Рис. 7.32

7.7.2. Аналитический способ задания обводов сплайн-функциями

Слово "spline" в переводе с английского языка означает "упругая рейка". Такую рейку используют в качестве гибкого лекала при вычерчивании плоских кривых по опорным точкам (рис.7.33). Форма осевой линии рейки на участке между двумя соседними опорами описывается функцией

y = S(x) = ai + b(x − xi−1 ) + ci (x − xi−1 )2 + di (x − xi−1 )3 , xi−1 ≤ x ≤ xi .

S(x)

Рис. 7.43

Сплайн-функцией (или просто сплайном) называют функцию с кусочной структурой и повторяющемся на каждом звене строением, но с различными значениями параметров.

Сплайн-функции в настоящее время широко используют для задач интерполяции и аппроксимации в математике. В машиностроении с их помощью описывают сложные контуры деталей.

Рассмотрим построение кубического сплайна, интерполирующего гладкую функцию, заданную таблично. В качестве исходных условий имеем массив точек (xi,yi), i=0,1, …,4, декартовы координаты которых представлены в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Сплайн должен состоять из дуг четырех (рис. 7.34) кубических парабол, состыкованных во внутренних узловых точках 2, 3, 4 по второму порядку гладкости (т.е. стыкуемые кривые должны иметь в точках стыка одинаковые первые и вторые производные).

1 I

Рис. 7.35

Определим количество коэффициентов сплайна. Умножим количество парабол (составляющих сплайна) m на количество коэффициентов n в уравнении кубической параболы

y = A0 + A1x + A2 x2 + A3x3.

Получим

m×n=4×4=16.

Запишем систему из 16 уравнений, с 16 неизвестными коэффициентами. Условия прохождения кусков сплайна через узловые точки позволяют записать 8 уравнений

y1 = A01 + A11x1 + A21x12 + A31x13;

y2 = A01 + A11x2 + A21x22 + A31x23;

y2 = A02 + A12 x2 + A22 x22 + A32 x23;

……………………………..

y5 = A04 + A14 x5 + A24 x52 + A34 x53.

Равенство первых производных кусков сплайна во внутренних узловых точках дает еще три уравнения

A11 +2A21x2 +3A31x22 = A12 +2A22 x2 +3A32 x22;

Из равенства вторых производных в узловых точках получим три уравнения

2A21 +6A31x2 = 2A22 +6A32 x2; 2A22 +6A32 x3 = 2A23 +6A33x3; 2A23 +6A33x4 = 2A24 +6A34 x4.

Оставшиеся два уравнения, возьмем из граничных условий первого типа – заданных значений первых производных в концах промежутка [a,b]

y1' = A11 +2A21x1 +3A31x12;

y5' = A14 +2A24 x5 +3A34 x52.

Представим систему уравнений в следующем виде

y1 = A01 + A11x1 + A21x12 + A31x13; y2 = A01 + A11x2 + A21x22 + A31x23; y2 = A02 + A12 x2 + A22 x22 + A32 x23;

……………………………..

y5 = A04 + A14 x5 + A24 x52 + A34 x53.

A13 +2A23x4 +3A33x42 = A14 +2A24 x4 +3A34 x42.

2A21 +6A31x2 = 2A22 +6A32 x2;

2A22 +6A32 x3 = 2A23 +6A33x3;

2A23 +6A33x4 = 2A24 +6A34 x4.

y1' = A11 +2A21x1 +3A31x12;

y5' = A14 +2A24 x5 +3A34 x52.

Данная система уравнений однозначно определяется расширенной матрицей системы. Зная значения коэффициентов сплайна, можно вычислить координаты точек составляющих сплайна.

На рис. 7.35 показан график сплайна, интерполирующего заданный массив точек.

Рис. 7.35

7.8. Задачи для аудиторных занятий

7.8.1.Определить по чертежу кривой a , плоская она или пространственная

(рис. 7.36).

7.8.2.В точке C кривой a(a1,a2 ) построить касательную t (рис. 7.36).

7.8.3.Определить, является ли дуга KL кривой m плоской или пространственной. Построить плоскость, перпендикулярную к дуге KL в точке N (рис. 7.37).

7.8.4.Построить недостающие проекции B2,C1 точек B,C , принадлежащих кривой a(a1,a2 ) (рис. 7.38).

7.8.7.Построить проекции окружности, касающейся прямой a в точке A

ипроходящей через точку B (рис. 7.41).

7.9.Задачи для самостоятельной работы