пространства - его однородностью.

Однородность пространствазаключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. В данном случае под замкнутой системой тел не понимается вся Вселенная, а лишь такие ее части, которые можно рассматривать в качестве замкнутых систем.

В механике Галилея-Ньютона в виду независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ее центр масс, т.е. p=mV_c. гдеm- масса системы, аV_c- скорость ее центра масс. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме внешних сил, дейс­твующих на систему.

mdV_c=F₁+F₂ +…F_nзакон движения центра масс *

В соответствии с p=mV_c*из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Для замкнутой системы,момент внешних сил равен нулю, т.е. М=0, * т.е. * dL/dt=0 или L =const. -закон сохранения момента им­пульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Полученное выражение и является законом сохранения импульса:полный импульс замкнутой системы остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Иными словами, внутренние силы не могут изменить импульса системы ни по модулю, ни по направлению.

Этот закон справедлив, не только в рамкам классической механики. Он является фундаментальным законом природы.*идет повтор с стр 53 до 2 вопроса этой лекции надо убрать*

2. Энергия - универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в другую форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).

Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила* F, составляющая некоторый угол а (альфа) с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fg* на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:A=F_sS=FScos, где F-модуль силы, S-модуль перемещения.

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов чтобы можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента - постоянной. Тогда элементарная работа:* A_i = F_si dS_i = F_i dS_i cos,* а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:

* A = ∫F_si dS_i = ∫F_i dS_i cos 

M M

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимости F_s отSвдоль траектории MN. Если эта зависимость представлена графически; то искомая работа А определяется заштрихованной на графике площадью.

Если, например, тело движется прямолинейно, F=const и =const, то получим

N N

* A = ∫F dS cos  = F cos  ∫ dS = FS cos 

M M

где S - пройденный телом путь. Из формулы (*) следует, что при </2 работа силы положительна, в этом случае составляющаяF_siсовпадает по направлению с вектором скорости движения * . Если>/2, то работа силы отрицательна, в этом случае работа совершается против данной силы. При=/2 (FS), работа силы равна нулю (где S - вектор перемещения).

Единица работы в СИ - джоуль (ДЖ): 1ДЖ – работа совершаемая силой в 1Н на пути в 1м (1Дж=1Нм).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность (N) есть физическая величина, равная отношению работы А к промежутку времениt, за который она совершена: N=A/t.

Если тело движется с постоянной скоростью Vпод действием силыF, то мощность может быть выражена формулой N=A/t=F_sS/t=F_sV, то есть равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела. В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времениt совершается неодинаковая работаА) вводится понятие мгновенной мощности: N=limA/t = dA/dt.

* t 0

Если мощность (мгновенная) не постоянна, то формула N = A/t определяет среднюю мощность. Единица мощности - ватт (Вт):

1 Вт-мощность, при которой за 1с совершается работа 1 джоуль (1 Вт=1Дж/с).

В технике часто используют единицу:

1кВт =10³Вт и 1МВт=10⁶Вт. Внесистемная единица мощности - лошадиная сила: 1л.с. = 735 Вт