Примеры расчета

Пример 27. Дано: предварительно напряженная подкрановая балка с поперечным сечением по черт. 37, а; бетон тяжелый класса В30; геометрические характеристики приведенного поперечного сечения (определенные при коэффициенте приведения a = Е_s / Е_b): площадь A_red = 339 100 мм²; расстояние от центра тяжести сечения до нижней грани y₀ = 728 мм, момент инерции I_red = 85 850 • 10⁶ мм⁴, продольная арматура S и S' — предварительно напряженная класса A-IV, площадью соответственно A_sp = 4021 мм² и A'_sp = 942 мм²; поперечная арматура в виде сварных хомутов класса A-III, диаметром 12 мм, шагом 100 мм, по два в сечении; усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь напряжений Р = 1536 кН, его эксцентриситет относительно центра тяжести сечения e_0p = 357 мм; предварительное напряжение с учетом всех потерь в арматуре S s_sp = 290 МПа; нагрузка: сосредоточенная от крана F = 290 кН, равномерно распределенная от собственного веса балки и подкранового пути g = 11 кН/м; случаи невыгоднейшего расположения кранов приведены на черт. 37,б,в; краны — среднего режима работы; расчетный пролет балки 11,7 м.

Требуется рассчитать подкрановую балку на выносливость по нормальным и наклонным сечениям.

Черт. 37. К примеру расчета 27

а - поперечное сечение балки; б, в - схемы невыгоднейшего расположения нагрузки; 1 - центр тяжести приведенного сечения; 2 - точка приложения усилия обжатия Р

Р а с ч е т. Рассчитаем нормальные сечения. Определим наибольший изгибающий момент в сечении I-I при невыгоднейшем расположении крана (см. черт. 37, б) :

М_max = 290= 1229 кН×м.

Наименьший изгибающий момент в сечении I-I (при отсутствии крана) равен:

M_min== 180 кН×м.

Проверяем возможность образования трещин в растянутой зоне согласно п. 4.8. Для этого определяем напряжения бетона по нижней грани s_b,max и s_b,min - учитывая полное приведенное сечение (при a = Е_s/Е_b).

От действия усилия P сжимающее напряжение по нижней грани равно:

= 9,2 МПа.

Тогда

= 1,22 МПа ;

= -7,67 МПа < 0 ,

т.e. при действии момента M_min сечение полностью сжато.

Поскольку s_b,max = 1,22 МПа > R_bt = 1,2 МПа, т.e. даже без учета коэффициента g_b1 условие (182) не выполняется, трещины в растянутой зоне образуются.

Согласно п. 3.58, приведенное сечение определяется без учета растянутого бетона.

Относительную высоту сжатой зоны x определяем из уравнения (156). Для этого находим величины j_f , e_sp , e_s,tot , ma¢ и d_f.

Из табл. 34 находим a¢ = 15; h₀ = n - a = 1400 - 60 = 1340 мм;

= 0,47 ;

e_sp = y₀ - e_0p - a = 728 - 357 - 60 = 311 мм ;

= 1110 мм ;

ma¢ = = 0,322 ;

= 0,15 .

Представляя уравнение (156) в виде

f(x) = x³ - ax² + bx + c = 0 ,

определяем коэффициенты a, b и с:

= 0,515 ;

= 1,33 ;

Таким образом, f(x) = x³ - 0,515x² + 1,33x - 1,585 = 0.

Решаем уравнение методом Ньютона. Первая производная выражения f(x) имеет вид

f(x) = 3x² - 2ax + b = 3x² - 1,03x + 1,33 .

Принимая x₀ = 1, получим в первом приближении

Во втором приближении, принимая x₀ = x₁ = 0,93, получим

Поскольку x₂ мало отличается от x₁, окончательно принимаем x = x₂ = 0,93, т.е. х = xh₀ = 0,93 × 1340 = 1246 мм.

Определяем характеристики приведенного сечения без учета растянутого бетона:

площадь

A_red = 510×200 + 140(1246-200) + 15×942 + 15×4021 = 322 880 мм²;

статический момент относительно растянутой арматуры

S_red = 510 × 200(1340 - 100) + 140 × 1046+

+ 15×942(1340 - 40) = 235,2 × 10⁶ мм³ ;

расстояние от центра тяжести сечения до растянутой арматуры

728 мм ;

момент инерции

+ 140×1046×111² + 15×942×572² + 15×4021×728² = 78820 × 10⁶ мм⁴ ;

расстояние от усилия Р до центра тяжести сечения

e_0p=y_sp - e_sp= 728- 311 = 417 мм .

