3. Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совер­шить, чтобы вызвать данное движение тела.

Если* F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью *V, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы *fна пути, которое тело прошло за время возрастания скорости от 0 до *У, идет на увеличение кинетической энергии, то есть dA = dE_k.

Используя скалярную запись второго закона Ньютона F=m dV/dt и умножая обе части равенства на перемещение dS, подучим:

m dV/dt dS= F dS= dA. Так как:

V

V= dS/dt , то dA= m V dV = dE_kи E_k=∫m V dV= mV²/2 ;

0

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью V, кинетическая энергия E_k= mV²/2. Из последней формулы видно, чтокинетическая энергия зависит только от массы и скорости те­ла, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. При выводе формулы E_k. предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчёта, т.к. иначе нельзя было бы использовать второй закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчёта, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а* следовательно, и его кинетическая энер­гия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия- часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел ихарактером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими си­лами при перемещении тела из одного положения в другое, не за­висит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них - консервативными. Если же работа совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией En* которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, т.к. в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная E_nпо координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определённого положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение.

Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком; т.е.

dA= - dE_n, т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии конкретный вид функции Е_nзависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массойm, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна Е_n=mgh, где h- высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого Е_n= 0. Выражение Е_п = mgh вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении те­ла с высоты h на поверхность Земли. Т.к. начало отсчёта выбира­ется произвольно, то E_nможет иметь отрицательное значение (E_k. всегда положительна!)

Найдём потенциальную энергию упруго-деформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации: F_ynp= -K x, К- коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость), знак минус указывает, что F_ynpнаправлена в сторону, противоположную деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу F= - Fynp= Kx. Элементарная работа dA, совершаемая силой F при малой деформации dx, равна dA = F dx= Kxdx,а полная работа

х

A = ∫Kxdx = Кх²/2+с = Е_nидет на увеличение потенциальной

*о

энергии пружины. Если принять, E_nнедеформированного тела (при х =0) равна нулю, то с=0. Таким образом, E_nупругодеформированного тела равна: E_n= Кх/2.*

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергии системы- энергия механического движения и взаимодействия: Eмех* = Е_n+E_k

4. Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711-1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю.Майером и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем.

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек массами m₁, m₂, … , m_n, движущихся со скоростями V₁, V₂, … V_n. Пусть F₁, F₂, … F_n- равнодействующие внутренних сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂, … F_n- равнодействующие внешних сил. При V«c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m₁ dV₁/dt = F₁ + F₁;

m₂ dV₂/dt = F₂ + F₂;

……………………..

m_n dV_n/dt = F_n + F_n;

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dX₁, dX₂, .... dX_nУмножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и; учитывая, что dX* = V_idt, получим:

m₁ (V₁dV₁) = (F₁ + F₁) dX₁ = 0;

m₂ (V₂dV₂) = (F₂ + F₂) dX₂ = 0;

……………………………….

m_n (V_ndV_n) = (F_n + F_n) dX_n = 0;

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т.е.

F₁+F₂+…+F_n. получим:

n n*

 m_iV_idV_i =  F_i dX_i = 0

i-1 * * i-1

n n

 m_iV_idV_i =  d(m_iV_i ²/2*=* 0

i-1 * i-1*

dE_к- бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы; а:

n

 F_idX_i= dEп* - бесконечно малая работа всех действующих в

i-1 *

системе внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т.е. бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dE_n. Следовательно, для всей системы в целом dE_k+dE_n= 0, откуда полная механическая энергия замкнутой системы. Е_мех=E_k+Е_n=const. Полученное выражение представляет собойзакон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчёта времени. Например, при свободном падении тел в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности падения тела, а не зависят от того, когда тело начало падать. В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консерва­тивны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами. Существует ещё один вид систем - диссипативные системы- такие системы, в которых механическая энергия посте­пенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил названиедиссипацииили рассеяния энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга.Закон сох­ранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, пол­ная механическая энергия системы при движении убывает. Следова­тельно, в этих случаях закон сохранения механической энергии не справедлив. Однако при "исчезновении" механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, В этом и заключается физическая сущность законасохранения и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и её движения.