Лекция 2 Основные понятия механики

План

1. Содержание механики и ее значение.

2. Материальная точка. Траектория, путь, перемещение.

3. Скорость и ускорение.

1. Механика- часть физики, которая изучает простейшую и на­иболее общую форму движения материи, заключающуюся в перемеще­нии тел иди частей тела относительно друг друга и называемуюмеханическим движением. Развитие механики как науки начинается с III в. до н.э., когда древнегреческий ученый Архимед сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики в значительной мере выяснены итальянским физиком и астрономом Г.Галилеем и окончательно сформулированы английским ученым И.Ньютоном,

Механика Галилея-Ньютона называется классическойи изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаютсятеорией относительности,сформулированной А.Эйнштейном. Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы -они изучаютсяквантовой механикой.

В большей части нашего курса мы будем рассматривать движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света, т.е. будем иметь дело с классической механикой. Механика подразделяется на три раздела:

1) кинематику;

2) динамику;

3) статику.

Кинематикаизучает движение тел, не рассматривая те причины, которые это движение обусловливают.

Динамикаизучает законы движения тел и те причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статикаизучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

2. Наиболее простым примером механического движения являет­ся движение материальной точки. Материальная точка-это тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Вопрос о том, можно ли данное конкретное тело рассматривать как материальную точку или нет, зависит не от размеров этого тела, а от условий задачи. Одно и то же тело в одних случаях может быть сочтено за материальную точку, в других же должно рассматриваться как протяженное тело.

Понятие материальной точки - абстрактное понятие, но его введение облегчает решение конкретных задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. О том, как определяется положение движущейся точки мы говорили на первой лекции (тело отсчета, системы координат, системы отсчета). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя скалярными уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1), эквивалентными векторному уравнению r = r(t) (2).

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы.Если материальная точка движется в пространстве; то она обладает 3-мя степенями свободы (координаты х, у, z), если по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если по кривой, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1) и (2), получим уравнение траектории движения материальной точки.

Траекториядвижения материальной точки - линия, описываемая этой

точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории, движение может быть прямолинейным или криволинейным.Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории. Отчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени,

называется длиной путиs и является скалярной функцией времениs=s(t). Векторг=г–r_о, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времен, называется перемещением. Естественно, что при прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |г| равен пройденному путиs.

3. Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор г_о.

В течение небольшого промежутка времени At точка пройдет путь s и получит элементарное перемещениег. Величина <v> =r/t (3) называетсясредней скоростьюдвижения за времяt (для обозначения среднего значения какой-либо величины будем заключать, символ этой

величины в угловые скобка < >. Направление средней скорости совпадает с направлением г. Если перейдем к пределу приt0, то получим выражение для мгновенной скорости v = limr/t = dr/dt (4)

t0

Мгновенная скорость- векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости У направлен по касательной к траектории в сторону движения. По мере уменьшенияt путьs все больше будет приближаться к |г|, поэтому:

v = |v| = |lim r/t | = lim |r|/t = lim s/t = ds/dt (5)

t0 t0 t0

Таким образом, числовоезначение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

v = lim s/t = ds/dt (6) В случаенеравномерного движения, когда

t0

Числовое значение мгновенной скорости о течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной <V> - средней скоростьюнеравномерного движения на данном участке: <V> =s/t. Из рисунка видно, что <V> > |<V>|: т.к.s > |г| и только в случае прямолинейного движенияs = |г|.

Если выражение ds= Vdt проинтегрировать по времени в пределах от t до (t +t), то найдем длину пути, пройденного точкой за времяt:

t+t

s= ∫Vdt(7).

t

В случае равномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости постоянно, выражение (7) примет вид;

t+t

s=V∫dt=Vt(8).

t

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t₁до t₂определяется интегралом

t₂

s=V∫V(t)dt(8).

t₁

Ускорение

Скорость материальной точки может изменяться со временем, как по величине, так и по направлению. Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением.Пусть вектор V задает скорость точки А в момент времени t. За времяt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от V как по модулю, так

и направлению, равную V₁=V+V. Перенесем вектор V₁, в точку А и найдемV.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до (t =t) называется векторная величина, равная отношению изменения скоростиV к интервалу времениt:<a> =V/t.

Мгновенным ускорениемаматериальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

а= lim <a>= lim V/t=dV/dt;

t0 t0

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Разложим вектор V на две составляющие: тангенциальную, совпадающую с направлением вектора V, и нормальную составляющуюV_nперпендикулярную вектору V; и направленную по радиусу к центру кривизны траектории (рис 4). |V|=|V₁|-|V| - этот вектор, представляет собой изменение скорости по модулю за времяt. Вторая же составляющая -Vn характеризует изменение скорости за времяt по направлению. Предел отношения |V|/t, являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения величины скорости в данный момент времени t и являетсятангенциальной составляющейускорения а_

а_= lim |V_|/t = lim |V|/t=d|V|/dt;

t0 t0

Вторая составляющая ускорения, равная

а_n= lim |V_n|/t = V²/r; называетсянормальной

t0

составляющей ускоренияи направлена по нормали к траектории, к центру её кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5).

Итак; тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения

скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

Единицы измерения скорости и ускорения в системе СИ

[V]=1м/с -это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором материальная точка за 1с совершает перемещение 1м.

[а]=1м/с²-это ускорение такого равноускоренного движения при котором за каждую секунду скорость тела увеличивается на 1м/с.

С учетом а_и a_nсоставляющих ускорения движения можно классифицировать следующим образом:

1) а_=0, а_п=0 -прямолинейное равномерное движение;

2) a_=a=const, a_n=0 -прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения а_=а=V/t=(V₂-V₁)/(t₂-t_l). Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость V₁=V_o, то, обозначив t₂=t. и V₂=V получим a=(V-V_o)/t, откуда V=V_o+at. Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

t t

S =∫Vdt =∫ (V_o + at)dt=V_ot + at²/2;

0 0

3) а_ =f(t), a_n=0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а_=0,a_n=const. При а_=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы а_n=V²/г следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением тела по окружности;

5) а_ =0, a_n=f(t) -равномерное криволинейное движение;

8) а_ = const , a_n=0 -криволинейное равнопеременное движение;

7) а_ =f(t), a_n0 -криволинейное движение с переменным ускорением.