Проверяем выносливость сжатого бетона из условия (150). Для этого определяем наибольшие и наименьшие напряжения s_b,max и s_b,min в верхнем краевом волокне бетона, т.е. на расстоянии у¢ = 1340 - 728 = 612 мм от центра тяжести сечения:

= 9,3 МПа .

Вследствие того, что при минимальной внешней нагрузке напряжения в бетоне по нижней грани сжимающие, напряжения в верхнем волокне бетона при этой нагрузке будем определять по полному приведенному сечению, т.е. при A_red = 339 100 мм²; I_red = 85 850 • 10⁶ мм⁴; e_0p = 357 мм; у¢ = 1400 - 728 = 672 мм:

= 1,65 МПа> 0,

т.е. растягивающие напряжения в верхней зоне не появляются.

Коэффициент асимметрии цикла найдем по формуле (158) :

r_b = s_b,min / s_b,max = 1,65 / 9,3= 0,177.

По табл. 35 при r_b = 0,177 найдем g_b1 = 0,79;

R_b = 0,79×17 = 13,4 МПа >s_b,max = 9,3 МПа,

т.е. выносливость сжатого бетона обеспечена.

Проверяем выносливость растянутой арматуры из условия (151). Определяем наибольшие и наименьшие напряжения s_s,max и s_s,min на уровне растянутой арматуры по формуле (152):

= 300 МПа ;

= 179 МПа .

По формуле (161) находим коэффициент асимметрии цикла напряжений в арматуре:

= 0,60 .

По табл. 36 при r_s = 0,60 и классе арматуры A-IV находим g_s3 = 0,61:

R_s= 0,61 • 510 = 311 МПа >s_s,max= 300 МПа,

т.е. выносливость растянутой арматуры обеспечена.

Рассчитаем на выносливость наклонные сечения.

Определяем изгибающий момент и поперечную силу в сечении II-II:

а) при невыгоднейшем расположении крана

= 400 кН×м ;

= 416 кН ;

б) при отсутствии крана

Q_min= 11= 54 кН.

Аналогично вышеуказанному проверяем возможность образования нормальных трещин в этом сечении:

МПа<0 ,

т.е. при действии М_max все сечение сжато и трещины отсутствуют, поэтому расчет ведем по полному приведенному сечению.

Выносливость наклонных сечений проверяем на уровне центра тяжести приведенного сечения. Определяем статический момент верхней части S_red сечения относительно этого уровня, принимая

= 6,55 ;

S_red = 510 × 200+ 140(672 - 200) 0,5 + 6,55 × 942(672 - 40) =

= 77,84 × 10⁶ мм³ .

Наибольшие и наименьшие касательные напряжения определяем по формуле (189):

2,69 МПа ;

0,35 МПа .

Нормальные напряжения на уровне центра тяжести сечения не зависят от внешней нагрузки и равны:

= 4,52 МПа .

Поскольку сечение II-II расположено от опоры и от первого груза на расстоянии 0,95 м » 0,7h, принимаем напряжение s_у = s_y,loc = 0.

Определяем по формуле (185) наибольшие и наименьшие главные растягивающие напряжения:

=

-2,26 + 3,52 = 1,26 МПа ;

=

= -2,26 + = 0,027 МПа .

Коэффициент асимметрии цикла для поперечной арматуры равен:

= 0,0214 .

По табл. 36 при r_s = 0,0214 и классе арматуры А-III находим g_b3 = 0,405. Поскольку поперечные стержни приварены к продольным точечной сваркой (поз. 1 обязательного прил. 3 СНиП 2.03.01-84), по табл. 37 при r_s = 0,0214, классе арматуры А-III и 2-й группе сварных соединений находим g_s4 = 0,605. Отсюда R_s = 0,405 • 0,605 • 365 = 89,4 МПа.

Проверяем условие (157), принимая A_sw =226 мм² (2Æ12) и А_s,inc = 0:R_sA_sw = 89,4 • 226/(140 • 100) = 1,44 МПа > s_mt,max = 1,26 МПа, т.е. выносливость наклонных сечений обеспечена.